EPFL 19 mars 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 16
L’exercice 6 est à rendre le 26 mars au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 Trouver tous les (x, y)∈C2 tels que la matrice
x 1 1 1 y 1 1 1 1
de M at(3,3,C) admette (1,2,3) pour vecteur propre.
Exercice 2 Soient n ∈N\ {0,1} et A ∈ M at(n, n,R) la matrice définie par (A)i,j = 1 ∀i, j.
Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de A.
Exercice 3 Soientf ∈ L(E), B ={~v1, . . . , ~vn} une base de vecteurs propres de f, C une autre base et P la matrice telle que C~j(P) = [~vj]C.
1. Montrer que P est inversible (Indication : Montrer que P est la matrice d’une certaine application linéaire par rapport aux bases B et C...) et expliquer comment est obtenu l’inverse.
2. Soit A= [f]C,C, montrer que D=P−1AP est une matrice diagonale.
3. Soit n ∈N, déterminer An en fonction de P, P−1 et Dn. 4. Application
Calculer An pour A=
2 1 −1 1 2 −1 0 0 1
.
Exercice 4 Montrer que toutf ∈ L(E) nilpotent (i.e.,∃k tel quefk = 0) et diagonalisable est nul.
Exercice 5 Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie n et f ∈ L(E). Montrer que pour toutk de{0, . . . , n}il existe un sous espace vectoriel de E de dimension k et stable par f.
Exercice 6 Soient n∈N\ {0}, A et B dans M at(n, n,F) telles que AB soit diagonalisable.
1. Montrer que si A ou B est inversible alors BA est diagonalisable.
2. Le résultat reste t-il valable sans l’hypothèse d’inversibilité ?
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