Série 16

L.S.Elriadh

Série 16

3 ^ème Sc Exercices

Exercice 1:

soit x un réel, on pose:

A(x)= cos(13 ) sin(3 ) cos( ) sin( )

2

7

2 7

  x    x  x    x   C=cos7 cos

12 12

 _ 

1/ exprimer A(x) à l’aide de cosx ou sinx.

3/ calculer C.

Exercice 2:

1) démontrer que:

a) tg²x=sin²x+sin²xtg²x ; pour tout xIR\{ k ,k } 2

    . b) sinx cosx(1+tgx)(1+ctgx)=(sinx+cosx)²; pour tout

xIR\{^k ,k } 2

 _

c) 2(1+cosx)(1-sinx)=(1+cosx-sinx)² ; pour tout xIR.

2) calculer A= -sin⁴x+cos⁴x+2sin²x et B=sin² sin² ⁵ sin²⁷ sin² ¹¹

12 12 12 12

 _  _  _ 

Exercice 3:

on pose a=1-cosx et b= -sinx ; x]0, [.

1) montrer que a sin x b 1 cos x

 



2) montrer que ab= -4cos^xsin^{3 x} 2 2 . 3) Simplifier a

b.le plan P est munie d'un repère orthonormé ( , , )O i j , on pose M(a,b).

a) vérifier que (a-1)²+b²=1.

b) Déterminer et construire l'ensemble  des points M . Exercice 4:

on donne f(x)=2cos2x-1 et g(x)=1+cos2x-  3 sin2x.

1) montrer que f(x)=cos²x-3sin²x et g(x)=2cosx(cosx-  3 sinx) 2) on suppose que g(x)  0; on pose f ( x )

h( x )

g( x )

 . Montrer que h(x)=¹( 1 3tgx )

2 

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3 ^ème Sc Exercices

3) en déduire tg 12

 . Exercice 5:

On donne f(x)=sin4x 4 sin x.

1) montrer que 2 1

f ( ) f ( )

3 5 4

 _  _ 2) a) exprimer f(x) en fonction de cosx.

b) en déduire que 1

et cos

2 5



 sont deux solution de l'équation (E): 8x³ -4x-1=0

3) a) trouver alors la valeur de cos 5

 .

b) en déduire la valeur de cos2 5

 .

4) déduire que cos3 5

 est solution de l'équation (E).

Exercice 6:

1) montrer que pur tout xIR; cos( 4x ) cos( 4x ) cos 4x.

3 3

 

   

2) a) montrer que pour tout xIR; cos4x=1-8cos²xsin²x.

b) en déduire que pour tout xIR; ^{6 6} 3 5 cos x sin x cos 4x

8 8

  

3) déduire que pour tout xIR;

6 6 2 6 3 6 4 6 5

cos x cos ( x ) cos²( x ) cos ( x ) cos ( x ) cos ( x )

6 6 6 6 6

   

         

est une constante que l'on déterminera.