Mémoire sur la théorie infinitésimale des équations et les fonctions implicites

B ULLETIN DE LA S. M. F.

A. P ^ELLET

Mémoire sur la théorie infinitésimale des équations et les fonctions implicites

Bulletin de la S. M. F., tome 23 (1895), p. 7-16

<http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1895__23__7_0>

© Bulletin de la S. M. F., 1895, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Bulletin de la S. M. F. » (http:

//smf.emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/

conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS.

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE INFINITÉSIMALE DES ÉQUATIONS ET LES FONCTIONS IMPLICITES;

Par M. A. PELLET.

1. Nous dirons que les n premières racines (Tune équation, F(.r) == o, sont séparées dans le plan, lorsque Inéquation obtenue en y remplaçant chaque coefficient par son module à l'exception de celui de .r" qui est remplacé par une quantité négative de même module, équation qui offre deux variations de signe, a une racine positive simple r. Alors Inéquation F(.r) == o a n racines de modules inférieurs à r, et l'on peut former, d'une part, l'équa- tion de degré n qui admet ces n racines, d'autre part, celle qui admet toutes les autres racines qui sont de modules supérieurs à r. Soit

F (a?) == ao-l- a\x -r- a^x^-r.. .-h dix1' -\-....

Posons

f(x) = ao-(- ai.r-+-.. .-^-an-i^'1-1-1- an^^xrt+l-^.. .., co(rr) == oco -}- ai x -h. . .-4- a^-ia1"--1-)- a,,-n x^1 -}-.. .,

a/ étant le module de ai. On a

F (x) = OnX'1 -t-/(.Z'),

et les n premières racines de l'équation F (x) = o sont séparées dans le plan si la fonction ai^x¹¹—y(^)î qui est négative pour*r==o, est positive pour les valeurs positives de x comprises entre r e t R , R > r. Il est clair qu'on peut remplacer dans <?(^) les coefficients par des quantités positives supérieures et a,, par une quantité po- sitive plus petite; si la nouvelle fonction est positive pour des valeurs positives de x, ces valeurs rendront a fortiori positive la première.

Pour les valeurs de x, dont le module est compris entre / " e t R, on a

l\anX^^-f(x)} = lânX^ jw - l- f^T-r-. . . .

• ./v /J /» a,^71 ï ianx11]

La série à double entrée du second membre est absolument

— 8 —

convergente et on peut l'ordonner suivant les puissances crois- santes et décroissantes de x. Soit alors

IF(x) = la^x11-^ ^o-t-^-i.r-+-...4- ^•^+... - + - ^ 1 ^ + • • • • + - ^ ^ + * • • •

Posons

G (a*) == ^i ^ -+- ^2^2 +.. • + ^••yl+ • • • ? Hf-^,-...,-^....

\x] x x1

La série G(^) a un rayon de convergence égal ou supérieur à R, et H (¹) un rayon de convergence égal ou inférieur à 1\ II vient, passant des logarithmes aux nombres

^oF(r^)==a^"eH (^eG W; d'où

( i ) a^ ^ = e-ë. F(a-) e~G(•ï'), ( 2 ) e-e. F( x ) <r"W = ^^ ^n ^G(A•).

Ces deux égalités ayant lieu pour toutes les valeurs de x de mo- dule compris entre r et R, les deux membres doivent être iden- tiques dans chacune d'elles. Or, les seconds membres sont des séries holomorphes en *r, les premiers ne contiennent donc des

termes en - qu en apparence.i ,

Les deux membres de Pégalité (i) sont des polynômes entiers de degré n en x\ en égalant à o, on obtient Inéquation qui admet les n premières racines de F(.r) == o; le produit de ces n racines est égal à

(.-i).^^, a^

Les deux membres de l'égalité (a) sont des séries holomorphes en x^ le degré du terme de degré le moins élevé étant n\ égalant à o etsupprimant le facteur *y", on obtient une équation admet- tant toutes les autres racines de l'équation F(.c) === o, et récipro- quement: le nombre de ces racines peut se réduire à o, et leurs modules sont supérieurs à R.

Si les rit premières sont également séparées dans le plan, n^^>n, on aura

a^e^=e-^^)e-^\

g'^, G<(.r), H ^ -1) étant les valeurs correspondantes de ^ o ? G ( ^ ) ï H ^ y On en déduit

On^-n ^O)-^) == an C^ ^•w),

et Pon a ainsi sous deux formes différentes, comme précédemment, l'équation de degré n^ — n^ qui admet les n^ — n racines nouvel- lement séparées.

2. Posons

anP(x) =a,^i.r-4-...+a^,.z'<4-...,

„ Of1 \ - ^0 Oi an^i

^ ^ W " ^ ^ ^ ^ ^"ï"'

an'K(x) == a„+l.r-^-a„-+.2•y2-^-•••-^-a/»-^-<••yl-t-•.•î . , / ï \ ao , ai a^-i

^y=^+^:=:î"h•••4"~^"

Le terme indépendant de x est nul dans v^ et, par suite, est le même dans ?1' et ^l'-P^) ^ Q.Yl).

L^-^J L^^J w

Soit [A la valeur minimum de TC(^) + r^ ( "I) ^ 1e t6111"6 indépen- dant de x dans P ( ^ ) + Q ( -^I) | a un module plus petit que y - \1 — -7=1) et par suite, en prenant pour go le terme indépendant de x dans

-m _ 1 /-/.V+...+ (-iL)!7_/Ly-,

^/i^ 2 \anVn/ i—ï \anVn/

on commet une erreur e de module plus petit aue-—^— f i — -y F 4 i(i—^)\ 2^-1^I— ^ ? et il en résulte, pour le produit des n premières racines, (— i)" -^ e~ë^ une erreur relative e^— i, de module inférieur à

^ ( ,

V i(^^^)\

^-i}

Ainsi, pour n quelconque, on a

^/t-H ^-1 -+- Og/i-4-2 ^n-2 -+-'..+ aîn ^0 i i ^ P1-3

^=-—————.1—————

I'K^T^D'

— 10 - Pour n == a :

^ ^_^3^1-+-^4^0 , ^6^?-+-2a5aoaj-}-a^a^-4-aoq^ ^t „ 00

^ —————oj————

l^inrqr)!-

Pour /î == i :

^--—g^gP-^gi^,^^^^^ «s a^a^al , . ^ 3i

a? a? ^ a]————? •1ÊI<6(7^^)32;

dans ce cas, on peut écrire, en ajoutant des termes qui se trouvent dans la suite des termes négligés avec des coefficients au moins égaux, de sorte que la limite de l'erreur est inférieure,

éro= p (- ^--t\ ai/ ï152 \ ai/ a^ (- ao) + aïa^^

et il en résulte pour valeur de la première racine - ^ [ , ^ p / _ M + ^ p / ^ o \ _ ^03^-1

^ L \ a i / \ ^ i / a\ \

avec une erreur relative de module plus petit que fx6

i 6(1 — ^ — ^ ) 3. On a

e^ = [, + P(.)] ^, ^O) = [z -^ Q (^)] ^0),

^(.z*) étant la partie contenant x à des puissances positives, et S(~y) ^a partie contenant x à des puissances négatives du déve- loppement de la série

1 = 0 0

^^y_ i\i-l

^—T—KP+Q^-P'-Q'J,

1=2

ordonnée suivant les puissances croissantes et décroissantes de x.

j étant un entier positif ou négatif, le coefficient de xJ dans

[p^^a^)]

-?^)-^^)

a un module inférieur à

'<^œ r"^».œr-

- il -

p étant compris entre /• et R. Donc, dans ^(x) et 5 (- )> le coeffi- cient de xï a un module inférieur à

^p)x(-)

—————\rZ-_p-/.

—(P)-^)

et par suite dans les fonctions e^ x , e<J^), holomorphes, Fune en x^ Fautre en ^» le coefficient de xJ a un module plus petit que

wwl ^

— ^ P ) - x ( ^ ) - ^ ( p ) x ( ^ ) Cela posé, on a l'identité

^.(•^"(^i+P^-t-Q^).

D'où

"•<"( ^{^)} —,^«- ^s " ^l .

en ne retenant pas dans le second membre les termes contenante à une puissance supérieure à o. Ainsi ordonnons ———— suivant

r r i-+-P(a7)

les puissances positives de x^ multiplions par Q ( -1) et soit

^^-^-^-••-â

la partie de ce produit contenant x à une puissance nulle ou né- gative; on a

^o^)==i+QY^,

l'erreur absolue commise sur lecoefficient de -îj. ayant un module inférieur à

^GMp)

•--(p)-y-(^)-^(p)7.(p

)

'

— 12

y \ 7 ^pfé^

'

a»-- ai

où a^ est égal ail module de a\.

De même

^e^=^-W-.e-^,

-Q(^)

en ne retenant pas dans le second membre les termes contenant x à une puissance négative. Désignons par P'(^),

P ' ( x ) = a'n -+- a'^x 4- a^2 .y2+.. .-4- aA_^4-...,

la partie de la fonction ——'x-—- ne contenant pas x à une puis-

•<œ

sance négative ; on a

e^e^ = = I + P ' ( . P ) ;

Ferreur absolue commise sur le coefficient de x1 ayant un module inférieur à

^P)/.^)^?)

i-^(p)-x(-^)-^(p)x(^)

'it'(p) représentant la fonction

a;» + a;^i p -h... 4- a;^- p^' +... .

Lorsque F(^) est une fonction entière de degré m, P ' ( x ) doit être arrêté au terme de degré m — n.

-TC'(p) et 7 l1) sont sensiblement égaux respectivement à 7î(p),

^ ( •^I) lorsque [JL est petit, et Pon peut prendre pour limite du mo- dule de l'erreur commise, dans Pun et Fautre cas, sur le coefficient de x1, i entier positif ou négatif, • ' - —fx— p^, p étant la valeur qui rend minimum la fonction T^(^) + / ( -r )» lorsque x varie de r à R .

— 43 — On peut prendre

""[•^'co]- ⁰

pour l'équation qui admet les n premières racines de F(.r) == o, et i 4- P'(^) = o pour celle qui admet toutes les autres, avec une approximation d'autant plus grande que (JL est plus petit.

4. Si l'équation f(x) == o a n racines de modules inférieurs

<à r< et aucune dans l'intérieur de la couronne comprise entre les cercles de rayon n et /'a, /^ étant supérieur à ^ et au plus égal au rayon de convergence de la série holomorphe f{x\ il peut se faire que ces n racines ne soient pas séparées dans le plan ; mais les n premières racines de l'équation transformée en posant y = xk seront séparées dans le plan pour toutes les valeurs du

nombre A-, supposé entier, supérieures à une certaine limite.

Pour la facilité des calculs, on choisit pour k les puissances successives de 2; méthode de Gràffet Carvallo (thèse de M. Car- vallo, 1889).

On obtient la transformée en y en effectuant le produit

/(aQ/(6^).../(^-i.2?),

9 étant une racine primitive de 6^ — i == o. Après les réductions ce produit est une fonction entière de x^y et il suffit de changer

^k çj^ y^ pour avoir le premier membre de Féquation en y. Or, d'après un théorème de M. Weierstrass, on a, pour les valeurs de x de module inférieur à /'a?

/(a^F^)^,

F(;r) étant une fonction entière en a*, de degré /i, dans laquelle on peut supposer le coefficient de la plus haute puissance de x égal à l'unité et G(x) une série holomorphe convergente dans le cercle de rayon r^ Posons

G(a?) = bo^- bi x -h,..+ biX1 -+-....

La transformée def(x)^ en posant y == x^^ sera égale au pro- duit de la transformée de F(.z;), c?(y), par ^o+Gllr) où

Gi (y) - k( bî,y -+-...+ b^y14-... ).

44 —

Le module de ib^1 est aussi petit que Von veut pour toutes les valeurs de i suffisamment grandes, si R, quantité positive, est plus petite que /'a. On peut donc poser

i^<A

pour les valeurs de i supérieures à un nombre ^, R étant compris entre r\ et rg. Pour les valeurs de k supérieures à (\, les modules des coefficients de Gi(y)sont au plus égaux aux coefficients cor- respondants de — / ( i — ^ ) • On peut faire abstraction du fac- teur <?^° et prendre pour transformée dey(*r), ^(y)^01^» diaprés ce qui précède, les coefficients de cette transformée ont des mo- dules inférieurs aux coefficients de la fonction

[

^ij

développée suivant les puissances croissantes àe y\ de plus, si i ^ c est le coefficient de y¹¹ dans ce développement, c est une fonction entière de ( • — ) > infiniment petite lorsque k tend vers l'infini, et le coefficient de y '1 dans S(y) ^Gl(y) a un module com- pris entre i — c et i + c. Ainsi, pour démontrer la proposition, il suffit d'établir que l'équation

/y+/^Y

^ - ( — — y ^ - o

y^w)

a deux racines positives pour les valeurs de k suffisamment grandes. Extrayant la racine /i161"®, il vient

^ g - ( ^ - i ) y - t - r î = o .

Cette équation du second degré a deux racines positives pour les valeurs de k qui satisfont à l'inégalité

(^-,) ² >4»/î(gy•

— 1S — S. Soit l'équation

(1) Xo-t-Xir +.. .-hX^7» -{-...= o,

les X désignant des séries holomorphes en x, les /? premières Xo, Xi, . .., X,,_< s'annulant et la (n -+- i)¹⁶¹"®, X^, ne s'annulant pas avec x. Pour les valeurs de *r, d'assez petit module, les n pre- mières racines de cette équation en y seront séparées dans le plan.

Ordonnons en effet par rapport à a? et soit alors

{an -4- Yo)7» -h Yia1 4- Y2.y2-+-... = o

ce que devient l'équation, a,, étant la valeur de X,, pour x = o.

Désignons par | Y, | ce que devient Y, quand on y remplace tous les coefficients par leur module. Cela posé, soient^ une quantité positive rendant a,,— | Yo | positif (a,, module de a^), et inférieure aux rayons de convergence des séries Y < , Ya, . . . , Y^, . . . ; x^ une quantité positive rendant positif ou nul le premier membre de l'équation

(2) ytî(^-\^\)-x,\\\\-x\\^\-...-x\ [ Y ; | - . . . = o ,

1 Yjl représentant la valeur de | Y, | pour y =j^.

Pour les valeurs de x de module inférieur à x^ l'équation (i) a n racines de modules inférieurs àj^"i, et ces n racines sont sépa- rées dans le plan. Presque toujours, dans le cas par exemple où le premier membre de l'équation (i) est un polynôme entier en x et y, il y aura une valeur positive p de x^ pour laquelle l'équa- tion (2) admettra une racine positive double e n y < , v. Alors, pour x\ <^p? l'équation (2) aura deux racines positives y^ y^ com- prenant entre elles v, y^<i>v^>y^ et pour] x\<x^ l'équation (i) a n racines de modules plus petits que y^ séparées dans le plan.

La méthode -du n° 1 permettra de former l'équation de degré n qui admet ces n racines. Toute fonction symétrique et entière de ces n racines est développable suivant les puissances croissantes de x et l'erreur commise en négligeant les termes de degré supé- périeur à { a un module inférieur à

•('?)

16 -

A désignant la valeur que prend la fonction quand on y remplace chaque racine par p, et les coefficients par leur module.

6. Soit l'équation

yn—xf(y)=o,

où Posons

/(Jf) == ^o + &i7 -+-...+ biyi +.

o( y ) = P o + P l y - ^ - . . . 4 - ^ • y^l+ .

j3< étant égal ou supérieur au module de &/. On pourra prendre pour y^ un nombre positif quelconque inférieur au rayon de con- vergence de y (y); ^ sera égal à -z?-.; v sera déterminé par l'é- quation v ^ ( v ) — n ^ û ( v ) = o et p = -* î \ / T \ / r (P(P) ^ C ^ )v-—== J

En particulier considérons l'équation

y — d ? s i n ( 6 - h ^ ) = o .

Soit p l'angle compris entre o et 7C ayant même sinus en valeur absolue que b ; on a

/ \ • ex ey ~^~e—y ^ ^y — e~y

< p ( y ) = s m ^ — — — — — +cosp ———-—.

Poury< = i ,

Vl 2

Kr.'rT^îTÏ^⁰¹⁵¹⁴- L'équation en v devient

o^sin^sin^^-^.^ /î / ^...;)

\ ^ 2 . 4 I .<2 . . . ( 2 l — 2 ) . 2 ^ /

o / ^3 p2(-H \

5 ? (-,-4-...-+-———————————————————— - » - . . . ) COSI

\ ^ 1 . 2 . . . ( 2 l — l ) . r 2 l d - l ) / '

p tendant vers o, v tend vers (3 tang?)3', et p vers l'unité. Ainsi p varie entre o , 5 i et î ; on sait que Laplace a montré que le rayon de convergence de la fonction y est supérieur à 0,662.