Sur le développement en séries des fonctions implicites

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

W ^ORONTZOF

Sur le développement en séries des fonctions implicites

Nouvelles annales de mathématiques 3^e série, tome 7 (1888), p. 362-365

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1888_3_7__362_1>

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

(2)

IMPLICITES;

PAR M. WORONTZOF.

Soient

deux équations entre les variables x, y et /?<;

y=Mm), y=fv(o)=r (»)

( ' ) Les droites du système (-) ne sont que les normales à la sur- face S dans l'espace ou Yabsolu est la surface 2'.

(2) Soit, par exemple

/ ( m ) — c"1—i, sinw, (

on a respectivement

/v ( /?* ) — log(/« -»- i), arcsin/w,

(3)

( 363 ) les racines des équations

de sorte qu'on ait identiquement

et F(x) une fonction qu'il faut développer en série or- donnée suivant les puissances croissantes de ni. Si l'on donne

x — <ï> [ /• -+- ?n cp ( x ) ] ,

alors

En vertu des égalités [dW(m)-\

L a m Jm=f(j)

**= *"[/(ƒ)]= [77**

[

^{r 1}^{( 2 )}

011 obtient, en substituant^(m) au lieu dey,

[

1 "i («)

ou, en remplaçant ^ [ / ' ( j )] par ^>( ) ),

( L / {y t J y=fv('n)

(4)

( U

Wf'iy) }\

\u moyeu de la formule précédente el de la série de Maclaurin, prise avec le terme complémentaire (R,,) de Lagrange, on trouve

= F ; *[/„(m)] ; = F(^r) = F[*(r)J

) F\4>(z)\

cl aussi, pour <1>(J ) = j ^ = JC ,

( 3 )

OU O < 1) < I .

Exemple. — Eu posant successivement

.7 = 4>(^) = eaï, m = f(y) = ecy—h, x=ya, m — yc—A,

\ s y = log( fi-r m)c , r = log hc ,

(5)

( 365 )

= a ( a — c ) ( a — a c ) . . . [ a — ( * — i ) c ] £ ^ ,

et, p a r conséquent, d'après la formule ( 2 ) ,

7

1 . 2 . 3 . . . \

1.2.3...n \ c

t-c)...[a-(n-i)c] /^my l-n

1.9.. 3 . . . n

Sur le développement en séries des fonctions implicites

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

W ORONTZOF