N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
W ORONTZOFF
Sur le développement en séries des fonctions implicites
Nouvelles annales de mathématiques 3
esérie, tome 8 (1889), p. 140-143
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SUR LE DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES DES FONCTIONS IMPLICITES;
PVR M. WORONTZOFF.
Soient
.r = fv{m ). x = j\,{niK)) — ./"0. a- = t/V(o) = r les racines respectives des équations
f (or) — m = o, / i - r ) — m0 = o, f(x) = o, de sorte (ju'on ait i d e n t i q u e m e n t
ƒ(ƒ,.(/>?>] = //?. /'( r(l) = //?„, f(r)—o:
( ' 4 . )
et
¥{x)dx
une fonction qu'il faut développer en série ordonnée Mii\ ant les puissances croissantes de /// — m0.
En posant, pour abréger,
-— = <,M.r), on a
/ F(jr)dx= / JJ-— df(.T) = I <\>(r)df(.r)
= / *[fAm)] df\fv(m)\= c|,f/r(/;n
Au moyen des formules bien connues j W(m)dm
(m — /n0)2 „,v x
r.?. . .(/i —
on obtient
l'\ - f"
/ J" (X) CIX — ƒ
=-- (m - m) *[/^/w)] H ^
~ y
où
(m-m»)»
K* = . .. ., J )> 1 <PL.
= i r ^ - D . ] » (
3) (
1. v*. 3 . . . Il \ [_f'(Z) J ' is=ar0H-ei(ar-)r„)=/1.[/«„+6(w-/iiü)l
De cette formule, on déduit aussi la série suivante
r-r r * r.r0
/ F(*)d&F = / Y(x)dx — / F (x) dx
= / *[ƒ,("?)] fl?/?l— / *[/
*^0 « 0
_J\Z) \ \z = r
où
H), = 1 (rn
n\\ -ri— D J""
1*( 3) {
-m"\\ "TT— D- * ( - ) I-
Exemple. — Eu prenant les logarithmes népériens, posons
ƒ (x) = lo£.r = m, F O ) = log*.
Alors
j n - i + l oS[ r0+ O(ar - a-,)] |
( ' ) Nouvelles Annales, août 1888, p. 062.
Comme R,
/=ae=o et R ' ^
w= o pour les valeurs finies de ru et m
0, on a
+ "*~ ™ (i + Iogg)
! \ogxdx = x0 \(m— n i o ) l o
_ ! i (m — m0) ï
- m
0)* j - + ^ ^
[ \ x (m — mo)2 (m— m0)3 "1 a?0 ( ^ — »*o) H" — -+- ^ T~3 + • • .
= x0[e>n-»lo(m — m0)—(e'w-"«o—i)]
= (a? loga? — a-) — (x0 \ogx0—x0),
et aussi
(«i^ — m\ ) i (m5 — ;??J) r
"*" T^ 4 H 1.2.3 5 +* "
F i /?I I m2 i //?3 T 1 L 2 l 6 T. 2 | 1 . 2 . 3 5 J
0 L 2 I 3 1.24 1.2.3^) e'«—i)] — [ e " ' o / n0- ( e ' " o - i)]
= (57 log^r — 57) — (a?0
