Le groupe SL

(1)

Le groupe SL

n

( Z )

1. SL

n

( Z ) 6= ∅ car I

n

∈ SL

n

( Z ) et bien ´evidemment, SL

n

( Z ) ⊂ SL

n

( Q ),

SL

_n

(Z) est stable par produit car le produit de deux matrices à coefficients dans Z est une matrice à coefficients dans Z et le déterminant du produit est égal au produit des déterminants.

Si M ∈ SL

n

(Z) alors M

^′^T

(transpos´ee de la matrice des cofacteurs) est encore dans SL

n

(Z). Comme MM

^′T

= det M.I

n

alors M

^′T

= M

⁻¹

.

Conclusion : SL

n

(Z) est un sous-groupe de SL

n

(Q). . . 2 2. E

_ij²

= 0 donc M

_ij^m

= I

_n

+mE

_ij

d’apr`es la formule du binˆome quand m ∈ N. Cette relation

est encore valable si m = −p ∈ Z

⁻

car (I

_n

+ mE

_ij

)M

_ij^p

= (I

_n

+ mE

_ij

)(I

_n

+ pE

_ij

) = I

_n

, d’o` u I

n

+ mE

ij

= M

_ij⁻^p

= M

_ij^m

. . . 1 3. Si M = (C

1

C

2

. . . C

n

) est l’´ecriture de M sous forme de colonnes alors MM

_i,j^m

=

(C

₁

C

₂

. . . C

_j

+ mC

_i

. . . C

_n

) (la colonne C

_j

est remplac´ee par C

_j

+ mC

_i

). . . 1 4. Commen¸cons par traiter le cas n = 2 : on utilise l’algorithme d’Euclide.

(i) Si a

1

> 0 et a

2

= 0, c’est termin´e.

(ii) Si a

1

< 0 et a

2

= 0 alors on effectue les op´erations suivantes :

(a

1

0) −−−−−−−→

^C²^←^C²^+C¹

(a

1

a

1

) −−−−−−−→

^C¹^←^C¹⁻^2C²

(−a

₁

a

1

) −−−−−−−→

^C²^←^C²^+C¹

(−a

₁

0)

(iii) Si a

2

6= 0 alors c’est l`a que commence l’algorithme d’Euclide : on ´ecrit successivement

a

2

= q

1

a

1

+ r

1

, a

1

= q

2

r

1

+ r

2

, . . . , r

l

= q

l+2

r

l+1

+ r

l+2

, . . . , r

k

= q

k+2

r

k+1

o` u r

_l

= q

_l+2

r

_l+1

+ r

_l+2

est la division euclidienne de r

_l

par r

_l+1

et r

_k+1

= d, P.G.C.D.

de a

2

et a

1

. On fait alors les op´erations qui suivent :

(a

1

a

2

) −−−−−−−−→

^C²^←^C²⁻^q¹^C¹

(a

1

r

1

) −−−−−−−−→

^C¹^←^C¹⁻^q²^C²

(r

2

r

1

) . . . (r

2p

r

2p±1

) . . .

( (d 0) 1 (0 d) 2 Dans le premier cas, c’est fini, dans le deuxi`eme, on fait

(0 d) −−−−−−−→

^C¹^←^C¹^+C²

(d d) −−−−−−−→

^C²^←^C²⁻^C¹

(d 0).

Cas général : on utilise l’associativité du P.G.C.D., on obtiendra successivement (d

1

0 a

3

. . . a

n

) o` u d

1

= a

1

∧ a

2

puis (d

2

0 0 a

4

. . . a

n

) o` u d

2

= d

1

∧ a

3

= a

1

∧ a

2

∧ a

3

en opérant sur les premières et troisième colonnes et par une récurrence finie sur les colonnes suivantes (d 0 . . . 0). . . 15 5. Soit M ∈ SL

_n

(Z), comme det M = 1 alors, en d´eveloppant selon n’importe quelle

ligne, on prouve que le P.G.C.D. des éléments d’une même ligne vaut 1. On note G

n

le groupe engendr´e par les matrices M

_i,j

, on remarque que c’est un sous-groupe de SL

_n

(Z).

L’objectif ici est de prouver que G

n

= SL

n

(Z).

En faisant les opérations de la question précédente sur la première ligne de M alors

on a MC

1

= M

1

=



 



1 0 . . . 0 a

^′₂₁

a

^′₂₂

. . . a

^′_2n

...

a

^′_n1

a

^′_n2

a

^′_nn



 

 o` u C

1

est un produit de matrices M

i,j

donc appartient `a G

n

.

1

(2)

On peut ensuite op´erer sur la deuxi`eme ligne de M

1

`a partir de la deuxi`eme colonne pour obtenir la matrice MC

1

C

2

= M

2

=



 



1 0 . . . 0 a

^′₂₁

d

₂

. . . 0

.. . M ₂ ^′′

a

^′_n1

a

^′′_n2



 

 o` u d

2

est le P.G.C.D. des termes a

^′₂₂

, . . . , a

^′_2n

. En fait d

2

= 1 car det(MC

1

C

2

) = 1 = d

2

|{z}

∈N

× det M

₂^′′

| {z }

∈Z

. La première colonne est inchangée car les opérations élémentaires que l’on a faites ont concerné les colonnes 2 à n.

En appliquant cet algorithme aux autres lignes, on trouve une matrice triangulaire inf´erieure M

n

= MC =





1 0

. ..

m

ij

1 

 o` u C ∈ G

n

. On retranche à la k-ième colonne, la dernière multipliée par m

nk

, pour k ∈ [[1, n − 1]], la derni`ere ligne ne comporte alors que des 0 sauf sur la diagonale. On reprend le mˆeme processus avec les autres lignes, finalement on obtient la matrice I

n

.

On aura C

^T

M

^T

= D o` u D ∈ G

n

soit M = D

^T

C

⁻¹

∈ G

n

car G

n

est stable par transposition et par inversion.

Conclusion : on avait G

_n

⊂ SL

_n

(Z) et on vient de prouver l’inclusion inverse donc SL

n

(Z) est engendr´e par les matrices M

i,j

. . . 10 6. a) SL

n

( Z /p Z ) est bien un groupe, on fait la mˆeme d´emonstration que pour la question

1 et on utilise l’expression du produit dans M

_n

(K) pour n’importe quel corps K. 0 b) On veut prouver que si M ∈ SL

n

(Z/pZ) alors il existe une matrice M ∈ SL

n

(Z) telle

que M = ϕ

n,p

(M). En d’autres termes, si N ∈ M

_n

(Z) est telle que det N ≡ 1[p]

alors il existe M ∈ SL

n

(Z) telle que N ≡ M[p].

• Le cas n = 1 est imm´ediat.

• On suppose la propriété vraie à l’ordre n.

Soit N ∈ M

_n+1

(Z) telle que det N ≡ 1[p]. D’apr`es la question 4, on sait qu’il existe C ∈ SL

n+1

(Z) telle que NC = d 0 . . . 0

... N

^′

!

avec d det N

^′

| {z }

∆^′

= 1 + kp.

En faisant la manipulation de la question 4 alors la premi`ere ligne de la matrice NC va se transformer de la mani`ere suivante :

(d 0 . . .) −−−−−−−−→

^C²^←^C²^+∆^′^C¹

(d 1 + kp . . .)

C1←C1−dC2

−−−−−−−→ (−dkp 1 + kp . . .)

C1←C1+C2

−−−−−−−→ (1 + kp − dkp 1 + kp)

C2←C2−C1

−−−−−−−→ (1 + kp − dkp − dkp . . .)

d’o` u, si C

^′

∈ SL

n

(Z) est la matrice qui correspond `a toutes ces manipulations, on aura NC

^′

≡ 1 0 . . .

.. . N

^′′

!

et det N

^′′

≡ 1[p], on applique alors la r´ecurrence

`a N

^′′

.

Finalement, on a NC

^′′

≡ D[p] o` u D ∈ SL

n

( Z ) (D est une matrice triangulaire inférieure et tous ses termes diagonaux sont égaux à 1).

On en d´eduit N ≡ C

^′′−1

D[p] car ϕ

n+1,p

est un morphisme de groupes.. . . 15

(3)

Sous-groupes finis de SL

n

(Z)

7. a) • (M ), le sous-groupe de G engendr´e par M est fini donc il existe k ∈ N

^∗

tel que M

^k

= I

n

. X

^k

− 1 est un polynôme annulateur de M qui est scindé, à racines simples sur C donc M est diagonalisable sur C. . . 1

• Toutes les valeurs propres de M sont racines de X

^k

− 1 donc Tr(M ) = P

ⁿ

j=1

λ

j

o` u les λ

j

sont des complexes de module 1 donc λ

j

= 1 λ

j

et M = M car M est

`a coefficients r´eels d’o` u Tr(M ) = Tr(M ) =

X

n j=1

λ

j

= X

n

j=1

1 λ

j

= Tr(M

⁻¹

) 1

• | Tr(M )| 6 P

n j=1

|λ

j

| = n. . . 0

• Tr(M) = n ⇔ P

n j=1

λ

j

= n et, en prenant les parties r´eelles, P

n j=1

Re(λ

j

) = n.

Comme λ

j

= x

j

+ iy

j

avec x

²_j

+ y

_j²

= 1 alors x

j

6 1 donc x

j

= 1 et y

j

= 0. M est une matrice diagonalisable qui n’a que 1 comme valeur propre, c’est donc l’identit´e. De mˆeme pour Tr(M ) = −n.

Conclusion : Tr(M ) = n ⇔ M = I

n

et Tr(M ) = −n ⇔ M = −I

n

(`a condition que −I

n

∈ G). . . 2 b) U est symétrique définie positive en tant que somme de matrices symétriques définies

positives (en effet, X

^T

M

^T

MX = kMXk

²

> 0 et, comme M est inversible, si X 6= 0 alors MX 6= 0 donc kMXk

²

> 0). . . 1 c) Soit f ∈ L(R

ⁿ

), N sa matrice ´el´ement de G alors

N

^T

UN = X

M∈G

(MN )

^T

MN = X

M∈G

M

^T

M = U

car M 7→ MN est une bijection de G donc f est orthogonal pour ce produit scalaire.

. . . 2 8. a) Les endomorphismes de R

²

dont les matrices appartiennent au groupe G sont donc

des rotations pour le produit scalaire défini par U (ce ne sont pas des symétries car leur déterminant vaut 1). Comme G est fini, on sait que r

^Card^G

= Id

^R²

donc G est isomorphe `a un sous groupe de U

_Card_G

. Comme tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique alors G est cyclique. . . 4 b) Si λ

1

et λ

2

désignent les valeurs propres d’un élément M qui engendre G alors on

sait que |λ

₁

+ λ

2

| = |2 cos θ| 6 2. On aura ainsi 5 possibilit´es correspondant `a λ

1

+ λ

2

∈ {−2, −1, 0, 1, 2} (λ

1

+ λ

2

= Tr(M ) ∈ Z).

• λ

₁

+ λ

₂

= 2 alors M = I

₂

, G = {I

₂

}

• λ

₁

+ λ

₂

= −2 alors M = −I

₂

, G = {±I

₂

},

• cos θ =

¹₂

alors θ = ±

^π₃

, G est d’ordre 6,

• cos θ = −

¹₂

alors θ = ±

^2π₃

, G est d’ordre 3,

• cos θ = 0 alors θ = ± π

2 , G est d’ordre 4.

. . . 4

Il est à noter que l’on a étudié toutes les possibilités pour G.

c) Si M est d’ordre 2 alors G = {I

₁

, M } est un sous-groupe fini de SL

2

(Z) auquel on

peut appliquer le résultat précédent donc M = −I

2

. La r´eciproque est ´evidente. 2

(4)

d) Si l’ordre de G vaut 3 alors Tr(M ) = −1 vu le b, r´eciproquement, si Tr(M ) = −1 alors M

²

+ M + I

2

= 0 donc M

³

= I

2

et M 6= I

2

donc l’ordre de M vaut 3.

Si l’ordre de M vaut 4 alors Tr(M ) = 0, r´eciproquement, si Tr(M ) = 0 alors M

²

+ I

2

= 0 donc M

⁴

= I

2

, l’ordre de M vaut 4.

Card G = 6 ⇔ Tr(M) = 1 de mˆeme. . . 4 e) On note J =

0 −1 1 −1

et K =

0 −1

1 0

. Les groupes suivants conviennent : G = (I

₂

) = {I

₂

}, Card G = 1,

G = (−I

2

) = {±I

2

}, Card G = 2, G = (J ) = {I

2

, J, J

²

}, Card G = 3, G = (K ) = {±I

2

, ±K}, Card G = 4, G = (−J ) = {±I

2

, ±J, ±J

²

}, Card G = 6.

. . . 3

9. A priori on a Tr(M) ∈ [[−3, 3]] mais on sait que l’endomorphisme associé à M est une rotation pour le produit scalaire défini par U donc Tr(M ) = 1 + 2 cos θ ∈ [[−1, 3]]. . 1 Pour Tr(M ) = −1 on a θ ≡ π mod 2π et ord (M) = 2.

Pour Tr(M ) = 0 on a θ ≡ ±

²₃

π mod 2π et ord (M) = 3.

Pour Tr(M ) = 1 on a θ ≡ ±

¹₂

π mod 2π et ord (M) = 4.

Pour Tr(M ) = 2 on a θ ≡ ±

¹₃

π mod 2π et ord (M) = 6.

Pour Tr(M ) = 3 on a θ ≡ 0 mod 2π et ord (M) = 1.

Pour trouver des matrices qui conviennent dans chacun des cas ci-dessus, il suffit de prendre M =

N 0

0 1

o` u N est l’une des matrices de la question 8.e. . . 3 10. a) On a imm´ediatement

Tr(M ⋆ M

^′

) = X

(i,i^′)∈I×I^′

a

i,i

b

i^′,i^′

= X

i∈I

a

i,i

X

i^′∈I^′

b

i^′,i^′

= Tr(M ) Tr(M

^′

). 1 b) Soit M = (a

i,j

), N = (b

i,j

), M

^′

= (a

^′_i′,j^′

), N

^′

= (b

^′_i′,j^′

) et (MN)⋆(M

^′

N

^′

) = (c

(i,i^′),(j,j^′)

)

alors

c

(i,i^′),(j,j^′)

= X

k∈I

a

i,k

b

k,j

× X

k^′∈I^′

a

^′_i′,k^′

b

^′_k′,j^′

= X

(k,k^′)∈I×I^′

(a

i,k

a

^′_i′,k^′

)×(b

k,j

b

^′_k′,j^′

)

donc (MN ) ⋆ (M

^′

N

^′

) = (M ⋆ M

^′

)(N ⋆ N

^′

). . . 1 c) Evident en utilisant les deux résultats précédents. . . 0 ´ 11. a) Classique, on a S

²

= P

(M,N)∈G²

MN = gS car M 7→ MN est une bijection de G.

On remarque alors que 1

g S est un projecteur et comme la trace d’un projecteur est un entier (´egal `a son rang) alors Tr(S) = g Rg(S) donc la trace de S est un entier divisible par g. . . 2 b) M ∈ Ker ψ

r

⇔ M

^∗^r

= I

_[[1,n]]^r

donc Tr(M)

^r

= n

^r

. On en d´eduit que Tr(M ) = ±n

donc M = ±I

n

vu la question 7.a.

Conclusion : Ker ψ

r

= {I

n

} si r est impair ou si −I

n

∈ / G, Ker ψ

r

= {±I

n

} si r est pair et si −I

_n

∈ G. . . 2 c) Si Ker ψ

r

= {I

n

} alors G

r

= {M

^∗^r

, M ∈ G} est un sous-groupe de GL

[[1,n]]^r

(R) de

même cardinal que G donc, en appliquant le résultat du a à S

r

= P

M∈G

M

^∗^r

, on en d´eduit que g divise P

M∈G

Tr(M )

^r

.

Si Ker ψ

r

= {−I

_n

, I

n

} alors si M ∈ G, −M ∈ G, g = 2g

^′

o` u g

^′

= Card G

r

. On pose

(5)

S

r

= P

Mr∈Gr

M

r

= 1 2

P

M∈G

M

^∗^r

, g

^′

divise Tr(S

r

) donc on arrive `a la mˆeme conclusion que ci-dessus. . . 4 12. a) Comme G est un sous-groupe de SL

n

(R) alors les t

i

sont des entiers donc le polynˆome

P est `a coefficients entiers. On sait ensuite que I

n

est le seul ´el´ement de G de trace

égale à n donc P (Tr(M )) = 0 pour tous les autres éléments de G. Si on pose P =

P

s k=0

a

k

X

^s

alors

X

M∈G

P (Tr(M )) = X

s

k=0

a

_k

X

M∈G

Tr(M )

^r

!

= mg, m ∈ N

^∗

= P (Tr(I

n

)) = P (n)

donc P (n) est un entier divisible par g. . . 4 b) Comme les t

i

∈ [[−n, n − 1]] alors

Y

s k=1

(n − t

k

) divise

n−1

Y

l=−n

(n − l) = (2n)! donc g divise (2n)!. . . 2 Si n est impair alors −I

_n

∈ / G car det(−I

_n

) = −1 donc on peut reprendre le produit ci-dessus `a partir de l = −n + 1 et conclure g divise (2n − 1)!. . . 1 c) Si n = 3 alors, vu la question 9, −2 n’est pas une valeur possible pour la trace d’un

´el´ement de G donc g divise (2n − 2)! = 24. . . 3 13. a) Soit σ ∈ S

_n

, on consid`ere M

_σ

= {M ∈ GL

n

(Z) | MT

i

= ±T

_σ_i

}. M

_σ

est la r´eunion

de deux ensembles de mˆeme cardinal, M

⁺_σ

, ensemble des matrices de d´eterminant 1 et M

⁻_σ

, ensemble des matrices de d´eterminant −1. Or Card M

_σ

= 2

ⁿ

donc Card M

⁺_σ

= 2

ⁿ⁻¹

.

Soit G = [

σ∈S_n

M

_σ⁺

alors Card G = 2

ⁿ⁻¹

n! et G est l’ensemble des matrices de SL

_n

(Z) qui conservent T qui est bien un sous-groupe de SL

n

( Z ). . . 4 b) Le cardinal maximal cherch´e est donc 24. . . 0 14. a) On a M

^p

= I

n

donc

(I

n

+ mN )

^p

= I

n

+ pmN + m

²

H = I

n

donc, en simplifiant par m 6= 0, pN = −mH or les coefficients de la matrice N sont premiers dans leur ensemble donc il existe des a

ij

∈ Z tels que P

i,j

a

ij

n

ij

= 1 (o` u N = (n

ij

). On a alors −m P

i,j

a

ij

h

ij

= p i.e. m divise p. . . 4 b) On a donc soit m = 1 soit m = p.

Si p > 3 et m = p alors, en reprenant le calcul ci-dessus, on obtient p

²

N =

− P

p k=2

p

^k

p

k

N

^k

= p

³

K car p|

p k

pour k ∈ [[1, p − 1]] ce qui est impossible.

Conclusion : m = 1 ou m = p = 2.. . . 3 15. a) Si g = 1, c’est immédiat, supposons g > 2. On sait que, pour tout élément M de

G, on a M

^g

= I

n

donc l’ordre q de M est un diviseur de g.

Supposons que ϕ

n,3

(M) ≡ I

n

[3], M 6= I

n

. Si p est un diviseur premier de q alors

M

^q/p

est d’ordre p. On a ϕ

n,3

(M

^q/p

) ≡ I

n

[3] donc M

^q/p

= I

n

+ 3N , d’o` u, si N 6= 0,

3|m (question 14.a) ce qui est impossible (question 14.b).

(6)

Conclusion : on a M

^q/p

= I

n

avec q/p < q ce qui est impossible l`a encore car ord (M) = q donc M = I

_n

.. . . 5 b) ϕ

_n,3

(G) est un sous-groupe de SL

_n

(Z/3Z) de mˆeme cardinal que G.

Or on sait que Card GL

n

(Z/3Z) = (3

ⁿ

− 1)(3

ⁿ

− 3

²

)(. . .)(3

ⁿ

− 3

ⁿ⁻¹

), en effet, il suffit de dénombrer les familles libres à n éléments dans (Z/3Z)

ⁿ

:

pour le premier vecteur, on a 3

ⁿ

− 1 choix (on prend n’importe quel vecteur non nul),

pour le deuxi`eme vecteur, on choisit un vecteur non proportionnel au premier, ce qui donne 3

ⁿ

− 3 choix (on a enlevé tous les vecteurs portés par la droite engendrée par le premier vecteur),

pour le k-i`eme vecteur, on a 3

ⁿ

− 3

^k⁻¹

choix (il faut enlever les vecteurs qui appartiennent `a l’espace vectoriel engendr´e par les k − 1 premiers vecteurs).

On peut alors faire une partition de GL

n

( Z /3 Z ) selon le déterminant : soit il vaut 1, soit il vaut −1 = 2. Par symétrie, chaque ensemble de la partition a le même nombre d’éléments donc

g| Card SL

n

(Z/3Z) = 1

2 (3

ⁿ

− 1)(3

ⁿ

− 3)(. . .)(3

ⁿ

− 3

ⁿ⁻¹

). 5 c) 5760 = 80×72, on sait que g divise 40×78×72×54 = 80×72×2×3

⁴

×13 vu la ques-

tion pr´ec´edente et qu’il divise aussi 8! = 80×72×7 donc il divise leur P.G.C.D. qui est 5760. . . 2 16. Soit G = {a

1

, a

2

, . . . , a

n

} si a ∈ G alors a ∗ a

i

= a

j

et l’application i ∈ [[1, g]] 7→ j ∈ [[1, g]]

est une bijection σ. Soit ϕ : a ∈ G 7→ σ ∈ S

_g

, on v´erifie que ϕ est bien un morphisme de groupes injectif.

Si maintenant on consid`ere ψ : σ ∈ S

_g

7→ P

σ

∈ GL

g

(Z) o` u P

σ

est la matrice de permutation associ´ee `a σ alors θ = ψ ◦ ϕ est un morphisme de groupe injectif de G dans l’ensemble des matrices inversibles dans M

_g

(Z) (de d´eterminant ±1).

• Si g est impair alors θ(a)

^g

= I

n

donc det θ(a)

^g

= 1 soit θ(g) ∈ SL

n

( Z ) et par cons´equent θ(G) est un sous-groupe de SL

n

( Z ) isomorphe `a G.

• Si g est pair, cela pose plus de probl`emes...

On remarque que l’hyperplan H = {(x

₁

, . . . , x

_g

) ∈ Q

^g

tq x

₁

+ · · · + x

_g

= 0} est stable par toutes les applications θ(a). Ceci permet de co-trigonaliser par blocs les matrices θ(a) `a l’aide d’une base de Q

^g

commen¸cant par une base de H.

Plus pr´ecis´ement, soit P =

I

_n−1

(0)

−1 · · · − 1 1

: si a ∈ G alors la matrice P

⁻¹

θ(a)P est de la forme P

⁻¹

θ(a)P =

N (a) X 0 . . . 0 y

avec X ∈ M

_g−1,1

(Z) et y ∈ Z. Puisque θ(a) ∈ GL

g

(Z), on a N (a) ∈ GL

g−1

(Z) et l’application a 7→ N(a) est un morphisme de groupes de G dans GL

g−1

(Z). Ce morphisme est injectif car si N (a) = I

g−1

alors θ(a) induit l’identité sur H, et aussi sur la droite vectorielle engendrée par le vecteur (1, . . . , 1) qui est supplémentaire de H dans Q

^g

, donc θ(a) = Id

Q^g

ce qui implique a = 1

G

. On note alors Q(a) =

N (a) (0) 0 . . . 0 det(N (a))

: l’application a 7→ Q(a) est

un morphisme de groupes de G dans SL

g

(Z), injectif. . . 20

(7)

Morphismes de groupes et SL

n

(Z)

17. On sait d´ej`a (question 6.b) qu’il existe un morphisme surjectif de SL

2

(Z) sur SL

2

(Z/2Z).

Or on peut d´ecrire ce dernier ensemble : SL

2

(Z/2Z) =

1 0 0 1

| {z }

=I2

,

0 1 1 0

| {z }

=A1

,

1 1 0 1

| {z }

=A2

,

1 0 1 1

| {z }

=A3

,

0 1 1 1

| {z }

=A4

,

1 1 1 0

| {z }

=A5

et on remarque que A

²₁

= A

²₂

= A

²₃

= I

2

, A

²₄

= A

5

et A

5

= A

²₄

, si on pose ψ(A

1

) = t

1,2

, ψ(A

2

) = t

1,3

, ψ(A

3

) = t

2,3

, ψ(A

4

) = (1, 3, 2) et ψ(A

5

) = (1, 2, 3) alors ψ est un morphisme surjectif de SL

2

(Z/2Z) sur S

₃

.

Pour conclure, il suffit de prendre ε : σ ∈ S

₃

7→ ε(σ) signature de σ. ε ◦ ψ ◦ ϕ est alors un morphisme surjectif de SL

2

(Z) sur {−1, 1} ∼ Z/2Z. . . 4 18. a) Par un calcul simple, on trouve M

ij

M

jk

M

_ij⁻¹

M

_jk⁻¹

= M

ik

. . . 1 b) Si ϕ est un tel morphisme, alors ϕ(M

ik

) = ϕ(M

ij

)ϕ(M

jk

)ϕ(M

ij

)

⁻¹

ϕ(M

jk

)

⁻¹

= 1

G

.

Les M

ik

engendrant SL

n

(Z), on en d´eduit ϕ(M) = 1

G

pour toute matrice M ∈ SL

n

(Z).

Conclusion : tout morphisme de SL

n

(Z) sur G est constant. . . 1 19. a) Soit {a

1

, . . . , a

p

} la partie g´en´eratrice de G, on sait alors que tout morphisme ϕ de

G dans H est déterminé de manière unique par ϕ(a

i

), i ∈ [[1, p]]. Comme H est fini, il n’y a qu’un choix fini pour chaque valeur de ϕ(a

i

) donc il n’y a qu’un nombre fini de morphismes de G dans H (nombre major´e par Card H

^p

). . . 1 b) Soit E l’ensemble des morphismes de G dans H . L’application ψ : f 7→ f ◦ u de E

dans E est injective car u est surjectif, et donc bijective car E est fini. Ainsi tout

´el´ement v de E est de la forme v = f ◦ u avec f ∈ E, d’o` u Ker u ⊂ Ker v. . . 4 20. On prend H = Z/pZ, v = ϕ

n,p

alors Ker u ⊂ Ker ϕ

n,p

soit u(M ) = I

n

⇒ M ≡ I

n

[p] i.e.

p divise tous les coefficients de la matrice u(M) − I

n

∈ M

_n

(Z) et ceci n’est possible que si u(M ) = I

n

.

Conclusion : u est injective donc bijective, i.e. tout morphisme de groupe surjectif de