EPFL 8 mars 2010 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 16
Dans cette série, le symboleFdésigne soit R, soit C.
Les solutions des questions 1, 2, et 5 de l’exercice 1 sont àrédiger soigneusement et à rendre le lundi 15 mars au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. Soit V un F-espace vectoriel muni d’un produit scalaire φ. Soient F et G des sous-espaces vectoriels deV. Montrer :
1. F ⊆G =⇒ G⊥ ⊆F⊥; 2. (F +G)⊥=F⊥∩G⊥; 3. F⊥+G⊥⊆(F∩G)⊥; 4. V⊥={0}et{0}⊥=V.
5. Si F est engendré par (v1, . . . , vk) et w ∈ V, alors w ∈ F⊥ si et seulement si φ(vi, w) = 0 pour tout i= 1, . . . , k.
Exercice 2. On considère le F-espace vectorielV = Mat(n;F) des matrices n×n à coefficients dansF. On définit la formeφ:V ×V →F parφ(A, B) = Tr(A·B∗), où la trace Tr(A) d’une matriceA= (aij)i,j=1,...,n
est la somme des coefficients sur sa diagonale,Tr(A) =Pn
i=1aii. 1. Montrer queφ est un produit scalaire surMat(n;F).
2. Soitn= 2. Soit W ={A∈V |A=At} le sous-espace vectoriel des matrices symétriques. Déterminer W⊥. Quelle propriété ont les éléments de W⊥?
3. En déduire l’égalité W ⊕W⊥=V. 4. Trouver une base deU⊥ pourU = span
1 2 3 4
et vérifier l’égalité(U⊥)⊥=U.
Exercice 3. L’inégalité de Cauchy-Schwarz
1. Montrer que pour tout(x1, x2, x3)∈R3satisfaisant2x21+x22+3x2361, on a−√
662x1+x2+3x36√ 6.
Indication : Appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz à certains vecteurs deR3 pour un produit scalaire bien choisi.
2. Soitf ∈C0([a, b])où a, b∈R,a < b. Montrer que Z b
a
f(t)dt 2
6(b−a) Z b
a
f(t)2
dt.
3. Montrer que pour touta1, . . . , an, b1, . . . , bn∈R, on a
n
X
j=1
ajbj
2
6
n
X
j=1
ja2j
n
X
j=1
b2j j
.
Exercice 4. L’inégalité du triangle 1. Soitp=Pn
i=0aiXi un polynôme à coefficients dansR, soient a, b∈R,a < b. Montrer que Z b
a
p(t)2dt
1 2
6
n
X
i=0
|ai|
b2i+1−a2i+1 2i+ 1
12 .
2. SoientA, B∈Mat(n;R)des matrices orthogonales (c’est-à-dire AAt=BBt= Id). Montrer que
|Tr(ABt)|6n.
