Evolution par courbure des images num´ eriques

Evolution par courbure des images num´ eriques

Mini-projet d’analyse num´erique, propos´e par Lionel Moisan (moisan@math-info.univ-paris5.fr)

Soit Ω un ouvert born´e C¹ r´egulier de R², et v une fonction `a valeurs r´eelles de classeC² sur Ω. Pour ε∈R+, on d´efinit l’op´erateur diff´erentiel

Kε(v) = div

Dv max(ε,|Dv|)

, (1)

o`u Dv = (^∂v_∂x,^∂v_∂y) est le gradient de v, |Dv| sa norme, et div l’op´erateur divergence vectorielle d´efini pour toute fonctionF = (F1, F2) : Ω→R² de classe C¹ par

div(F) = ∂F₁

∂x + ∂F₂

∂y .

Question 1. Soit x0= (x0, y0) un point de Ω tel que|Dv|(x₀)> ε. Montrer que l’´equation v(x) =v(x0) d´efinit au voisinage dex0 un arc de classe C² dont la courbure au point x0 vaut, au signe pr`es, K_ε(v)(x₀).

Question 2. Soitx₀ = (x₀, y₀) un point de Ω tel que |Dv|(x₀)< ε. Montrer que Kε(v)(x0) = 1

ε∆v(x0).

On consid`ere une fonction u : Ω×[0,∞[→ R v´erifiant u(x,0) = v(x) pour tout x ∈ Ω et solution de l’EDP parabolique

∂u

∂t =K_ε(u) (2)

avec condition aux limites de Neumann (∂_nu = 0 sur ∂Ω×]0,∞[). La notation K_ε(u) d´esigne bien sˆur ici l’action de l’op´erateur diff´erentielKεsur les seules coordonn´ees d’espace deu, c’est-

`

a-direKε(x7→u(x, t)).

L’´equation (2) est un cas d´eg´en´er´e du mod`ele de diffusion anisotropique propos´e par Perona et Malik en traitement d’images ([1]). On peut d´efinir des solutions faibles pour (2), y compris dans le cas ε= 0, mais cela d´epasse le cadre de ce projet (pour plus de d´etails, on pourra se r´ef´erer `a [2]). On supposera donc dans la suite (2) est satisfaite au sens fort (´egalit´e des d´eriv´ees presque partout sur Ω×]0,∞[).

Question 3. Montrer, sous une forme `a pr´eciser, que (2) est l’´equation d’Euler (descente de gradient) associ´ee `a la minimisation de

Eε(w) = Z

Ω

Gε(|Dw|)(x)dx,

o`uGε:R+→R+est une fonction que l’on explicitera. Quel probl`eme de minimisation r´esout-on

`

a la limite quand ε→0 ? et quandε→+∞ ?

On souhaite maintenant appliquer (2) `a une image num´erique, c’est-`a-dire une fonction v discr´etis´ee sur la grille r´eguli`ere {1,2, . . . M} × {1,2, . . . N}. En chaque point (appel´e pixel) de la grille la valeur v(k, l) repr´esente l’intensit´e lumineuse de l’image (on travaille donc ici uniquement sur des images en niveau de gris). On utilise les discr´etisations suivantes:

Dv(k, l) =

u(k+ 1, l)−u(k, l), u(k, l+ 1)−u(k, l)

, (3)

div(F)(k, l) =F₁(k, l)−F₁(k−1, l) +F₂(k, l)−F₂(k, l−1), (4) 1

et la discr´etisation Kε(v)(k, l) qui en d´ecoule pourε >0.

Question 4. Ecrire en scilab une fonction´ u=chaleur(v,s,n), qui calcule la solution approch´ee au tempstde l’´equation de la chaleur

∂u

∂t = div(Du) (5)

avec nit´erations du sch´ema explicite de pas s

uⁱ⁺¹(k, l) =uⁱ(k, l) +s·div(Duⁱ)(k, l).

On adoptera une convention de sym´etrisation sur les bords du domaine rectangulaire (pour le bord gauche, par exemple, cela revient `a poser v(−k, l) = v(k+ 1, l)). S’agit-il d’un sch´ema centr´e ? Quelle est la relation entret,setn? Pour quelles valeurs desle sch´ema est-il stable ? Question 5. Ecrire en scilab une fonction´ u=tvflow(v,s,epsilon,n), qui calcule la solution approch´ee au tempst de l’´equation (2) avecnit´erations du sch´ema explicite de pass

uⁱ⁺¹(k, l) =uⁱ(k, l) +s·Kε(uⁱ)(k, l). (6) S’agit-il d’un sch´ema centr´e ? Quelle est la relation entre t,setn?

Question 6. Montrer que le sch´ema (6) v´erifie le principe du maximum discret (et est donc stable en normeL^∞) si et seulement si 0≤s≤s_ε, o`us_εest une fonction deεque l’on pr´ecisera.

On souhaite ´evaluer l’int´erˆet de (2) en termes de d´ebruitage d’images. Pour manipuler les images (lecture de fichiers, affichage), on pourra utiliser les fonctions Scilab disponibles sur la page web http://www.cmla.ens-cachan.fr/˜moisan/xnum/, ainsi que l’image lena.pgm ou toute autre image au mˆeme format disponible sur internet. Une autre possibilit´e est d’utiliser la Toolbox Scilab SIP (Signal and Image Processing). Charger l’image choisie dans une matrice

`

a l’aide de la fonction readpgm, puis lui ajouter un bruit blanc gaussien de moyenne nulle et d’´ecart-type 10 (voir la commande Scilab grand). Tester ensuite l’effet relatif des fonctions chaleurpuistvflow (avec epsilon petit). Pour comparer deux imagesuetv, on pourra utiliser la commande display gray([u;v]) oudisplay gray([u;v],z) pour un zoom de facteurz.

Question 8. Pour l’image lena.pgm bruit´ee, donner des valeurs de param`etres pour les fonctions chaleur puis tvflow qui produisent une instabilit´e visuellement ´evidente (mais encore localis´ee) du sch´ema. Commenter les valeurs propos´ees et la nature des artefacts constat´es.

Question 9. Entre (2) et (5), quel mod`ele r´ealise visuellement le meilleur d´ebruitage, c’est-

`

a-dire le meilleur compromis entre lissage et conservation des d´etails ? Donner un exemple de valeurs des param`etresepsilon, n, spour lequel le r´esultat obtenu avectvflowest particuli`erement convaincant (on pourra ´eventuellement changer l’´ecart-type du bruit pour illustrer diff´erents cas).

Question facultative. Chercher, par balayage syst´ematique (automatique, bien sˆur), les valeurs des param`etres epsilon, n, s qui, `a partir de l’image bruit´ee, produisent l’image la plus proche de l’original (non bruit´e) au sensL², puisL¹, puisL^∞. Commenter les r´esultats obtenus.

References

[1] P. Perona, J. Malik, “Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion”, IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 7:12, pp. 629-639, 1990.

[2] F. Andreu, C. Ballester, V. Caselles, J. Mazon, “Minimizing total variation flow”, C. r.

Acad. sci. Paris, S´er. 1, Math., 331:11, pp. 867-872, 2000.

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