EPFL 10 mars 2008 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 16
L'exercice 2 est à rendre le 17 mars au début de la séance d'exercices.
Exercice 1. Soit V =R3, muni du produit scalaire usuel, et soient v1 = (2,1,0), v2 = (0,1,−1), v3 = (0,1,1).
Soit T: V →V l'application linéaire dénie par
T(α1v1+α2v2+α3v3) = (2α1+α3)v1+ (3α1−α2+α3)v2+ 5α3v3. (a) Pourquoi l'application T est-elle bien dénie ?
(b) Déterminer la matrice de T par rapport à la base (v1, v2, v3).
(c) Trouver une base orthonormaleB telle que[T]B,B est triangulaire supérieure.
Exercice 2. Trouver p∈P3(R) vériant p(0) = p0(0) = 0qui minimise Z 1
−1
2 + 3x−p(x)2
dx.
Exercice 3. Trouver l'équation de la droite donnée par la méthode de moindres carrés pour l'ensemble
{(0.5,2.1),(1.0,2.4),(2.5,2.8),(4.0,3.4)}.
Exercice 4. Le but de cet exercice est de calculer
α= inf
(a,b,c)∈R3
Z 1
−1
ax2+bx+c− |x|2
dx.
(a) Trouver un espace vectoriel euclidien (V, ϕ: V ×V → R), un sous-espace U ⊆ V et un vecteurv ∈V tels que α = infu∈Uku−vk2.
(b) Calculerα et trouver u0 ∈U tel que ku0−vk2 =α.
Exercice 5. Trouver toutes les valeurs et espaces propres des applicationsC-linéaires suivantes : (a) T1: C2 →C2, T1(w, z) = (z, w).
(b) T2: C3 →C3, T2(z1, z2, z3) = (2z2,0,5z3).
