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Analyse réelle
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CAPES de Mathématiques — Le Mans /
Version.
Bruno Deschamps
Tout un monde lointain, absent, presque défunt, Vit dans tes profondeurs, forêt aromatique !
Table des matières
Une introduion au corps des nombres réels
. Principales propriétés deR. . .
.. Le corps des nombres réels. . .
.. Bornes supérieures et inférieures dansR. . .
. Suites réelles. . .
.. Définitions, propriétés. . .
.. Suites adjacentes. . .
.. Suites de Cauchy. . .
.. Suites monotones. . .
. Approximation décimale d’un réel. . .
.. Partie entière d’un réel. . .
.. Nombres décimaux. Approximation décimale d’un réel. . . .
.. Developpement décimal illimité d’un réel. . .
. Topologie deR. . .
.. Densité. . .
.. Voisinages dansR. . .
.. La droite numérique achevéeR. . .
. Limites de suites. . .
.. Suites réelles. . .
.. Extension de la notion de convergence aux suites complexes.
.. Suites de Cauchy dansC. . .
Fonions continues
. Limites de fonions et continuité. . .
.. Limites de fonions réelles de variable réelle. . .
.. Limites particulières. . .
.. Fonions monotones. . .
.. Continuité. . .
.. Propriétés des applications continues. . .
.. Uniforme continuité. . .
.. Limites pour les fonions à valeurs complexes. . .
. Valeurs intermédiaires. . .
. Monotonie et continuité. . .
.. Propriétés . . .
.. Homéomorphisme d’intervalles. . .
Fonions dérivables.
. Dérivabilité. . .
.. Généralités. . .
.. Dérivée logarithmique. . .
.. Composition de fonions dérivables. . .
.. Dérivée d’une fonion réciproque. . .
.. Dérivées succesives. . .
. Accroissements finis. . .
. Conséquences. . .
.. Monotonie et dérivabilité. . .
.. Dérivabilité aux bornes. . .
.. Fonions dérivées et valeurs intermédiaires. . .
.. Les règles de L’Hospital. . .
Convexité.
. Parties convexes deRn. . .
. Fonions convexes. . .
. Convexité et dérivabilité. . .
Etude locale des fonions.
. Comparaison au voisinage d’un point. . .
.. Prépondérance et négligeabilité. . .
.. Equivalence. . .
. Développements limités, formules de Taylor. . .
.. Développements limités. . .
.. Fonion admettant un développement limité. . .
.. Primitivation et dérivation des développement limités. . . .
.. Propriétés opératoires des développement limités. . .
Une introdu ion au corps des nombres réels
. Principales propriétés de
R.
.. Le corps des nombres réels.
On commence par rappeler quelques définitions :
• Soit E un ensemble et ≤ une relation binaire. On dit que ≤ e une relation d’ordre si elle e reflexive, transitive et antisymétique. L’ensembleE,≤ealors dit ordonné.
Si on a ∀(x, y)∈ E, x≤y ou y ≤x, ≤e alors appellé ordre total etE,≤ e dit totalement ordonné.
•SoientE,≤un ensemble totalement ordonné,F⊂Eetx∈E. on dit dexque c’e :
un majorant deFsi∀y∈F, y≤x.
un minorant deFsi∀y∈F, x≤y.
le plus grand élément deFsix∈F etxmajorant deF.
le plus petit élément deFsix∈Fetxminorant deF.
la borne supérieure deFsixele plus petit des majorants deF.
la borne inférieure deFsixele plus grand des minorants deF.
Une partie majorée d’un ensemble totalement ordonné n’admet pas forcément une borne supérieure. Par exemple, dans Q,≤, le corps ordonné des nombres rationnels,si l’on considère l’ensemble des nombres rationnels positifs de carré riement inférieur à 2
Σ={x∈Q+/x2<2}
alors cet ensemble e majoré (par exemple par 2) mais n’admet pas de borne supérieure. En effet, s’il admettait une borne supérieures, celle-ci vérifieraits2= 2 (voir plus loin pour une juification). On pourrait donc écrires=p/qoùpet q serait deux entiers non nuls premier entre eux. On aurait doncp2= 2q2. Doncp2 etq2ne seraient pas premier entre eux, ce qui eabsurde.
Cette carence pose problème, notament pour l’étude des suites. C’epourquoi, pour faire de l’analyse on eamené à travailler dans un ensemble plus gros que Q, un ensemble qui vérifie lui cette propriété :R.
Caraérisation deR.—L’ensemble des nombres réelsRemuni de deux lois de com- positions interne(+, .)et d’une relation d’ordre≤vérifiant les propriétés suivantes :
)(R,+, .)euncorps commutatif.
) L’ordre≤etotal dansR.
) Pour tousa, b, c∈R,(a≤b=⇒a+c≤b+c)et(a≤b et c≥0 =⇒ac≤bc).
)Qeun sous-corps deR.
)Propriété d’archimède:∀a >0,∀x∈R,∃n∈N∗;x≤na.
)Propriété de la borne supérieure: Toute partie majorée non vide deRadmet dans Rune borne supérieure.
Remarque : Les propriétés 1),2),3),5) peuvent se résumer en disant que R e uncorps totalement ordonné archimédien(en fait, on peut démontrer qu’à elles
seules ces propriétés implique la propriété )). On remarque queQvérifie aussi toutes ces propriétés à l’exception de la propriété).
Notations:On note :
R+, l’ensemble des réels positifs i.e.R+={x∈R/x≥0}.
R∗+, l’ensemble des réelsriement positifs i.e.R∗+={x∈R/x >0}. R−, l’ensemble des réels négatifs i.e.R−={x∈R/x≤0}.
R∗−, l’ensemble des réelsriement négatifs i.e.R∗−={x∈R/x <0}.
Des propriétés 1),2),3), on déduit sans difficulté que pour tousa, b, c, a0, b0∈R,
•a≤b⇐⇒ −b≤ −a.
•a < b⇐⇒ −b <−a, (versionrie).
•a≤beta0≤b0⇐⇒a+a0≤b+b0.
•a < beta0< b0⇐⇒a+a0< b+b0, (versionrie).
•0≤a≤bet 0≤a0≤b0⇐⇒0≤aa0≤bb0.
•0< a < bet 0< a0< b0⇐⇒0< aa0< bb0, (versionrie).
Règle des signes:
ab >0⇐⇒(a >0et b >0)ou(a <0et b <0) ab <0⇐⇒(a >0et b <0)ou(a <0et b >0)
En particulier, pour tout x ∈ R∗, x2 > 0, donc 1 > 0 d’où −1 < 0 et donc l’équationx2+1 = 0 n’a pas de solution. DoncRn’epasalgébriquement clos(i.e.
Il exie un polynôme à coefficients réels de degré plus grand que 1 qui n’admet pas de racine réelle).
Remarque:R+etR∗+sontable par l’addition et la multiplication.
Valeur absolue: Rétant totalement ordonné, toute partie non vide et finie deR admet un maximum et un minimum. En particulier, pour tout réelx,max(−x, x) exie.
Définition.—Soitx∈R, on appelle valeur absolue dexet on note|x|le réelmax(−x, x).
Proposition.—Soienta, b∈Retr∈R∗+alors :
• |a| ≥0.
• |a|= 0⇐⇒a= 0.
• |a|=| −a|.
• |a−b| ≤r⇐⇒a−r≤b≤a+r.
• |a−b|< r⇐⇒a−r < b < a+r.
• |a+b| ≤ |a|+|b|, (première inégalité triangulaire).
• ||a| − |b|| ≤ |a−b|, (deuxième inégalité triangulaire).
• |ab|=|a||b|.
• ∀(x1,· · ·, xn)∈Rn,
Xn i=1
xi
≤ Xn
i=1
|xi|.
• ∀(x1,· · ·, xn)∈Rn,
Yn i=1
xi
= Yn
i=1
|xi|. Diance entre deux réels
Définition.—Siaetbsont deux réels, on appelle diance (euclidienne) deaàbet l’on noted(a, b), le réel|b−a|. On définit ainsi une application deR2dansR.
Théorème.—On a les propriétés suivantes :
)∀(a, b)∈R2, d(a, b) = 0⇐⇒a=b(Séparation).
)∀(a, b)∈R2, d(a, b) =d(b, a)(Symétrie).
)∀(a, b, c)∈R3, d(a, c)≤d(a, b) +d(b, c)(Inégalité triangulaire).
Ces trois propriétés sont fondamentales. Elles jouent un role centrale en topolo- gie. Il einterressant de remarquer qu’il exie bien d’autres applications deR2 dans R vérifiants ces trois propriétés. Par exempled(a, b) = |a|+|b| oud(a, b) = max(|a|,|b|).
.. Bornes supérieures et inférieures dansR.
On vient de voir que l’une des grosse nouveauté de R(par rapport àQ) était la propriété de la borne supérieure. Nous allons voir une façon plus "topologique" de caraériser une borne supérieure.
Théorème.—SoitAune partie deR, les propriétés suivantes sont équivalentes : i)β= sup{x∈A},
ii)β∈R, ∀a∈A, a≤β et∀y∈R,((∀a∈A, a≤y) =⇒β≤y), iii)β∈R,∀a∈A, a≤β et∀∈R∗+,∃a∈A;β− < a≤β.
Preuve :i)⇐⇒ii) eévident.
i)⇐⇒iii) :β∈R,∀a∈A, a≤βtraduit queβeun majorant deA. Soitβ0le plus petit majorant deA(donc la borne supérieure).
(non i) =⇒non iii)) : supposonsβ > β0et posons= (β−β0)/2. Alors@a∈Atel que β− < a < βcarβ− > β0on aurait alorsa > β0ce qui nierait le fait queβ0 majore adoncA.
(non iii) =⇒non i)) Soittel qu’il n’exie pasa∈Atel queβ− < a < β. Alors β−≥β0et doncβ > β0.
——–
DansRon a une version duale de la propriété de la borne supérieure : Théorème.—Toute partieAdeRminorée, admet une borne inférieure.
Preuve : SoitAune partie minorée deR, alors la partie−A={−x, x∈A}eune partie majorée. Elle admet donc une borne supérieureβ. Il s’ensuit que−βeune borne inférieure deA.
On a, comme pour la borne supérieure :
Théorème.—SoitAune partie deR. Les propriétés suivantes sont équivalentes : i)β= inf{x∈A},
ii)β∈R, ∀a∈A, a≥β et∀y∈R,((∀a∈A, a≥y) =⇒β≥y), iii)β∈R,∀a∈A, a≥β et∀∈R∗+,∃a∈A;β+ > a≥β.
Remarque: La borne supérieure d’une partie deRn’appartient pas forcement à cette partie: Par exemple sup]0,1[= 1 et 1<]0,1[.
. Suites réelles.
.. Définitions, propriétés.
Définition.—Une suite réelleU eune application deNdansR. On noteU= (Un)n ou plus simplement(Un)nla suiteU:n7−→U(n).
L’ensemble des suites réelles enaturellement notéRN.
Définition.—Une suite réelleU edite majorée (resp. minorée, resp. bornée) quand le sous-ensemble U(N) ={Un;n∈N}de Remajoré (resp. minoré, resp. majoré et minoré).
Définition.—Une sous-suite d’une suite(Un)n(dite aussi suite extraite deU) eune suite de la forme(Uϕ(n))n∈
Noùϕeune applicationriement croissante deNdans N.
Définition.—(Convergence de suite)On dit qu’une suite réelle(Un)nconverge dans R(ou econvergente) si et seulement si il exiel∈Rtel que :
∀ >0∃N ∈N;∀n > N|Un−l|<
On dit alors quelela limite de(Un)n.
Théorème.—Si une suite(Un)nconverge dansRalors sa limite eunique.
Preuve : Supposons que (Un)n admette deux limites diinesl1 etl2. Prenons =|l1−l2|/3. D’après la definition :
∃N1∈N;∀n > N1|Un−l1|<
∃N2∈N;∀n > N2|Un−l2|<
alors pour un entiernsupérieur à la fois àN1etN2on a
|l1−l2| ≤ |l1−Un|+|Un−l2|<2 <|l1−l2| ce qui eabsurde.
——–
Terminologie:On dit "(Un)nconverge versl" ou "lelimite de(Un)n"ou bien encore
"(Un)n tend vers l quand n tend vers plus l’infini". On écrit alors Un → l ou l =
nlim→+∞Un.
Théorème.—On a les propriétés suivantes :
) Toute suite réelle convergente ebornée.
) Toute sous suite, d’une suite réelle convergente, converge vers la même limite.
Preuve :) SiN eassocié à= 1,∀n∈N,|un| ≤max(|l|+ 1,|u0|,· · ·,|uN|).
) Siϕ:N→Ncroîtriement, pour toutn∈N, ϕ(n)≥n.
——–
.. Suites adjacentes.
Définition.—Deux suites(an)et(bn)sont dites adjacentes lorsque(an)eune suite croissante et que(bn)edécroissante et que l’on a lim
n→+∞d(an, bn) = 0.
Théorème.—Soient(an)et(bn)deux suites réelles adjacentes, alors:
) Ces deux suites converge vers la même limitel.
)∀n∈N,an≤l≤bn.
Preuve : ) La suite (an−bn) étant croissante de limite 0, elle ne peut prendre que des valeurs négatives. Ainsi∀n∈N, an≤bn. SoitA={an;n∈N}, cet ensemble e majoré parb0, donc il admet une borne supérieurel. Soit >0:
Par le critère de la borne supérieure:∃p∈N;l− < ap≤l. Par convergence de (bn−an):∃q∈N;∀n≥q;|bn−an|< . Donc pourn≥N =max(p, q) on a :
l− < ap≤aN≤an≤let an≤bn< an+≤l+d’où:
|an−l|< et|bn−l|<
Les suites (an) et (bn) convergent versl.
) On remarque pour terminer que:
∀n∈N,an≤l(borne sup.)
∀n∈N,bn≥l (sinon,∀n≤p, bn≤bp< l:ceci contreditbn→l.)
——–
Théorème.—(Théorème des segments emboités)Soit([an, bn])n∈Nune suite de seg- ments décroissante pour la relation d’inclusion et telle que lim
n→+∞d(an, bn) = 0. Alors:
)\
n∈N
[an, bn]eun singleton{l}.
) Les suites(an)net(bn)nconvergent toute deux versl.
Preuve : Il eclair que (an)n et (bn)n sont des suites adjacentes. Elles convergent donc toutes deux vers une limitel. Il eclair que∀n, l∈[an, bn] donclappartient bien à l’interseion. S’il exieα ,l dans l’interseion alors soit=|l−α|. Il exientel qued(an, bn)< . Mais alorsl etα sont dans [an, bn] doncd(an, bn)≥ ce qui eabsurde.
——–
.. Suites de Cauchy.
Définition.—Une suite de réels(Un)nedite de Cauchy si elle vérifie:
∀ >0.∃N ∈N;∀(p, q)∈N(p≥N et q≥N) =⇒ |up−uq|<
Remarque:On a, de façon équivalente, la formulation suivante :
∀ >0,∃N∈N;∀(p, k)∈Np≥N=⇒ |up+k−up|<
Proposition.—On a les deux propriétés suivantes :
) Toute suite convergente ede Cauchy.
) Toute suite de Cauchy ebornée.
Preuve : ) Sip, q≥N,|up−uq|=|up−l+l−uq| ≤ |up−l|+|l−uq|< /2 +/2, avec N associé à/2 dans la def de la convergence.
) On prend= 1 et on a|un| ≤max(|u0|,· · ·,|uN−1|,|uN|+ 1)
——–
Théorème.—Toute suite de Cauchy réelle econvergente.
Preuve : Si la suite (un)n e de cauchy, elle e bornée, on peut donc définir an= inf
k≥n(uk) etbn= sup
k≥n
(uk). On aan≤an+1etbn≥bn+1.
Soit >0, il exieN ∈Ntel que pourp, q > Non ait|up−uq|< /3. Pour toutn > N il exiepn, qn> ntels quean≤upn ≤an+/3 etbn−/3≤uqn≤bn de telle sorte que 0≤bn−an≤/3 +/3 +/3 =.
La suite de segments [an, bn] edonc décroissante et leur longueur tend vers 0. Il exie alors un unique réelatel que\
n∈N
[an, bn] ={a}.
En gardant les mêmes notations, pour tout >0, si n≥ N, un et a sont dans [aN, bN], donc|a−un| ≤ |bN−aN| ≤. La suite (un)nconverge versa.
——–
Remarques: ) Les propriétés) et) de la proposition.. sont valables dansQ.
) Le théorème, en revanche, n’epas valable pour les suites dansQ. Considérons par exemple la suite définie par Un = 10−nE(10n
√2). C’e une suite de Cauchy dansQet pourtant elle ne converge pas dansQ.
) On dit queRecompletparce que toute suite de Cauchy y econvergente. On peut d’ailleur montrer qu’à un isomorphisme prèsRele seulcorps totalement ordonné archimédien complet.
.. Suites monotones.
Définition.—Une suite de réels(Un)n edite croissante (resp. décroissante) si pour toutn≥0on aUn+1≥Un(resp.Un+1≤Un).
Une suite réelle qui ecroissante ou décroissante edite monotone.
Théorème.—(dit de "la limite monotone")Soit(Un)n une suite monotone. Les pro- priétés suivantes sont équivalentes :
i)(Un)nebornée, ii)(Un)nconverge.
Preuve :ii)⇒i) edéjà fait.
i)⇒ii) Supposons (Un)n croissante et posonsU ={Un/n∈N}. Par hypothèse,U e un ensemble non vide majoré, il admet donc une borne supérieure, notons la l. Par la caraérisation de la borne supérieure, pour tout >0, il exiex∈U tel quel− < x≤l. Soitn0∈Ntel quex=Un0alors pour toutn≥n0, on a
l− < Un0≤Un≤l
et donc par suite|Un−l|< . On en déduit donc que (Un)nconverge versl.
——–
Thème — Propriétés équivalentes au théorème de la borne supérieureEn reprenant les preuves faites précédement, montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) Théorème de la borne supérieure,
ii) Théorème des suites adjacentes, iii) Théorème des segments emboités, iv) Théorème de la limite monotone, v)Recomplet.
Thème — Une conruion deR:On considère surQla notion de suite de Cauchy en reprenant la même définition que celle proposée ci-dessus, mais en prenant soin de prendrerationnel. On noteCl’ensemble des suites de Cauchy surQ.
a) Montrer que, muni de l’addition et de la multiplication des suites,C eun anneau commutatif et unitaire dans lequel s’injee de manière naturelle le corpsQ.
b) On considèreI l’ensemble des éléments deCqui convergent vers0. Prouver queI e un idéal maximal deC.
c) En déduire que l’anneau quotient C/I eun corps et que ce corps vérifie lespro- priétés fondamentales qui définissentR.
. Approximation décimale d’un réel.
.. Partie entière d’un réel.
Soitxun nombre réel. D’après la propriété d’Archimède, il exie deux entiers petqtels quex≤pet−x≤qsoit−q≤x. Alors{m∈Z;m≤x}eune partie non vide (−qy appartient) et majorée (parp), donc admet un maximum.Définition.—
La partie entière dexele plus grand entier inférieur àx. Elle enotéE(x)ou parfois [x]. Par définition on appelle partie fraionnaire dexle réelx−E(x). On la note< x >.
Lemme.—On a les propriétés suivantes :
)∀x∈R,m=E(x)⇐⇒(m∈Zet m≤x < m+ 1).
)x7−→E(x)croît surR.
)x7−→< x >epériodique de période1.
Lemme.—(Division euclidienne)Soitaun réelriement positif. Pour tout réelx, il exie un unique couple(q, r)dansZ×Rtel que
x=aq+r, avec0≤r < a
Preuve :On prendq=E(x/a) etr=x−aq.
.. Nombres décimaux. Approximation décimale d’un réel.
Définition.—On appelle rationnel décimal tout élément deQpouvant s’écrirep/10n avecp∈Zetn∈N.
Notation : si 0≤p <10n,ps’écrit
n−1
X
k=0
an−k10k aveca1,· · ·, an∈ |[0,9]|(représenta- tion d’un entier en base dix). On note alors
p 10n =
n
X
i=1
ai
10i = 0, a1a2· · ·an
L’entierai ealors appelé laiemedécimale.
Proposition.—Sixeun réel, etnun entier naturel,pn=E(10nx)el’unique entier tel que :
pn
10n ≤x <pn+ 1 10n Définition.—On dit alors que pn
10n elavaleur approchée décimale par défautà 10−nprès dexet que pn+ 1
10n elavaleur approchée décimale par excésà10−nprès dex.
Proposition.—Sixeun réel, la suite( pn 10n)
n∈Nde ses décimales approchées par défaut converge versxdansR.
Preuve : En effet, pour >0 fixé, on a: 0≤x−pn/10n ≤1/10n <1/n < sin >
E(1/).
——–
.. Developpement décimal illimité d’un réel.
On reprend les notations du paragraphe précédent, avecxréel etnentier>0.
L’entierp0=m=E(x) eaussi la partie entière du rationnel décimalpn/10n. Donc pn
10n−m= 0, a1a2· · ·an= Xn
i=1
ai
10i avec ai ∈ {0,1,2· · ·,9} On a:
an+1=E(10n+1x)−10E(10nx)
Exercice : Montrer qu’il exie une unique suite d’entiers compris entre 0 et 9, (ai)i∈N∗ telle que pour toutn >0, la valeur décimale approchée par défaut à 1/10n près dexs’écriveE(x) +
Xn
i=1
ai 10i.
Cette suite, à laquelle on adjoint l’entiera0=p0, déterminexpuisque x= lim
n→+∞
n
X
i=0
ai
10i
Définition.— On appelledéveloppement décimal illimité (propre) du réelxet on écritx=a0+ 0, a1a2· · ·an· · · ou (six >0),x=bl· · ·b0, a1a2· · ·an· · · (bl· · ·b0étant les chiffres de l’écriture dea0en base dix), la suite d’entiers(an)n∈N, définie par:
a0=E(x), et pour n≥1, an=E(10nx)−10E(10n−1x)
Soit, réciproquement, une suite (ai)i∈N aveca0 ∈Zet ∀i∈N∗, ai = 0,1,· · ·,9.
Soitu0=a0et pourn∈N∗, Un=a0+ Xn
i=1
ai 10n. Lemme.—La suite(Un)nconverge dansR.
Preuve :En effet, elle ede Cauchy puisque pourn > q >1:
0≤Un−Uq= Xn
i=q+1
ai 10i
≤9 Xn
i=q+1
1 10i
≤ 9 10q+1
1− 1
10n−q
1− 1
10
≤ 1 10q
et siN >1/, ∀q≤N ,1/10q< .
——–
Reprenons le lemme précédent et désignons parxla limite de (Un)n. Deux cas se présentent alors :
er cas)∀n∈N∗,∃k > n; ak,9.
Fixons un entiernet prenons un entierk > ntel queak ,9. La suite (Up)pe croissante et pourp≥k, on a :
0≤Up−Un≤
p
X
i=n+1
9 10i
− 1 10k = 9
10n+1 1− 1
10p−n
1− 1
10
− 1 10k 0≤Up−Un≤ 9
10n+1 1 1− 1
10
− 1 10k = 1
10n− 1 10k ce qui donne
a0+
n
X
i=1
ai 10i
≤Up≤a0+
n
X
i=1
ai 10i + 1
10n − 1 10k En faisant tendrepvers l’infini, on obtient alors:
Un≤x≤Un+ 1 10n − 1
10k < Un+ 1 10n Finalement:
∀n∈N∗, a0+ Xn
i=1
ai 10i
≤x < a0+ Xn
i=1
ai 10i + 1
10n donca0+
n
X
i=1
ai
10i ela valeur décimale approchée à 1/10nprès par défaut dex.
Dans ce cas précis, la suite (an)n∈Ncorrespond exaement pourxau développe- ment décimal illimité propre obtenu précédement.
ème cas)∃n∈N∗; ∀k > n, ak= 9.
Dans ce cas,
∀k > n, Uk=Un+ 9 Xk
i=n+1
1
10i =Un+ 9 10n+1
1− 1
10k−n
1− 1
10
=Un+ 1 10n− 1
10k et par conséquent Uk →Un+ 1/10n rationnel décimal. Donc xe un rationnel décimal et pour k > n, Uk n’e pas la valeur approchée décimale par défaut à 1/10kprès dex.
On parle alors dedéveloppement décimal illimité impropre de x:
x=a0+ 0, a1· · ·an999· · ·9· · ·
En résumé, on vient de montrer que si x∈ R n’e pas rationnel alors il ne possède qu’un unique développement décimal illimité (i.e. il exie une unique suite (ai)i∈Naveca0∈Zet∀i∈N∗, ai = 0,1,· · ·,9 telle quex=X
n≥0
an10−n). Sixe rationnel, alors il en exie deux.
Exercice : Déduire de ce résultat queRn’epas dénombrable.
. Topologie de
R.
.. Densité.
Définition.—On dit qu’une partieAdeRedense dansRsi et seulement si
∀(x, y)∈R2, x < y,∃a∈A;x < a < y
Proposition.—SoitAun sous-ensemble deR, alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
i)Aedense dansR.
ii)∀(x, y)∈R2, x < y il exie une suite(an)n∈N,riement croissante d’éléments deAvérifiant:∀n∈N, x < an< y
Exemples : •Qedense dansR. En effet, soientx < ydeux réels etα=y−x >0.
D’aprés la propriété d’Archimède, ∃n∈ N; n >1/α. C’e à dire 1/n < α. Soit p=E(nx), alors on a :
x < p+ 1 n < y
en effetp≤nx < p+ 1 donc (p+ 1)/n > x. Or 1/n < y−xetp/n≤xdonc (p+ 1)/n < y.
•R/Qe dense dansR. En effet, on a montré précédement que√
2∈R/Q. Soit x < y, alors x
√ 2 < y
√
2. Qétant dense dansR, il exier∈Qtel que x
√
2< r < y
√ 2.
Si r , 0 alors r
√2 e irrationnel et √x 2 < r
√ 2 < y
√
2. Si r = 0, alors toujours par densité deQdansR, il exier0 ∈Qtel que 0< r0 < √y
2. De mêmer0
√2 e irrationnel et √x
2< r0
√ 2< y
√ 2
.. Voisinages dansR.
Définition.—On appelle intervalle deRtoute partieIdeRvérifiant:
∀(a, b, c)∈R3,(a∈I, b∈I et a≤c≤b) =⇒c∈I
Proposition.— Une partieI deReun intervalle si et seulement siI eune partie convexe i.e.
∀(x, y)∈I2, ∀θ∈[0,1],(1−θ)x+θy∈I Par récurrence, siI eun intervalle deR:
∀n∈N∗,∀(θ1,· · ·, θn)∈(R+)n,((x1,· · ·, xn)∈Inet Xn
i=1
θi= 1) =⇒ Xn
i=1
θixi∈I
Remarque: Un intervalle non vide et non réduit à un point e nécéssairement infini.
Classification:
. Les intervalles bornés:
(a) [a, b] ={x∈R;a≤x≤b}(a≤b).
(b) ]a, b[={x∈R;a < x < b}(a < b).
(c) ]a, b] ={x∈R;a < x≤b}(a < b).
(d) [a, b[={x∈R;a≤x < b}(a < b).
. Les intervalles non bornés:
(a) ]a,+∞[={x∈R;x > a}(a∈R).
(b) [a,+∞[={x∈R;x≥a}(a∈R).
(c) ]− ∞, b[={x∈R;x < b}(b∈R).
(d) ]− ∞, b] ={x∈R; x≤b}(b∈R).
(e) ]− ∞,+∞[=R
Définition.—Soitxun réel. Une partieV deRedite voisinage dexsi et seulement si
∃(α, β)∈R2;α < x < β et]α, β[⊂V
De façon équivalente une partieVeun voisinage dexdansRsi et seulement si il exie >0 tel que ]x−, x+[⊂V.
Notation:On noteV
R(x) l’ensemble des voisinages dexdansR.
Proposition.—On a les propriétés suivantes :
i) Tout intervalle ouvert contenantxeun voisinage dex.
ii) Toute interseion finie de voisinages dexeun voisinage dex.
iii) Toute partie deRcontenant un voisinage dexeun voisinage dex.
Définition.—SiAeune partie deR, on dit quea∈Aeun point intérieur àAsi et seulement siA∈ V
R(a). L’intérieur deAel’ensemble des points intérieurs àA. On le note
◦
A. Ainsi
a∈
◦
A⇐⇒ ∃ >0; ]a−, a+[⊂A
Proposition.—SoitA, B, A1,· · ·, Apdes parties deR. On a les propriétés suivantes :
)A◦⊂A.
)A⊂B=⇒
◦
A⊂
◦
B.
)
◦
◦
A=
◦
A.
)
◦
( \
1≤k≤p
Ak)= \
1≤k≤p
◦
Ak.
) [
1≤k≤p
◦
Ak⊂
◦
( [
1≤k≤p
Ak).
Exemples:i)
◦
[a, b]=
◦
]a, b[=
◦
[a, b[=
◦
]a, b]=]a, b[.
ii)
◦
R=R.
iii)
◦
N=∅;
◦
Q=∅;
◦
R/Q=∅. iv)
◦
{x}=∅. v)
◦
[0,1[∪[1,2]=
◦
[0,2]=]0,2[,
◦
[0,1[∪
◦
[1,2]=]0,1[∪]1,2[.
Définition.—SoitAune partie deRetαun réel. On dit queαeun point adhérent àAsi et seulement si tout voisinage deαrencontreA:
∀V∈ V
R(α), V∩A,∅
L’adhérence deA, notéA, el’ensemble des points adhérents àA.
Lemme.—SoitAune partie deRetα∈R. Alors
α∈A⇐⇒ ∀ >0,∃a∈A; |a−α|<
de même:
α∈A⇐⇒ ∃(an)n∈N∈AN; lim
n→+∞an=α
Proposition.—SoientA, B, A1,· · ·, Apdes parties deR, on a les relations suivantes:
. A⊂A.
. A⊂B=⇒A⊂B.
. A=A.
. [
1≤k≤p
Ak= [
1≤k≤p
Ak.
. \
1≤k≤p
Ak⊂ \
1≤k≤p
Ak.
. SiAemajorée (resp. minorée),sup(A)∈A(resp.inf(A)∈A).
Exemples :i) [a, b] = ]a, b[ = [a, b].
ii)Q=R,R/Q=R,N=N.
]0,1[∩]1,2[ ={1},]0,1[∩]1,2[ =∅=∅.
Lemme.—Les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
i)Aedense dansR.
ii)A=R.
On peut donc généraliser la notion de densité:
Définition.— Soit Aet B deux parties de R. On dit queA e dense dans B si et seulement siA=B.
Proposition.—On a les relations suivantes entre intérieur et adhérence:
. CRA=
◦
CRA.
. CR
◦
A=CRA.
.
◦
◦
A=
◦
A.
.
◦
◦
A=
◦
A.
. Il exie des partiesAdeRtelles que les sept ensemblesX, X,
◦
X,
◦
X,
◦
X,
◦
◦
X,
◦
Xsoient diins deux à deux.
. On appelle frontière deAl’ensembleFr(A) =A∩CRA, et extérieur deAl’ensemble Ext=CRA.
. Ext(A)=◦ Ext(A).
Définition.—Une partieΩdeReun ouvert deRsi c’eun voisinage de chacun de ses points:
∀x∈Ω,Ω∈ V
R(x)
Remarque:Comme la définition l’indique,∅eun ouvert deR.
Lemme.—SiΩeune partie non vide deR, alors les trois propriétés suivantes sont équivalentes:
i)Ωouvert.
ii)∀x∈Ω,∃ >0; ]x−, x+[⊂Ω.
iii)Ω=
◦
Ω.
Proposition.—On a les propríetés suivantes : i) Toute interseion finie d’ouverts eun ouvert.
ii) Toute réunion d’ouverts eun ouvert.
iii) Tout ouvert eréunion d’une famille d’intervalles ouverts.
Théorème.—SiAeune partie deRalors
◦
Aele plus grand ouvert contenu dansA.
Définition.—Un fermé deRepar définition le complémentaire dansRd’un ouvert deR.
Lemme.—SiFeune partie deR, alors les propriétés suivantes sont équivalentes:
i)Ffermé deR.
ii)F=F.
iii)F⊂F.
iv) Toute suite(an)n∈Nd’élements deFqui converge dansRconverge dansA.
Proposition.—On a les propríetés suivantes : i) Toute interseion de fermés eun fermé.
ii) Toute réunion finie de fermés eun fermé.
Théorème.—SiAeune partie deRalorsAele plus petit fermé contenantA.
Exemples d’ouverts:
.) ]a, b[
.) ]a,+∞[ .) ]− ∞, a[
.)R
Exemples de fermés:
.) [a, b]
.){a} .)R Attention:
Il exie des ensembles à la fois ouverts et fermés. Par exemple ∅ et R. On
pourrait montrer qu’il n’y a que ces deux ensembles qui vérifient cette propriété, on dit alors queReconnexe.
Il exie des ensembles qui ne sont ni ouvert ni fermé. Par exemples ]0,1],Q.
Définition.—SoitAune partie non vide deR.
On appelleouvert deAtoute interseion d’un ouvert deRavecA.
On appellefermé deAtoute interseion d’un fermé deRavecA.
Si x e un point deA, on appelle voisinage de x dansA, toute interseion d’un voisinage dexdansRavecA.
Lemme.—Les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
i)Feun fermé deA. ii)CAFeun ouvert deA.
Proposition.—SoitAune partie deR, alors
i) Toute réunion d’ouverts deAeun ouvert deA.
ii) Toute interseion finie d’ouverts deAeun ouvert deA.
iii) Toute réunion finie de fermés deAeun fermé deA.
iv) Toute interseion de fermés deAeun fermé deA.
Définition.—Soit(Un)nune suite réelle. On dit qu’un réelλeune valeur d’adhérence de la suite(Un)nsi et seulement si elle vérifie les propriétés équivalentes suivantes:
i)∀ >0∀N∈N,∃n > N;|Un−λ|< .
ii) Pour tout >0, l’ensemble desn∈Nvérifiant|Un−λ|< einfini.
Lemme.—Si(Un)neune suite réelle, le réelλeune valeur d’adhérence de(Un)nsi et seulement si il exie une sous-suite(Uϕ(n))n∈
Nconvergeant versλ.
Preuve : Soit λ une valeur d’adhérence de (Un)n. Il exie un entiern0 tel que
|Un0−λ|<1. On poseϕ(0) =n0. On suppose avoirϕ(0)< ϕ(1)<· · ·< ϕ(n) tels que
|Uϕ(k)−λ|<1/k, alors l’ensemble{p∈N;|Up−λ|<1/(n+ 1)}einfini, donc il exie un telptel quep > ϕ(n), on poseϕ(n+ 1) =p. Il eclair quelimn→Uϕ(n)=λ.
Réciproquement, siUϕ(n)→λalors∀ >0{|Uϕ(n)−λ|< }einfini, donc a fortiori l’ensemble{|Un−λ|< }.λedonc valeur d’adhérence.
Remarque:Si une suite econvergente, elle admet une unique valeur d’adhérence:
sa limite. En effet, toute sous suite converge vers sa limite.
Théorème.—(Bolzano-Weierrass)Toute suite réelle bornée a au moins une valeur d’adhérence.
Preuve : Soit (Un)n une suite réelle bornée. On veut montrer par récurrence la propriété suivante D(p) : ∃a0,· · ·, ap, b0,· · ·, bp tels quea0 ≤a1 ≤ · · · ≤ap < bp ≤ bp−1 ≤ · · · ≤b0,∀k = 0,· · ·, p, (bk−ak) = (bk−1−ak−1)/2 et{n∈N;Un ∈[ak, bk]}e infini.
D(0) evraie. En effet la suite étant bornée, il exiea, btelle que∀n∈N, a < Un<
b.
SiD(p) evrai soit alorscp= (bp+ap)/2. On définitNp ={n∈N; Un∈[ap, cp]}et Np0={n∈N; Un∈[cp, bp]}. SiNpeinfini on prendap+1=apetbp+1=cp. Sinon Np0einfini et l’on prendap+1=cpetbp+1=bp.
La propriétéD(p) eainsi héréditaire.
La suite de segments [ap, bp]p∈
Nvérifie les hypothèses du théorème des segments emboités. On notecl’unique élément de l’interseion de ces segments. Soit >0, il exieN ∈Ntel queN > a−b alors 0≤bN−aN= b2−Na< aN−b < , maisaN ≤c≤bN
et{n∈N;aN≤Un≤bN}einfini. Donc{n∈N;|Un−c|< }einfini etcevaleur d’adhérence de (Un).
——–
Remarque :Le procédé adopté pour conruire les segments emboités eappellé
procédé de dichotomie.
Définition.—Une partieAdeRedite compae lorsque toute suite d’éléments deA admet au moins une valeur d’adhérence dansA.
Théorème.—Les parties compaes deRsont exaement les fermés bornés.
Preuve :SoitAun compa. Soitx∈A. Il exie donc une suite (xn)n∈Nd’éléments deAconvergeant versx. Cette suite n’a qu’une seule valeur d’adhérence: sa limite.
Doncx∈F, ainsiF⊂FetFefermé. SiAn’était pas bornée, il exierait une suite ann∈Ntelle que pour tout n∈N, |an|> n, toute sous-suite n’étant pas bornée, ne pourrait converger.
Réciproquement siAeborné toute suite d’éléments deAadmet une sous-suite convergeant dansR. CommeAefermé, elle converge dansA.Aecompae.
——–
.. La droite numérique achevéeR.
Définition.—On appelle droite numérique achevée et l’on noteRl’ensembleR∪{−∞,+∞}, obtenu en adjoignant àRdeux éléments, muni d’un ordre total prolongeant celui deR en posant:
∀x∈R,−∞< x <+∞
Attention: Rn’a pas deruure algébrique. Notament les opérations suivantes n’ont aucun sens: x+∞,x.(+∞) +∞ − ∞etc...
Lemme.—Toute partie non vide de Radmet une borne supérieure et une borne in- férieure.
Preuve :SoitAune partie deR. SiAemajorée dansR, alorsAadmet une borne supérieure dansR, c’eaussi une borne supérieure deAdansR.
SiAn’epas majorée dansR, alors +∞eune borne supérieure dansR.
On a la même chose pour les bornes inférieures.
——–
Définition.—On appelle voisinage dansRde+∞toute partieV deRpour laquelle il exiea∈Rtel que[a,+∞[⊂V. L’ensemble de ces voisinages enotéV
R(+∞).
On appelle voisinage dansRde+∞toute partieV deRpour laquelle il exieb∈Rtel que]− ∞, b]⊂V. L’ensemble de ces voisinages enotéV
R(−∞).
Les ensemblesV
R(−∞) etV
R(+∞) ont les même propriétés queV
R(x) lorsquex eréel, en particulier celle d’interseion finie.
Définition.—α∈Redit adhérent àA⊂Rlorsque pour toutV ∈ V
R(α), V∩A=∅. Définition.— Si A e une partie de R, on dit qu’un élément a de R e un point d’accumulation de Asi et seulement si a e adhérent àA− {a}; c’e à dire si tout voisinage dearencontreAen un autre point quea.
Remarque:Tout point d’accumulation eun point d’adhérence mais la réciproque e fausse. Ainsi tout réel e un point d’accumulation deQ, maisNne possède aucun point d’accumulation.
Lemme.—Pour quea soit un point d’accumulation deA, il faut et il suffit que pour tout voisinageV dea,V∩Asoit infini.
Définition.—SiAeune partie deR, on appelle point isolé deAtout point deAqui n’epas point d’accumulation deA, c’eà dire tout point deAayant un voisinageV
tel queV∩A={a}.
Exemple: Tout point deNeisolé, un ensemble edense dansRsi et seulement si il n’a pas de point isolé.
. Limites de suites.
.. Suites réelles.
Rappel:On dit qu’une suite réelle (Un)nconverge versl∈Rsi et seulement si :
∀ >0,∃N ∈N;∀n > N ,|Un−l|<
On a vu que dans ce cas la suite (Un)n ebornée et que sa limite eunique. La définition s’étend facilement au cas des suites "définies à partir d’un certain rang":
(Un)n≥q.
Proposition.—Soient(Un)net(Vn)ndeux suites réelles etl, α, β, λ, µdes réels. On a la propriétés suivantes :
) lim
n→+∞Un=l⇐⇒ lim
n→+∞
|Un−l|= 0.
) lim
n→+∞Un=l=⇒lim
n→n
|Un|=|l|.
) lim
n→+∞Un=λet lim
n→+∞Vn=µ=⇒ lim
n→+∞αUn+βVn=αλ+βµ.
) lim
n→+∞Un= 0etVnbornée=⇒ lim
n→+∞UnVn= 0.
) lim
n→+∞Un=λet lim
n→+∞Vn=µ=⇒ lim
n→+∞UnVn=λµ.
) Si lim
n→+∞Un=lavecl,0, il exiem∈Ntel quen≥m=⇒0et lim
n→+∞,n≥m
1 Un =1
l. Proposition.—On a les propriétés suivantes :
) Si une suite réelle(Un)n converge versl et que α < l < β, il exieN ∈ Ntel que
∀n≥N , α < Un< β.
) Si les suites(Un)n et(Vn)n convergent respeivement vers les réelletl0. Alors s’il exiep∈Ntel que pourn≥p, Un< Vn, alorsl≤l0.
) Si(an)n∈N,(bn)n∈Net(cn)n∈Nsont des suites telles que : i)(an)et(bn)converge vers la même limitel.
ii)∃N0∈Ntel que pourn≥N0,an≤cn≤bn, alors(cn)nconverge versl.
Définition.—Soit(Un)nune suite réelle.
i) On dit que(Un)tend vers+∞et l’on note lim
n→+∞Un= +∞si
∀A∈R,∃N∈N;∀n≥N Un≥A ii) On dit que(Un)tend vers−∞et l’on note lim
n→+∞Un=−∞si
∀A∈R,∃N∈N;∀n≥N Un≤A
