EPFL 17 décembre 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 12
L’exercice 3 est à rendre le 18 février 2008 au début de la séance d’exercices.
Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C.
Exercice 1. Soient A, B ∈Mat(n, n;F). Répondre à chacune des questions suivantes, soit en démontrant l’affirmation, soit en y trouvant un contre-exemple.
(a) Est-ce que det(A+B) = detA+ detB toujours ? (b) Est-ce que AB=BA toujours ?
(c) Est-ce que det(AB) = det(BA) toujours ?
(d) Est-il possible que AB etBA soient inversibles, même si B ne l’est pas ?
Exercice 2. Calculer le déterminant de toutes les matrices élémentaires dans Mat(n, n;F).
(Comme échauffement, vous pouvez commencer par le cas n= 2.)
Exercice 3. Appliquer les calculs de l’Exercice 2, ainsi que la Proposition 2.1 du polycopié, à la preuve du fait que
det(EA) = (detE)(detA)
pour toute A∈Mat(n, n;F)et pour toute matrice élémentaire E ∈Mat(n, n;F).
Exercice 4. Soient A∈Mat(n, n;F). Montrer que l’égalité de l’Exercice 3 implique que A inversible=⇒detA6= 0
et que
A noninversible=⇒detA= 0, i.e., Théorème 2.2 du polycopié est vrai.
Exercice 5. Démontrer le Théorème 2.3 du polycopié comme conséquence des exercices pré- cédents. (Il est utile de diviser la preuve en deux cas : (1) A inversible et (2) A noninversible.)
