ZEGGAOUI EL MOSTAFA. U C(t) ont. E et E, C.E C. dq q d q d q q. dt dt. d q q L. 0 (a) d UC d UC UC UC LC. 0 (b) q(t) A.cos(.

Les oscillations libres dans un régime RLC série

Exercice_1_solution _ décharge d’un condensateur dans une bobine idéal Soit le circuit suivant formé d’un générateur de force électromotrice E = 6 V d’un condensateur de capacité

C   6 F

et une bobine idéal de résistance négligeable et d’inductance L 6 mH et un

interrupteur à deux positions.

1) on met l’interrupteur en position-1 pour charger le condensateur.

calculer la charge du condensateur à la fin de la charge et préciser le signe de la charge de chaque armature.

2) à l’instant t = 0, on place l’interrupteur K sur la position-2, on pose (q) la charge de l’armature A à un instant t.

2.1) Trouver l’équation différentielle que vérifie la charge q et déduire l’équation différentielle que vérifie la tension

U (t)

_C entre les bornes du condensateur.

2.2) Montrer que la solution de la première équation différentielle peut s’écrire sous la forme,

q(t)



A.cos(

0

.t

 

)

, avec A : l’amplitude en (C),



₀

(rad / s)

: la pulsation propre des oscillations,

(rad)



: la phase à l’origine. trouver les expressions des constantes A,



₀

et 

; et calculer leurs

valeurs.

2.3) trouver les expressions des fonctions

U (t)

_C et i (t) ; montrer que les fonctions q(t), i(t) et

U (t)

_C ont la même période temporelle.

2.4) dessiner ces trois fonctions dans un même schéma, interpréter ces trois courbes.

3) l’énergie totale de l’oscillateur formé du condensateur et de la bobine est

E

_T

 E

_e

 E

_m ;

E

_e : l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur et

E

_m : l’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine.

3.1) Montrer qu’il y a conservation de l’énergie totale

E

_T.

3.2) tracer sur un schéma les trois fonctions

E , E et E

_{T e m} et déduire la période de

E et E

_{e m}, interpréter ces trois courbes.

Solution

1) faisons un schéma simplifié, lorsque l’interrupteur est sur la position-1.

la charge du condensateur s’arrête lorsque la tension entre ses bornes devient

U

C

 E

. Puisque les électrons se déplacent dans le sens inverse du sens conventionnel du courant, alors la charge de l’armature A est positive et celle de B est négative.

la charge

Q

₀ du condensateur ;

Q

₀

 C.E  6 .10

^6

  6 36 C 

.

2) 2.1) Faisons un schéma simplifié, lorsque l’interrupteur est sur la position_2.

Comme la tension électrique entre les deux composant est la même,

C

q di

U L.

C dt

 

. Comme i est dirigée vers l’armature B qui porte la charge

( q) 

, alors

dq

i   dt

, donc

2 2

2 2

q d q d q q

L. L. 0

C   dt  dt  C 

. l’équation différentielle de la charge :

2 2

d q q

L. 0 (a)

dt  C 

Comme _C

dq dU

^C

q C.U et i C.

dt dt

    

Donc

2 2

C C C

C 2 2

d U d U U

U LC. 0 (b)

dt dt LC

   

2.2) la solution de l’équation (a ) est

q(t)



A.cos(

₀

.t

 

)

Les oscillations libres dans un régime RLC série

.

0 0

.. 2

2 2

0 0 0

2

q dq .A.sin( .t ) dt

q d q .A.cos( .t ) .q dt

     

       

Donc

2

2 2 0

d q .q 0 (c)

dt   

.

donc l’équation ( a ) s’identifie à l’équation ( c ), si ²₀

1

  LC

. Donc la pulsation propre, ₀

1 1

(rad / s)

LC LC

  

.

La période propre des oscillations est ₀

0

T  2    2 LC



, s’appelle propre parce qu’elle dépend

seulement des caractéristiques de l’oscillateur qui_ sont : ( C ) la capacité du condensateur et ( L ) l’inductance de la bobine, donc chaque oscillateur ( LC ) a une période qui le distingue des autres oscillateurs.

La fréquence propre des oscillations ; ₀ ⁰

0

1 1

N (Hz)

T 2 2 LC

   

 

Pour trouver les autres constantes A et , alors il faut au moins deux conditions initiales, à t = 0,

q  Q

₀

et i = 0, car on vient juste de fermer l’interrupteur à cet instant.

.

0

q(t 0) A.cos( ) et i dq q .A.sin( )

    dt    

; à t = 0.

i = 0, comme ₀

et A

ne sont pas nulles, alors

sin( )   0

, alors

  0 ou    rad

.

Pour savoir quelle valeur prend, revenons a la première condition ;

q(t



0)



A.cos( )

 

Q

₀ Comme A et

Q

₀ sont positives, alors

cos( )      0 0

, donc

cos( )   1 et A  Q

₀

 C.E

. Applications numériques

0

3

0 3 6

A Q C.E 36 C ; 0 rad

1 1

5.27 .10 rad / s LC 6 .10

^

6 .10

^

     

   



2.3) la charge de l’armature A est

q(t)



Q .cos

₀ ₀

.t

, comme

0 0 0 0 0 0

i(t) dq .Q .sin .t .Q cos( .t )

dt 2

         

; pour trouver l’expression de la tension

U (t)

_C

soit il faut résoudre l’équation différentielle (b), soit utiliser la relation _C

q(t) U (t)

 C

.

C 0 0 0

U (t) Q .cos .t E.cos .t

 C   

, puisque

Q

₀

 C.E

.

remarque : les trois fonctions

q(t) , i(t) et U (t)

_C ont la même pulsation, donc la même période

T

₀. 2.4) Puisque les trois fonctions ont la même période (

T

₀), alors on va les tracer qualitativement sur une période (

T

₀) pour simplifier la représentation insistons sur les points particuliers

T T 3T

^{0 0 0} ₀

{0; ; ; ;T }

4 2 4

Les oscillations libres dans un régime RLC série

0 0

0 0 0

C 0

q(t) Q .cos .t (C) i(t) .Q .sin .t (A) U (t) E.cos .t (V)

 

  

 

Remarquons que

q(t) et U (t)

_C sont en phase. Tous les deux sont en quadrature de phase avec i (t).

-- Deux fonctions sont en phases, lorsqu’elles s’annulent tous les deux, ou bien tous les deux prennent leurs valeurs maximales (minimales) au même instant.

-- Deux fonctions en quadrature de phase, lorsque l’une s’annule, l’autre est soit maximale ou minimale.

-- D’autre part, on a ₀

.T

₀ 

2

^. remarque

-- Au cours d’une période le condensateur se décharge deux fois, quand q = 0 à

T

⁰

3T

⁰

t et à t

4 4

 

-- Au même temps, il se charge deux fois, quand t = 0 et à

T

⁰

t  2

, c’est à dire lorsque

q(t)

 

Q

₀. 3) l’énergie totale

E

_T

 E

_e

 E

_m de l’oscillateur, avec

2 2

C e

q C.U

E  2C  2

, et

2 m

E L.i

 2

et

Q

₀

 C.E

. 3.1) Lorsque les oscillations sont périodiques sinusoïdales :

q(t)  Q .cos

₀



₀

.t

et

0 0 0

i(t)

 

.Q .sin



.t

, alors :

2 2 2

2 2

2 2

0 0 0

T 0 0

Q L. .Q

q L.i

E cos .t sin .t

2C 2 2C 2

      

; avec

2 0

L. 1

  C

, Donc :

2 2

2 2 te

0 0

T 0 0

Q Q

E (cos .t sin .t C

2C 2C

     

; donc il y a conservation de l’énergie totale de

l’oscillateur (LC).

2.2) Traçons les trois fonctions :

2

2 0 2 2

e 0 T 0

2 2

2 2

0

m 0 T 0

Q

E q cos .t E .cos .t

2C 2C Q

E L.i sin .t E .sin .t 2 2C

    

    

-- On observe que lorsque

E

_e est maximale,

E

_m est minimale (nulle).

-- On observe aussi que

E

_e s’annule deux fois, et prend

deux fois sa valeur maximale pendant une période, ce qui confirme le résultat de la question précédente que le condensateur se charge et se décharge deux fois au cours d’une période.

Remarque : l’énergie électrique et l’énergie magnétique varient, mais l’énergie totale reste constante, c'est-à-dire que l’énergie s’échange périodiquement entre le condensateur et la bobine ( de résistance négligeable). c’est pourquoi, on dit qu’ils forment un oscillateur électrique

La période de l’énergie est :

T

⁰

T  2

. exercice_2_solution_ « résistance négative »

Un amplificateur opérationnel est un circuit intégré ayant 8 pattes, c’est un

Les oscillations libres dans un régime RLC série

composant actif, comportant une alimentation symétrique ( -15 V ; + 15 V), généralement n’est pas représenté sur le schéma.

parmi ces 8 pattes, ce qu’il nous intéresse se sont trois : -- patte 2, noté

E

^, s’appelle l’entrée in verseuse.

-- patte 3, noté

E

^, s’appelle entrée non inverseuse.

-- patte 6, noté S, s’appelle la sortie.

Un amplificateur opérationnel est considéré comme idéal, lorsque les courants de polarisation (d’entrées) sont nuls ;

i

^

 i

^

 0

^,

car la résistance d’entrée d’un amplificateur est très grande, ce qui permet de l’isoler du reste du circuit

(R

_e

  )

et la tension entre les deux bornes d’entrées est nulle

E E

(   V



 V



 0)

. Le circuit ci-après est formé d’un amplificateur opérationnel idéal

de deux résistances identiques

(R  1k ) 

et d’une résistance variable (réglable), noté

R

₀.

1) trouver l’expression de la tension

U

_g en fonction de

R

₀ et i en utilisant la convention générateur.

2) Expliquer pourquoi ce montage se comporte comme une « résistance négative ».

Solution

1) d’après la loi d’additivité des tensions

U

_g

 U

₀

 

avec  

0 et U

₀

R .i

₀ ; d’où

U

_g

 R .i

₀ .

2)Faisons le schéma équivalent de ce montage document-2).

On remarque, d’après ce schéma orienté selon la convention générateur, la loi d’ohm doit s’écrire

U

_g

  R .i

₀ ,

mais nous trouvons l’opposé de ce résultat, c’est pourquoi on dit que ce montage se comporte comme une « résistance négative ».

Comme ce composant est actif, alors, il est destiné a être utiliser pour entretenir les oscillations, alors il doit avoir une caractéristique décroissante comme celle d’un générateur (voir document-3.

Exercice_3_solution

Un oscillateur libre est formé d’un condensateur chargée, de capacité

C  1.0 F 

, d’une bobine d’inductance L = 0.4 H et de résistance négligeable, et d’un conducteur ohmique de résistance R.

la courbe ci-dessous représente les variations de la charge q(t) d’une armature du condensateur en fonction du temps.

1) déterminer graphiquement la valeur de la pseudo-période T.

2) trouver l’équation différentielle que vérifie la charge q(t) dans le cas où R est négligeable.

3) vérifier que _m

0

q(t) Q .cos 2 .t T

 

, tel que

T

₀  

2 . LC

est une solution de l’équation différentielle.

4) calculer la valeur de la période propre

T

₀ et la comparer avec celle de pseudo-période T.

5) 5.1) Quel est la différence entre la solution de l’équation différentielle et la courbe représentée ci après.

5.2) A quoi il est du cette différence ? et montrer que l’énergie totale de l’oscillateur diminue.

Les oscillations libres dans un régime RLC série

Solution

1) Sur la courbe, on remarque que 2.5 T = 10 ms, ce qui implique que

10

T 4ms

 2.5 

2) En mettant l’interrupteur sur la position-2 on isole le générateur, c’est pourquoi on dit que l’oscillateur (L C : bobine-condensateur) effectue des oscillations libre.

-- La bobine et le condensateur ont même tension ( u ) entre leurs

bornes ;

q di

u L.

C dt

  

. Comme i est dirigé vers la plaque qui porte

la charge q, alors

dq

i  dt

. d’où

2 2

2 2

q d q d q q

L 0

C   dt  dt  LC 

.

3) Admettons que _m

0

q(t) Q .cos 2 .t T

 

est une solution de l’équation différentielle.

2 2

. ..

m

2 m 2

0 0 0 0

Q .2

dq 2 .t d q 4 2 .t

q .sin( ) q Q . cos

dt T T dt T T

   

      

D’où :

2 2 2 2

2 2 2 2

0 0

d q 4 d q 4

.q .q 0

dt T dt T

 

    

. donc cette solution sera acceptable si

2 2 0 0

4 1

T 2 . LC T LC

    

. Alors , la solution proposer est juste, et l’oscillateur est dit harmonique lorsque la solution de l’équation différentielle est une fonction sinusoïdale.

4) Calculons

T

₀

 6.28. 0.40 10 

^6

 3.97ms ; 4ms

On constate que lorsque l’amortissement est faible,

T ; T

₀.

5) 5.1) d’après la question 2 et 3, on doit avoir un régime d’oscillation périodique sinusoïdal, par contre la courbe obtenu expérimentalement est pseudopériodique « pseudo-sinusoïdal ».

5.2) Cette différence est due au faite qu’on a négligé les résistances de la bobine et du conducteur ohmique, ce qui n’est pas vraie, car les résistances dissipent l’énergie par effet joule, ce qui conduit à la diminution de l’amplitude des oscillations.

-- Montrons que la diminution de l’amplitude (de l’énergie) des oscillations est due à l’existence de la résistance.

Considérons le montage ci-dessous. Pour étudier les oscillations libre on charge le condensateur (l’interrupteur en position-1) et on le met ensuite en position-2.

d’après la loi d’additivité des tensions :

C L R

q di

U U U L R.i

C dt

      

^{; avec}

dq

i  dt

^;

d’où

q di dq

L R 0

C  dt  dt 

, on remarque que cette équation est différente est différente de l’équation de la question-2, à cause de la présence du terme

R.i R dq 0

 dt 

.

-- l’énergie totale de l’oscillateur

2 2

T e m

q L.i

E E E

2C 2

   

.

Dérivons cette équation par rapport au temps.

Les oscillations libres dans un régime RLC série

e

T

dE

m

dE dE q dq di

. L.i.

dt  dt  dt  2C dt  dt

; avec

dq

i  dt

. D’où :

2 T

2

dE q di q d q

i.( L. ) i.( L )

dt  2C  dt  2C  dt

D’après l’équation différentielle

2 2

q d q dq

L R R.i

C  dt   dt  

; donc

T 2

dE R.i 0

dt   

, cette quantité est négative, car

i

²

 0

; donc

E

_T est décroissante (diminue) tant que la résistance du circuit n’est pas nulle (R

 0

).

Remarque : Entretien des oscillations

Puisque la perte d’énergie est due à la présence de la résistance R, alors on va utiliser le montage de l’exercice-2 pour lui restituer l’énergie perdue, et ainsi obtenir des oscillations sinusoïdales.

Exercice_1 Répondre par vrai ou faux.

1) Les oscillations électriques dans un circuit RLC sont toujours pseudopériodiques.

2) dans le régime périodique, il se produit un transfert d’énergie entre le condensateur et la bobine sans dissipation d’énergie par effet Joule.

3) L’entretien des oscillations électriques dans un circuit RLC en série se fait en remplaçant l’énergie perdue par de l’énergie fournie par un composant qui s’appelle « résistance négative ».

4) le circuit RLC en série est en régime apériodique, lorsque la résistance du circuit est très petite.

Solution

1) faux, les oscillations sont pseudopériodique dans le cas où la résistance est petite, car plus la résistance R est augmente, on peut observer d’autres régimes d’oscillations qui sont apériodique :

-- Régime sous critique, lorsque l’oscillateur effectue une seule oscillation avant de disparaitre.

-- Régime critique, correspond à la valeur de R qui fait disparaitre les oscillations complètement.

-- Régime sur critique (hypercritique) ressemble au régime critique, mais la durée d’amortissement augmente avec la résistance.

2) Vrai, car dans ce cas il y a conservation de l’énergie totale du système, c’est pourquoi on obtient des oscillations sinusoïdales périodique.

3) Vrai ; car la « résistance négative » permet de compenser l’énergie dissipée par effet joule dans la résistance du circuit.

4) Faux ; car lorsque R est petite, on obtient un régime d’oscillation pseudopériodique, le régime devient apériodique lorsque la résistance commence à devenir grande

Exercice_2 Choisir la réponse exacte.

1) à l’instant t = 0, l’énergie électrique du circuit RLC est emmagasinée dans : a) la bobine ; b) le condensateur ; c) le conducteur ohmique.

2) L’expression de la période propre

T

₀ est :

0 0 0

2 L

a)T ; b)T 2 . L.C ; c)T 2 . L.C C

     

3) la tension aux bornes d’un condensateur dans un circuit (L.C) idéal varie dans le temps sous forme d’une fonction :

a) linéaire ; b) sinusoïdale ; c) exponentielle.

4) Lorsqu’on augmente la résistance R d’un circuit RLC en série, il augmente : a) la période des oscillations ; b) l’amplitude des oscillations ; c) l’énergie dissipée par effet Joule.

Solution

1) la proposition est b), si on a chargé le condensateur au début.

2) la proposition est b) 3) la proposition est b) 4) la proposition est c).

Les oscillations libres dans un régime RLC série

Remarque : la période des oscillations augmente avant que le ré »gime des oscillations devient apériodique.

Exercice_3

Soit un circuit électrique d’équation différentielle

2 C 4 2 C

d u 10 u 0

dt  

^.

Calculer son inductance L, sachant que la capacité du condensateur est

C  100 F 

Réponse : L = 1 H.

Solution

Si,

u

_C 

Acos(

₀

.t

 

)

; alors

du

^C _{0 0}

.A.sin( .t )

dt     

et

2

2 2

C

0 0 0 C

2

d u .A.cos( .t ) .u

dt       

, Donc ;

2 C 2

0 C 2

d u .u 0

dt   

; avec ₀

1

 

LC

Donc ²₀ ⁴

4 4 4

1 1 1

10 L 1H

LC 10 C 10 10

^

      

 

Exercice_4

O monte un condensateur chargé entre les bornes d’un dipôle RL (voir figure-1).

la figure-2 représente les variations de la tension

u (t)

_C entre les bornes du condensateur.

1) Recopier le schéma de la figure-1 et montrer comment doit-on utiliser l’oscilloscope pour visualiser la tension

u (t)

_C .

2) Quel est le régime des oscillations ?

3) préciser la valeur de la pseudo- période T.

4) Sachant que la capacité du condensateur utilisé est C = 1

 F

, déterminer l’inductance L de la bobine.

On admet que la pseudo-période T est égale à la période propre

T

₀. Solution

1) La flèche qui représente la tension

u

_C part de B vers A ; donc : -- le point B doit être lié à la masse de l’oscilloscope

-- le point A doit être lié à un entré de l’oscilloscope X ou Y.

2) Puisque l’amplitude des oscillations diminue et on a plus d’une période, donc le régime des oscillations est pseudopériodique ou (pseudo-sinusoïdal) .

3) La valeur de la pseudo période.

C’est mieux de prendre le maximum de périodes et le diviser par le nombre n

( t   nT)

.

2.5T 10 ms T 10 4 ms

   2.5 

4) On admet que la période propre

T

₀ est à peu prés égale à la pseudo-période

2 2 2

0 2

T T 2 LC 4 LC T L T

4 C

       



Les oscillations libres dans un régime RLC série

Application numérique

3 2

2 6

(4 .10 )

L 0.4 H

4 3.14 10









 

Exercice_5

On considère le circuit formé d’un condensateur de capacité C et une bobine d’inductance L, un interrupteur K. la résistance totale du circuit est nulle.

On charge le condensateur jusqu’à ce que l’un de ces armatures porte une quantité d’électricité

Q

₀, puis on ouvre l’interrupteur K.

1) faire le schéma du circuit électrique.

2) écrire l’expression de i(t), sachant que ₀

t q(t) Q .cos(2 . )

  T

.

3) Exprimer l’énergie totale du circuit à un instant t, avec deux méthodes différentes.

Réponse :

2

2 2

0 0

2 Q t q L.i 1 Q

2) i(t) .sin(2 . ) ; 3) E

T T 2C 2 2 C

     

Solution

1) Voir la figure à coté.

2) d’après l’orientation choisi, on a

dq i  dt

0 0

2 Q 2 Q

dq 2 t 2 t

i .sin( ) .cos( )

dt T T T T 2

    

    

-- première méthode

Puisque la résistance est nulle, alors, il y a conservation de l’énergie totale de l’oscillateur, c’est pourquoi on peut le calculer à chaque instant.

à t = 0 ; i = 0 et

q  Q

₀ ; d’où

2 0 T

E Q

 2C

-- deuxième période

à chaque instant, on a ₀

2 t 2 Q

⁰

2 t

q Q cos( ) et i .sin( ) , avec T 2 LC

T T T



 

    

2 2 2

2 2

2 2

0 0

T 2

2 2

2 2

0 0

T

Q L.Q .4

q Li 2 t 2 t

E cos ( ) sin ( )

2C 2 2C T 2T T

Q 2 t 2 t Q

E (cos ( ) sin ( ))

2C T T 2C



 

   

 

  

En utilisant la propriété

cos x

²

 sin x

²

 1

Exercice_6

Soit n condensateur de capacité

C  47.0mF

préalablement chargé sous une tension continu

U

₀

 6.0V

. On relie ce condensateur à une bobine d’inductance L = 65 mH et de résistance négligeable. Le sens positif est indiqué sur le schéma ci-après.

1) Copiez le schéma ci-après et représentez sur il la tension

u (t)

_C entre les bornes du condensateur et la tension

u (t)

_L entre les bornes de la bobine, dans

la convention récepteur.

2) trouver l’équation différentielle que vérifie la tension

u (t)

_C .

Les oscillations libres dans un régime RLC série

3) la solution de cette équation est _{C m}

0

u (t) U .cos( 2 .t) T

 

, déterminer

U

_m et

T

₀.

Réponse_

2 C

C m 0

2

d u 1

2) u 0 ; 3)U 6.0V et T 2 . L.C 0.34ms

dt  L.C     

Solution

1) dans la convention récepteur, la tension et le courant sont orientés en sens opposés.

2) D’après le schéma précédent, on a

C L L C

di dq

u u ; u L. et i , q C.u

dt dt

    

D’où

2 2 2

C C C C

L 2 C 2 2

d u d u d u u

u LC. ; et u LC. 0 (a)

dt dt dt LC

     

3) On admet que la solution de l’équation (a) est _{C m}

0

u (t) U .cos( 2 t ) T

 

2 2

. C m C m

C 2 2

0 0 0 0

du 2 U 2 t d u 4 U 2 t

u sin( ) cos( )

dt T T dt T T

   

     

D’où

2 2 2 2

C m C m

C C

2 2 2 2

0 0

d u 4 U d u 4 U

.u .u 0 (b)

dt T dt T

 

    

Donc (b) sera comparable à (a) si

2 2 0 0

4 1

T 2 LC

T LC

    

Pour trouver

U

_m, utilisons les conditions initiales.

à t = 0 ;

u

_C

 U

₀

D’où

u (t

_C

 0)  U .cos(0)

_m

 U

₀

 6.0V

exercice_7

On charge un condensateur de capacité

C  0.25 F 

par un générateur de force électromotrice E = 6.0 V, et on le branche à l’instant t = 0 avec une bobine d’inductance L et de résistance r.

On visualise à l’aide d’un oscilloscope les variations de la tension

u (t)

_C entre les bornes du condensateur, on obtient la courbe ci-après.

1) Quel est le régime des oscillations obtenu ? 2) comment explique-t-on l’amortissement de ces oscillations ?

3) trouver l’équation différentielle que vérifie la tension

u (t)

C entre les bornes du condensateur.

4) Préciser graphiquement la pseudo-période T des oscillations.

5) On suppose que la résistance r est nulle.

5.1) Ecrire dans ce cas l’équation différentielle que vérifie

u (t)

_C .

5.2) La solution de cette équation est

u (t)

_C 

U .cos( t

_m   

)

, donner les expressions de

U , et

_m

 

.

Les oscillations libres dans un régime RLC série

5.3) déduire l’expression de la charge q(t) du condensateur et l’intensité i(t) qui parcourt le circuit.

5.4) Donner l’expression de la période propre

T

₀ des oscillations.

6) calculer la valeur de l’inductance L, sachant que la valeur de la pseudo-période est égale à celle de la période propre

T

₀.

7) Pour entretenir les oscillations, on monte en série avec le circuit RLC un générateur qui l’alimente par une tension

u

_g

 R .i

₀ .

Quelle est la valeur de

R

₀ qui nous permet d’obtenir des oscillations sinusoïdales ? Solution

1) D’après la forme de la tension

u (t)

_C , le régime des oscillations est pseudopériodique (pseudo- sinusoïdal) .

2) On peut expliquer l’amortissement des oscillations par la présence de la résistance ( r ) de la bobine, qui fait perdre à l’oscillateur son énergie.

3) L’équation différentielle de la variation de la tension

u (t)

_C

Faire un schéma et représenter les grandeurs électriques utilisés.

-- Lorsqu’on met l’interrupteur en position-1, on charge le condensateur.

-- Lorsqu’on le met à l’instant t = 0 en position-2, on décharge le condensateur dans la bobine.

Selon la convention récepteur, on a :

C C L

q di

u q C.u et u L. r.i

C dt

    

; avec

dq

i  dt

; d’où

du

^C

i C.

 dt

Selon le schéma en haut ;

u

_C

  u

_L , donc

2 2

C C C C

C 2 C 2

d u du d u du

u LC. rC u LC. rC 0 (a)

dt dt

dt dt

      

4) La valeur de la pseudo-période est T=1 ms.

5.1) On peut retrouver l’équation différentielle à partir de l’équation (a), en remplaçant ( r = 0 ) D’où :

2 2

C C C

C 2 2

d u d u u

u LC. 0 0

dt dt LC

    

5.2) D’après l’équation différentielle

1

 

LC

, pour trouver

 et U

_m utilisons les conditions initiales à t = 0 ;

q  Q

₀

 C.E et i  0

6

Q

0

 0.25 .10

^

 6.0  1.5 C 

On a

du

^C _m

i C. .C.U sin( t )

 dt     

à l’instant t = 0 ,

i(0)   .C.U sin( )

_m

  0

^{; comme}

 .C.U

_m

 0

^{, alors}

sin( )      0 0 où    rad

C m

q(t)



C.u



C.U .cos( t

  

)

m m

q(0)



C.U .cos( )

 

C.E



U .cos( )

 

E

; puisque

U et E

_m sont positifs, alors

cos( )      0 0 et U

m

  E 6.0V

5.3)

1 1

q(t) C.E.cos t et q(t) C.E.cos t

LC LC

     

Les oscillations libres dans un régime RLC série

dq C.E t C t

i sin E .cos( )

dt LC LC L LC 2

 

   

5.4) l’expression de la période propre

T

₀ ; ₀

2

T  2 LC

  



6) on admet que la valeur de la période propre est presque égale à celle de la pseudo-période, alors :

2 2 2

2

2 LC T 4 LC T L T

4 C

      



Application numérique

3 2

2 6

(10 )

L 0.1 H

4 3.14 0.25 .10









 

7) Faisons d’abord un schéma

-- le générateur est orienté selon la convention générateur -- le condensateur et la bobine sont orientés selon

la convention récepteur.

D’après le principe d’additivité des tensions

g L C 0

di q u u u R .i r.i L

dt C

     

; avec

dq

i  dt

D’où

2 2 0

d q q

L (r R ) 0

dt    C 

Pour obtenir des oscillations sinusoïdales entretenues par le générateur il faut que

r



R

₀ Exercice_8 étude énergétique

on réalise un circuit RLC, en branchant en série un condensateur préalablement chargé avec une bobine d’inductance L et de résistance négligeable, un conducteur ohmique de résistance R et un interrupteur K, on ferme l’interrupteur à l’instant t=0, on obtient les courbes suivantes de l’énergie Ee emmagasinée dans le condensateur, de l’énergie Em emmagasinée la bobine et la courbe de

l’énergie totale E = Ee+ Em du circuit.

1) Connaitre la courbe de chaque énergie sur le document ci-après, justifier votre réponse.

2) Quelle est la valeur de l’énergie emmagasinée dans le condensateur et celle emmagasinée dans la bobine à l’instant t = 0 ?

3) A partir des expressions de Ee et Em expliquez pourquoi elles sont toujours positives.

4) Quelle est la cause de cette diminution de l’énergie totale ? Solution

1) – La courbe-3 correspond à l’énergie totale E, car c’est la somme des deux courbes (1) et (2).

-- Le condensateur était préalablement chargé, donc au début (à t = 0) l’énergie était emmagasinée dans le condensateur, c’est pourquoi la courbe-2 correspond à Ee.

-- La bobine au début n’a pas d’énergie, c’est pourquoi à t = 0, Em = 0. D’où la courbe-1 correspond à Em.

2) à t = 0,

Ee ; 300 J 

et Em = 0.

3) q et i sont des grandeurs algébrique, mais

i et q

^{2 2} sont toujours positives, c’est pourquoi

2 2

q L.i

Ee et Em

2C 2

 

sont aussi positives.

Les oscillations libres dans un régime RLC série

4) L’énergie totale de l’oscillateur diminue à cause de la résistance R du conducteur ohmique (voir exercice-9).

Exercice_9 L’énergie dissipée

Soit un condensateur préalablement chargé sous une tension E à l’instant t = 0, on relie le condensateur à une bobine d’inductance L et de résistance r.

1) On considère que la résistance r de la bobine est nulle.

1.1) trouver l’équation différentielle que vérifie la tension

u

_C entre les bornes du condensateur.

1.2) la solution de cette équation est _C

2

u (t) E.cos( t ) T

   

, trouver l’expression de l’énergie E et montrer qu’elle est constante.

2) En réalité la résistance r de la bobine n’est pas nulle.

2.1) Trouver dans ce cas l’équation différentielle que vérifie la tension

u

_Centre les bornes du condensateur.

2.2) En utilisant cette équation, montrer que

dE

²

dt   ri

, tel que E est l’énergie totale du circuit à l’instant t, i l’intensité du courant électrique à l’instant t. Que peut-on conclure ?

Solution

1.1) Faisons un schéma du montage utilisé, dans ce cas on considère que (r = 0).

D’après le schéma à coté, on a

u

_L

 u

_C

 0

Avec _C

q

_C

dq du

^C

u q C.u et i C

C dt dt

    

C L

du u L di LC

dt dt

 

; d’où

du

^C _C

LC u 0

dt  

1.2) L’énergie totale de l’oscillateur LC est

E

_T

 Ee  Em

Avec

2 2

C.u

C

L.i

Ee et Em et T 2 LC

2 2

   

D’où

dq du

^C

2 E 2 t

i C sin( )

dt dt T T

 

     

2 2 2

2 2

T 2

2

2 2

T

CE 2 t L 4 E 2 t

E cos ( ) . sin ( )

2 T 2 T T

CE 2 t 2 t

E (cos ( ) sin ( ))

2 T T

  

     

 

     

2 T

E CE

 2

; puisque C et E sont des constantes, alors l’énergie totale est constante (se conserve).

2.1) Utilisons le schéma précédent, avec

(r  0)

_{L C L}

di d u

² ₂^C

du

^C

u u 0 ; u r.i L LC rC

dt dt dt

     

2

C C

2 C

d u du

LC rC u 0

dt  dt  

2.2) L’énergie totale de l’oscillateur (rLC) est

2 2

T T

dE

L.i q di q dq

E L.i. .

2 2C dt dt C dt

    

; avec

Les oscillations libres dans un régime RLC série i dq

 dt

, d’où

dE

^T

di q i(L. )

dt  dt  C

; avec

di q

L. r.i

dt  C  

(d’après l’équation différentielle)

2 2

dE

T

r.i 0 car i 0

dt    

Puisque

(r  0)

, alors

E

_T est une fonction décroissante, puisque sa dérivée est négative.

Donc l’oscillateur perd son énergie à cause de la résistance r.