Exercice 2 Exercice 1 Corrigé

(1)

Exercice 1 1) a) F 1, 0,1 , G 1,1,1 , I 0,









2, 0 et J 0, 2,1 . 2 2                 b) Le vecteur 0 IJ 0 1          

est directeur de la droite (IJ) et le point I de coordonnées 0, 2, 0 2

 

 

 , il en

résulte qu’une représentation paramétrique de la droite (IJ) est x 0 2 y ; . 2 z             2) a) 2 1 2 AF 0 et AM 2 1                 _ _   __ _   donc 1 2 2 1 2 2 2 0 AF AM ₂ i j ₂ k i j k. 1 ₀ 2 2 1 ₂            1 0 2 BC 1 et BM 2 0                  _ _   __ _   donc 0 -1 2 0 -1 1 BC BM ₂ i j ₂ k i k. 0 1 0 ₂          b) 2 2 AFM BCM 1 1 1 1 A AF AM 1 et A BC BM 1 2 2 2 2

          , il en résulte que les

triangles AFM et BCM ont la même aire.

3) a) 1 AG 1 1           donc



AF AM .AG



2 2 2 2         et 0 BG 1 1           donc



BCBM .BG



1. b) (M, A, F et G sont coplanaires) det AF, AM, AG





0 



AFAM .AG



0   0 M 0, 2, 0 2    __ __   (M et I sont confondus). c) Pour









AFMG BCMG 0, V V AF AM .AG BC BM .BG 1 1 ou 1                 M 0, 2,1 J ou M 0, 2, 1 . 2 2      __ __ __  __     Exercice 2 1) p A

 

9 0,3. 30   2) a) p B

 

 0, 65 et p

 

  1 p B

 

 0,35. b) p B

 

 0, 04 et p

 

  1 p B

 

 0,96.

Corrigé

(2)

c) B



BA







BA



donc

p B

 

p B



A



p B



A



p

 

 p A

 

p B

 

 p A

 

0,133.

3) Le nombre d’élèves consommateurs de drogues dans une classe de 30 élèves après la fin de la session est 0,133 30 3,99. Soit 4 élèves.

Exercice 3

1) a) La fonction f est dérivable sur 0, 2

    

  et pour tout x 0,2 , f

 

x sin x.

  _{ }

_ _  

 

b) Pour tout x 0, , f

 

x sin x 0 f



 

x 0 x 0 .



2



 _{ } _

_ _      

  Ainsi f est continue et

strictement décroissante sur _0, 2

    

  donc elle réalise une bijection de

0, 2       surf 0,2 f 2 , f 0

 

 

0,1 .      _   _   _ _  _{ }     

2) a) La fonction f est strictement décroissante et dérivable sur 0, 2       et f

 

x  sin x0pour toutx 0, 2   

 _ _, on en déduit que g est dérivable sur f 0,

 

0,1 . 2   _{ } _ _   b) Pour tout

 

 

_{ }

1 1

 

x 0,1 et y 0, , g x avec f y x cos y x 2 f y sin y    _  _ _          2 2 2 2 2

cos y x sin y 1 x sin y 1 x

        car sin y0(y 0, 2



 

 _ _).

Il en résulte que pour tout

 

 

2 1 x 0,1 , g x . 1 x      3) a) g 1 2 3         car 1 cos 3 2         et 3 g 2 6           car 3 cos . 6 2         b)

 

3 3 2 2 1 1 2 2 2 dx 1 3 g x dx g g . 2 2 6 1 x  _{ }       _{ } __ __     



Exercice 4

1) a) Le signe de f x

 

est donné dans le tableau suivant :

Le signe de g x

 

est donné dans le tableau suivant : x 0  

 

f x   x 0  

 

g x  

(3)

b) f

 

  0 e  1 et g

 

  0 e  1.   2) a)

 

x x 0 x 0 lim h x_ lim e_ ln x .       b)

 

x x x x x x x x h x e ln x e ln x

lim h x lim e ln x lim x et lim lim .

x x x x x           _  _        c) h

 

 e   ln 1     ln g

 

. 

d) La fonction h est dérivable sur



0,



et pour toutx



0,



, h x

 

ex 1 f x .

 

x



    

Le signe de h x

 

est celui de f x .

 

3) a) Pour toutx



0,



, f x

   

h x ex 1 ex ln x ln x 1 g x .

 

x x

         

b) Le signe de f x

   

h x est celui de g x .

 

c) Voir figure.

4) Pour a 0, MN f a

   

g a  h a

 

h a

 

car la fonction h est positive.

La distance MN est minimale si et seulement si h a

 

est minimale si et seulement si a  (D’après 2)d)). x 0  

 

h x   h   h

 

 x 0  

   

f x h x  

Position C_f est au dessous

deC_h

f

C est au dessus deC_h

(4)