EPFLAlgèbre linéaire 1ère année 2007-2008
Corrigé de la série 16
Exercice 1.
(a) Il faut d'abord remarquer que (v1, v2, v3) forme une base de V. Pour montrer ceci, il sut de vérier que la liste est génératrice. En eet, comme les éléments de la base standard (e1, e2, e3) sont contenus dans span(v1, v2, v3) (explicitement : e1 = (1,0,0) =
1
2v1 − 14v2 −14v3, e2 = (0,1,0) = 12(v2+v3) et e3 = (0,0,1) = 12(v3 −v2)), il s'ensuit que R3 = span(e1, e2, e3) = span(v1, v2, v3)
Par conséquence, il existe précisément une application linéaire T: V →V telle que T(v1) = 2v1+ 3v2, T(v2) = −v2, T(v3) =v1+v2+ 5v3, (1) et cette application est explicitement donnée par l'expression indiquée dans l'exercice.
(b) Par (1), la matrice cherchée est donnée par
2 0 1 3 −1 1 0 0 5
.
(c) La matrice deT par rapport à la base B0 = (v2, v1, v3) est triangulaire supérieure :
[T]B0,B0 =
−1 3 1 0 2 1 0 0 5
.
La base orthonormale B = (w1, w2, w3) obtenu de B0 en appliquant GramSchmidt sa- tisfait span(w1) = span(v2), span(w1, w2) = span(v2, v1), et par conséquent [T]B,B va également être triangulaire supérieure. On trouve (N(w) désigne le vecteur normalisé N(w) = kwkw d'un vecteur non-nul w) :
w1 =N(v2) = √1
2(0,1,−1) w2 =N(v1− √1
2w1) = N(2,12,12) =N(4,1,1) = 1
3√
2(4,1,1) w3 =N(v3−0− 2
3√
2w2) = N(−1,2,2) = 13(−1,2,2).
Exercice 2. On pose U = {p ∈ P3(R) | p(0) = 0, p0(0) = 0}. On vérie que U s'agit d'un sous-espace ; en fait, si p(x) = a0 +a1x+a2x2 +a3x3 alors p(0) = 0 ssi a0 = 0 et p0(0) = 0 ssi a1 = 0. DoncU = span(x2, x3). Il faut trouver une base orthonormale deU par rapport au produit scalaire hp, qi =R1
−1p(x)q(x)dx. Mais l'on remarque que hx2, x3i= 0, donc il sut de normaliser les deux polynômes. Or, hx2, x2i = R1
−1x4dx = 2/5 et hx3, x3i = R1
−1x6dx = 2/7. Posant p1(x) =p
5/2x2 et p2(x) = p
7/2x3, (p1, p2) est alors une base orthonormale de U. Le polynôme que l'on cherche est la projection orthogonale de 2 + 3x dans U (voir exercice 15.5(b)) :
p(x) = (5/2)h2 + 3x, x2ix2+ (7/2)h2 + 3x, x3ix3
= (5/2)(4/3)x2 + (7/2)(6/5)x3
= (10/3)x2+ (21/5)x3, car h2 + 3x, x2i=R1
−1(2x2+ 3x3)dx= 4/3et h2 + 3x, x3i=R1
−1(2x3 + 3x4)dx= 6/5.
Exercice 3.
A=
0.5 1 1.0 1 2.5 1 4.0 1
, ~x= m
b
, et~b=
2.1 2.4 2.8 3.4
. Alors At~b=
0.5 1 2.5 4
1 1 1 1
2.1 2.4 2.8 3.4
=
24.05 10.7
et
AtA=
0.5 1 2.5 4
1 1 1 1
0.5 1 1.0 1 2.5 1 4.0 1
=
23.5 8 8 4
donc (AtA)−1 = (23.5)(4)−(8)(8)1
4 −8
−8 23.5
= 301
4 −8
−8 23.5
. Alors m
b
= 1 30
4 −8
−8 23.5
24.05 10.7
≈ 0.35
1.97
Donc la droite est donnée par l'équationy = (0.35)x+ (1.97). Exercice 4.
(a) PourV, nous prenons le sous-espace vectoriel deC[−1,1] = {f: [−1,1]→R|f continue} donné par V =P2(R) + span(|x|). Alors V est de dimension nie, et on laisse le soin au lecteur de vérier que ϕ(f, g) = R1
−1f(t)g(t)dt dénit un produit scalaire (voir Exercice 14.1). Prenant U =P2(R) etv =|x|, on a :
u∈Uinf kv−uk2 = inf
u∈Uϕ(v−u, v−u) = inf
u∈U
Z 1
−1
(|x| −u(x))2dx
(∗)= inf
(a,b,c)∈R3
Z 1
−1
(ax2+bx+c− |x|)2dx=α.
Pour(∗), nous avons utilisé que chaqueu∈U s'exprime de manière unique sous la forme ax2+bx+c.
(b) Il était montré au cours que u0 = projU(v) minimise kv −uk et ainsi kv −uk2. Pour calculer projU(v), utilisons Exercice 15.5(b) et 15.7. Par 15.7, (p0, p1, p2) est une base orthonormale de P2(R), où p0 =q
1
2,p1 =q
3
2x,p2 = 12q
5
2(3x2−1). Par 15.5(b), on a u0 = projU(v) =
2
X
i=0
ϕ(v, pi)pi = 12 + 0 +165(3x2−1) = 163(5x2+ 1),
car ϕ(v, p0) = √1
2, ϕ(v, p1) = 0, ϕ(v, p2) = 14 q5
2. Ainsi : α=
Z 1
−1 5
16(5x2+ 1)− |x|2
dx= 161 Z 1
−1
(15x2+ 3−16|x|)2dx
= 161 Z 1
−1
(152x4+ 9 + 162x2+ 6·15x2−30·16x2|x| −6·16|x|)dx
= 162 (152· 15 + 9 + 162· 13 + 6·15·13 −30·16·14 −6·16·12)
=· · ·= 16.
2
Exercice 5.
(a) Supposons queλ∈Csoit une valeur propre deT1. Par dénition, il existe alors(w, z)6= 0 tel queT1(w, z) = λ(z, w). Doncλz =wetλw =z, et alors(λ2−1)w= 0et(λ2−1)z = 0. Comme au moins un des deux composantesz etwest non-nulle, il s'ensuit queλ2−1 = 0 et donc que λ= 1 ou λ=−1.
Clairement, 1 et−1 sont eectivement des valeurs propres et leurs espaces propres sont span((1,1)) etspan((1,−1)), respectivement.
(b) Soitλ∈Cune valeur propre et(z1, z2, z3)un vecteur propre non-nul deλ. Alors2z2 =λz1, 0 = λz2 et 5z3 = λz3. Supposons d'abord que λ 6= 0. Alors forcément z2 = 0, z1 = 0 et λ = 5. En eet, 5 est une valeur propre, d'espace propre span((0,0,1)). Dans le cas où λ = 0, il faut que z2 =z3 = 0. Ainsi, 0 est une deuxième valeur propre, d'espace propre span((1,0,0)).
3
