II Série 12

Exercice : ( 5 points ) Juin 2006

I - Résoudre dans l'équation : z² + i 3 z - i = 0 II-- Soit  un réel de l'intervalle [o,

2

 ].

On considère l'équation dans C :

( E ) z² + (2i sin )z - 2i cos  = 0.

1 ) a) Vérifier que ( cos  + i )² = -sin² + 2i cos . b) Résoudre l'équation ( E ).

2) Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct ( , , )O u v , on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives a = i , b = cos  + (1 - sin  )i et c = - cos  - (1 + sin )i

a) Déterminer  pour que A, B et C soient alignés.

b) Déterminer  pour que B et C appartiennent à un cercle de centre O . Quel est le rayon de ce cercle ?

Exercice ( 5 points ) Contrôle 2006

Soit a un réel de l'intervalle [ 0,  ] . I - 1 ) Vérifier que : e^2ia - 2 i e^ia sin a = 1

2) Résoudre dans C l'équation : z² - 2 e^iaz + 2 i e^ia sin a = 0

II - Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct ( , , )O u v ). On considère les points M, M' etM" d'affixes respectives e^ia ; e^ia - 1 et e^ia + 1 . 1 ) a) Montrer que M est le milieu du segment [M'M"] et que ^{MM '} ^u .



a - Montrer que (E) admet une solution réelle que l'on déterminera, b - Donner alors l'autre solution de (E).

2) a-Calculer

2

3 1 2 2i

 

  

 

 

b - Résoudre dans C l'équation (E¹) : 2 z⁴ + (7 + i ³) z² - 4(1 - i ³ ) = 0.

3) Le plan complexe étant muni d'un repère orthonormé direct ( , , )O u v ; on considère les points A et B d'affixes respectives ZA= 2i et ZB= ^{3 1}

2 2i et on désigne par I le milieu du segment [OA].

a - Ecrire ZB sous forme exponentielle.

b - Placer I et B et montrer que le triangle OIB est isocèle.

Exercice contrôle 2007

juin 2008 (ancien) ( 5pts):

Exercice contrôle 2008 ( 6pts) :

Principale 2010 (4 points)

Contrôle 2010 (3points)