Sommes de carrés : Arithmétique ou géométrie ?

Sommes de carrés : Arithmétique ou géométrie ?

Cyril Demarche

Sorbonne Université

4 février 2021

Cyril Demarche Sommes de carrés

Quelques mots de présentation

Je suis maître de conférence (donc enseignant-chercheur) en mathématiques, à Sorbonne Université.

Mon domaine de recherche est lagéométrie arithmétique.

Je travaille donc à l’interface entre l’arithmétique (ou la théorie des nombres entiers) et la géométrie (plus précisément, la géométrie algébrique).

Dans cet exposé, j’espère donner un aperçu de ce domaine.

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Quelques mots de présentation

Je suis maître de conférence (donc enseignant-chercheur) en mathématiques, à Sorbonne Université.

Mon domaine de recherche est lagéométrie arithmétique.

Je travaille donc à l’interface entre l’arithmétique (ou la théorie des nombres entiers) et la géométrie (plus précisément, la géométrie algébrique).

Dans cet exposé, j’espère donner un aperçu de ce domaine.

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Quelques mots de présentation

Je suis maître de conférence (donc enseignant-chercheur) en mathématiques, à Sorbonne Université.

Mon domaine de recherche est lagéométrie arithmétique.

Je travaille donc à l’interface entre l’arithmétique (ou la théorie des nombres entiers) et la géométrie (plus précisément, la géométrie algébrique).

Dans cet exposé, j’espère donner un aperçu de ce domaine.

Cyril Demarche Sommes de carrés

Quelques mots de présentation

Je suis maître de conférence (donc enseignant-chercheur) en mathématiques, à Sorbonne Université.

Mon domaine de recherche est lagéométrie arithmétique.

Je travaille donc à l’interface entre l’arithmétique (ou la théorie des nombres entiers) et la géométrie (plus précisément, la géométrie algébrique).

Dans cet exposé, j’espère donner un aperçu de ce domaine.

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Les équations diophantiennes

Depuis (au moins) l’antiquité grecque, les principaux objets d’étude de l’arithmétique sont les équations diophantiennes, à savoir les équations polynomiales à coefficients entiers :

P(x1, . . . ,xn) =0 avecP∈Z[X1, . . . ,Xn].

On peut naturellement généraliser à l’étude des systèmes d’équations diophantiennes.

Exemples :

1 a·x+b=0, aveca,b∈Zfixés.

2 a·x+b·y =c, avec a,b,c∈Zfixés.

3 x²+y²=z².

4 x²−d·y²=1, avecd ∈Zfixé.

5 y²=x³+a·x+b, avec a,b∈Zfixés.

6 xⁿ+yⁿ=zⁿ, avec n≥3 fixé.

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Les équations diophantiennes

Depuis (au moins) l’antiquité grecque, les principaux objets d’étude de l’arithmétique sont les équations diophantiennes, à savoir les équations polynomiales à coefficients entiers :

P(x1, . . . ,xn) =0 avecP∈Z[X1, . . . ,Xn].

On peut naturellement généraliser à l’étude des systèmes d’équations diophantiennes.

Exemples :

1 a·x+b=0, aveca,b∈Zfixés.

2 a·x+b·y =c, avec a,b,c∈Zfixés.

3 x²+y²=z².

4 x²−d·y²=1, avecd ∈Zfixé.

5 y²=x³+a·x+b, avec a,b∈Zfixés.

6 xⁿ+yⁿ=zⁿ, avec n≥3 fixé.

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Les équations diophantiennes

Depuis (au moins) l’antiquité grecque, les principaux objets d’étude de l’arithmétique sont les équations diophantiennes, à savoir les équations polynomiales à coefficients entiers :

P(x1, . . . ,xn) =0 avecP∈Z[X1, . . . ,Xn].

On peut naturellement généraliser à l’étude des systèmes d’équations diophantiennes.

Exemples :

1 a·x+b=0, aveca,b∈Zfixés.

2 a·x+b·y =c, avec a,b,c∈Zfixés.

3 x²+y²=z².

4 x²−d·y²=1, avecd ∈Zfixé.

5 y²=x³+a·x+b, avec a,b∈Zfixés.

6 xⁿ+yⁿ=zⁿ, avec n≥3 fixé.

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Les équations diophantiennes

Depuis (au moins) l’antiquité grecque, les principaux objets d’étude de l’arithmétique sont les équations diophantiennes, à savoir les équations polynomiales à coefficients entiers :

P(x1, . . . ,xn) =0 avecP∈Z[X1, . . . ,Xn].

On peut naturellement généraliser à l’étude des systèmes d’équations diophantiennes.

Exemples :

1 a·x+b=0, aveca,b∈Zfixés.

2 a·x+b·y =c, avec a,b,c∈Zfixés.

3 x²+y²=z².

4 x²−d·y²=1, avecd ∈Zfixé.

5 y²=x³+a·x+b, avec a,b∈Zfixés.

6 xⁿ+yⁿ=zⁿ, avec n≥3 fixé.

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Les équations diophantiennes

Depuis (au moins) l’antiquité grecque, les principaux objets d’étude de l’arithmétique sont les équations diophantiennes, à savoir les équations polynomiales à coefficients entiers :

P(x1, . . . ,xn) =0 avecP∈Z[X1, . . . ,Xn].

On peut naturellement généraliser à l’étude des systèmes d’équations diophantiennes.

Exemples :

1 a·x+b=0, aveca,b∈Zfixés.

2 a·x+b·y =c, avec a,b,c∈Zfixés.

3 x²+y²=z².

4 x²−d·y²=1, avecd ∈Zfixé.

5 y²=x³+a·x+b, avec a,b∈Zfixés.

6 xⁿ+yⁿ=zⁿ, avec n≥3 fixé.

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Les équations diophantiennes

Depuis (au moins) l’antiquité grecque, les principaux objets d’étude de l’arithmétique sont les équations diophantiennes, à savoir les équations polynomiales à coefficients entiers :

P(x1, . . . ,xn) =0 avecP∈Z[X1, . . . ,Xn].

On peut naturellement généraliser à l’étude des systèmes d’équations diophantiennes.

Exemples :

1 a·x+b=0, aveca,b∈Zfixés.

2 a·x+b·y =c, avec a,b,c∈Zfixés.

3 x²+y²=z².

4 x²−d·y²=1, avecd ∈Zfixé.

5 y²=x³+a·x+b, avec a,b∈Zfixés.

6 xⁿ+yⁿ=zⁿ, avec n≥3 fixé.

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Les équations diophantiennes

Depuis (au moins) l’antiquité grecque, les principaux objets d’étude de l’arithmétique sont les équations diophantiennes, à savoir les équations polynomiales à coefficients entiers :

P(x1, . . . ,xn) =0 avecP∈Z[X1, . . . ,Xn].

On peut naturellement généraliser à l’étude des systèmes d’équations diophantiennes.

Exemples :

1 a·x+b=0, aveca,b∈Zfixés.

2 a·x+b·y =c, avec a,b,c∈Zfixés.

3 x²+y²=z².

4 x²−d·y²=1, avecd ∈Zfixé.

5 y²=x³+a·x+b, avec a,b∈Zfixés.

6 xⁿ+yⁿ=zⁿ, avec n≥3 fixé.

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Les équations diophantiennes

Depuis (au moins) l’antiquité grecque, les principaux objets d’étude de l’arithmétique sont les équations diophantiennes, à savoir les équations polynomiales à coefficients entiers :

P(x1, . . . ,xn) =0 avecP∈Z[X1, . . . ,Xn].

On peut naturellement généraliser à l’étude des systèmes d’équations diophantiennes.

Exemples :

1 a·x+b=0, aveca,b∈Zfixés.

2 a·x+b·y =c, avec a,b,c∈Zfixés.

3 x²+y²=z².

4 x²−d·y²=1, avecd ∈Zfixé.

5 y²=x³+a·x+b, avec a,b∈Zfixés.

6 xⁿ+yⁿ=zⁿ, avec n≥3 fixé.

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Les équations diophantiennes

Depuis (au moins) l’antiquité grecque, les principaux objets d’étude de l’arithmétique sont les équations diophantiennes, à savoir les équations polynomiales à coefficients entiers :

P(x1, . . . ,xn) =0 avecP∈Z[X1, . . . ,Xn].

On peut naturellement généraliser à l’étude des systèmes d’équations diophantiennes.

Exemples :

1 a·x+b=0, aveca,b∈Zfixés.

2 a·x+b·y =c, avec a,b,c∈Zfixés.

3 x²+y²=z².

4 x²−d·y²=1, avecd ∈Zfixé.

5 y²=x³+a·x+b, avec a,b∈Zfixés.

6 xⁿ+yⁿ=zⁿ, avec n≥3 fixé.

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Les équations diophantiennes

Depuis (au moins) l’antiquité grecque, les principaux objets d’étude de l’arithmétique sont les équations diophantiennes, à savoir les équations polynomiales à coefficients entiers :

P(x1, . . . ,xn) =0 avecP∈Z[X1, . . . ,Xn].

On peut naturellement généraliser à l’étude des systèmes d’équations diophantiennes.

Exemples :

1 a·x+b=0, aveca,b∈Zfixés.

2 a·x+b·y =c, avec a,b,c∈Zfixés.

3 x²+y²=z².

4 x²−d·y²=1, avecd ∈Zfixé.

5 y²=x³+a·x+b, avec a,b∈Zfixés.

6 xⁿ+yⁿ=zⁿ, avec n≥3 fixé.

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Questions

Les questions naturelles que l’on se pose face aux équations diophantiennes sont notamment les suivantes :

Questions

1 L’équation a-t-elle des solutionsentières?

2 L’équation a-t-elle des solutionsrationnelles?

3 Peut-on décrire explicitement toutes les solutions entières (resp. rationnelles) ?

4 Existe-t-il desalgorithmesrépondant aux questions précédentes ?

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Questions

Les questions naturelles que l’on se pose face aux équations diophantiennes sont notamment les suivantes :

Questions

1 L’équation a-t-elle des solutionsentières?

2 L’équation a-t-elle des solutionsrationnelles?

3 Peut-on décrire explicitement toutes les solutions entières (resp. rationnelles) ?

4 Existe-t-il desalgorithmesrépondant aux questions précédentes ?

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Questions

Les questions naturelles que l’on se pose face aux équations diophantiennes sont notamment les suivantes :

Questions

1 L’équation a-t-elle des solutionsentières?

2 L’équation a-t-elle des solutionsrationnelles?

3 Peut-on décrire explicitement toutes les solutions entières (resp. rationnelles) ?

4 Existe-t-il desalgorithmesrépondant aux questions précédentes ?

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Questions

Les questions naturelles que l’on se pose face aux équations diophantiennes sont notamment les suivantes :

Questions

1 L’équation a-t-elle des solutionsentières?

2 L’équation a-t-elle des solutionsrationnelles?

3 Peut-on décrire explicitement toutes les solutions entières (resp. rationnelles) ?

4 Existe-t-il desalgorithmesrépondant aux questions précédentes ?

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Questions

Les questions naturelles que l’on se pose face aux équations diophantiennes sont notamment les suivantes :

Questions

1 L’équation a-t-elle des solutionsentières?

2 L’équation a-t-elle des solutionsrationnelles?

3 Peut-on décrire explicitement toutes les solutions entières (resp.

rationnelles) ?

4 Existe-t-il desalgorithmesrépondant aux questions précédentes ?

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Questions

Les questions naturelles que l’on se pose face aux équations diophantiennes sont notamment les suivantes :

Questions

1 L’équation a-t-elle des solutionsentières?

2 L’équation a-t-elle des solutionsrationnelles?

3 Peut-on décrire explicitement toutes les solutions entières (resp.

rationnelles) ?

4 Existe-t-il desalgorithmesrépondant aux questions précédentes ?

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À quoi ça sert ?

1 Ce sont des problèmes anciens, naturels, extrêmement simples à formuler, et en général très difficiles à résoudre : c’est donc intéressant, amusant, énervant . . .

2 Utile pour faire ses courses : comment payer 100 euros avec des pièces de 6 et 15 euros ?

3 Briller en société en écrivant 2021 comme une somme de trois ou quatre carrés ; ou en écrivant 42 comme une somme de trois cubes ; ou en résolvant ces problèmes :

4 Crypter ses messages via des courbes elliptiques par exemple.

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À quoi ça sert ?

1 Ce sont des problèmes anciens, naturels, extrêmement simples à formuler, et en général très difficiles à résoudre : c’est donc intéressant, amusant, énervant . . .

2 Utile pour faire ses courses : comment payer 100 euros avec des pièces de 6 et 15 euros ?

3 Briller en société en écrivant 2021 comme une somme de trois ou quatre carrés ; ou en écrivant 42 comme une somme de trois cubes ; ou en résolvant ces problèmes :

4 Crypter ses messages via des courbes elliptiques par exemple.

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À quoi ça sert ?

1 Ce sont des problèmes anciens, naturels, extrêmement simples à formuler, et en général très difficiles à résoudre : c’est donc intéressant, amusant, énervant . . .

2 Utile pour faire ses courses : comment payer 100 euros avec des pièces de 6 et 15 euros ?

3 Briller en société en écrivant 2021 comme une somme de trois ou quatre carrés ; ou en écrivant 42 comme une somme de trois cubes ; ou en résolvant ces problèmes :

4 Crypter ses messages via des courbes elliptiques par exemple.

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À quoi ça sert ?

1 Ce sont des problèmes anciens, naturels, extrêmement simples à formuler, et en général très difficiles à résoudre : c’est donc intéressant, amusant, énervant . . .

2 Utile pour faire ses courses : comment payer 100 euros avec des pièces de 6 et 15 euros ?

3 Briller en société en écrivant 2021 comme une somme de trois ou quatre carrés ; ou en écrivant 42 comme une somme de trois cubes ; ou en résolvant ces problèmes :

4 Crypter ses messages via des courbes elliptiques par exemple.

Cyril Demarche Sommes de carrés

À quoi ça sert ?

1 Ce sont des problèmes anciens, naturels, extrêmement simples à formuler, et en général très difficiles à résoudre : c’est donc intéressant, amusant, énervant . . .

2 Utile pour faire ses courses : comment payer 100 euros avec des pièces de 6 et 15 euros ?

3 Briller en société en écrivant 2021 comme une somme de trois ou quatre carrés ; ou en écrivant 42 comme une somme de trois cubes ; ou en résolvant ces problèmes :

4 Crypter ses messages via des courbes elliptiques par exemple.

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Au travail : on commence calmement

Les équations diophantiennes enune variablesont faciles à résoudre dans Z:

SiP(X) =an·Xⁿ+· · ·+a0∈C[X], alors tout racinez ∈Cvérifie

|z| ≤1+ max{^|a_|a^k|

n|;0≤k <n}. Ou encore, si lesai sont entiers, toute racinez ∈Zdivisea0.

D’où unalgorithmeévident pour trouver les solutions entières (ou rationnelles) deP(x) =0.

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Au travail : on commence calmement

Les équations diophantiennes enune variablesont faciles à résoudre dans Z:

SiP(X) =an·Xⁿ+· · ·+a0∈C[X], alors tout racinez ∈Cvérifie

|z| ≤1+ max{^|a_|a^k|

n|;0≤k <n}. Ou encore, si lesai sont entiers, toute racinez ∈Zdivisea0.

D’où unalgorithmeévident pour trouver les solutions entières (ou rationnelles) deP(x) =0.

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Au travail : on commence calmement

Les équations diophantiennes enune variablesont faciles à résoudre dans Z:

SiP(X) =an·Xⁿ+· · ·+a0∈C[X], alors tout racinez ∈Cvérifie

|z| ≤1+ max{^|a_|a^k|

n|;0≤k <n}.

Ou encore, si lesai sont entiers, toute racinez ∈Zdivisea0.

D’où unalgorithmeévident pour trouver les solutions entières (ou rationnelles) deP(x) =0.

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Au travail : on commence calmement

Les équations diophantiennes enune variablesont faciles à résoudre dans Z:

SiP(X) =an·Xⁿ+· · ·+a0∈C[X], alors tout racinez ∈Cvérifie

|z| ≤1+ max{^|a_|a^k|

n|;0≤k <n}. Ou encore, si lesai sont entiers, toute racinez ∈Zdivisea0.

D’où unalgorithmeévident pour trouver les solutions entières (ou rationnelles) deP(x) =0.

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Au travail : on commence calmement

Les équations diophantiennes enune variablesont faciles à résoudre dans Z:

SiP(X) =an·Xⁿ+· · ·+a0∈C[X], alors tout racinez ∈Cvérifie

|z| ≤1+ max{^|a_|a^k|

n|;0≤k <n}. Ou encore, si lesai sont entiers, toute racinez ∈Zdivisea0.

D’où unalgorithmeévident pour trouver les solutions entières (ou rationnelles) deP(x) =0.

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Degré 1

Regardons maintenant les équations diophantiennes dedegré 1enn≥2 variables.

Le cas den=2 variablesest le suivant :

a·x+b·y =c, a,b,c∈Z.

L’algorithme d’Euclidepermet de calculer le PGCDd de aetb, ainsi qu’une relation de Bézout de la formea·u+b·v=d.

On a alors résolu complètement l’équation en deux variables.

Remarque :On constate que cette équation a une solution dansZsi et seulement si elle a unesolution modulod.

Remarquons également que cela revient essentiellement à résoudre des systèmes de congruences de la forme

z ≡α[a] z ≡β [b] .

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Degré 1

Regardons maintenant les équations diophantiennes dedegré 1enn≥2 variables.

Le cas den=2 variablesest le suivant :

a·x+b·y =c, a,b,c∈Z.

L’algorithme d’Euclidepermet de calculer le PGCDd de aetb, ainsi qu’une relation de Bézout de la formea·u+b·v=d.

On a alors résolu complètement l’équation en deux variables.

Remarque :On constate que cette équation a une solution dansZsi et seulement si elle a unesolution modulod.

Remarquons également que cela revient essentiellement à résoudre des systèmes de congruences de la forme

z ≡α[a] z ≡β [b] .

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Degré 1

Regardons maintenant les équations diophantiennes dedegré 1enn≥2 variables.

Le cas den=2 variablesest le suivant :

a·x+b·y =c, a,b,c∈Z.

L’algorithme d’Euclidepermet de calculer le PGCDd de aetb, ainsi qu’une relation de Bézout de la formea·u+b·v=d.

On a alors résolu complètement l’équation en deux variables.

Remarque :On constate que cette équation a une solution dansZsi et seulement si elle a unesolution modulod.

Remarquons également que cela revient essentiellement à résoudre des systèmes de congruences de la forme

z ≡α[a] z ≡β [b] .

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Degré 1

Regardons maintenant les équations diophantiennes dedegré 1enn≥2 variables.

Le cas den=2 variablesest le suivant :

a·x+b·y =c, a,b,c∈Z.

L’algorithme d’Euclidepermet de calculer le PGCDd de aetb, ainsi qu’une relation de Bézout de la formea·u+b·v=d.

On a alors résolu complètement l’équation en deux variables.

Remarque :On constate que cette équation a une solution dansZsi et seulement si elle a unesolution modulod.

Remarquons également que cela revient essentiellement à résoudre des systèmes de congruences de la forme

z ≡α[a] z ≡β [b] .

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Regardons maintenant les équations diophantiennes dedegré 1enn≥2 variables.

Le cas den=2 variablesest le suivant :

a·x+b·y =c, a,b,c∈Z.

L’algorithme d’Euclidepermet de calculer le PGCDd de aetb, ainsi qu’une relation de Bézout de la formea·u+b·v=d.

On a alors résolu complètement l’équation en deux variables.

Remarque :On constate que cette équation a une solution dansZsi et seulement si elle a unesolution modulod.

Remarquons également que cela revient essentiellement à résoudre des systèmes de congruences de la forme

z ≡α[a] z ≡β [b] .

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Regardons maintenant les équations diophantiennes dedegré 1enn≥2 variables.

Le cas den=2 variablesest le suivant :

a·x+b·y =c, a,b,c∈Z.

L’algorithme d’Euclidepermet de calculer le PGCDd de aetb, ainsi qu’une relation de Bézout de la formea·u+b·v=d.

On a alors résolu complètement l’équation en deux variables.

Remarque :On constate que cette équation a une solution dansZsi et seulement si elle a unesolution modulod.

Remarquons également que cela revient essentiellement à résoudre des systèmes de congruences de la forme

z ≡α[a] z ≡β [b] .

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Degré 1

Regardons maintenant les équations diophantiennes dedegré 1enn≥2 variables.

Le cas den=2 variablesest le suivant :

a·x+b·y =c, a,b,c∈Z.

L’algorithme d’Euclidepermet de calculer le PGCDd de aetb, ainsi qu’une relation de Bézout de la formea·u+b·v=d.

On a alors résolu complètement l’équation en deux variables.

Remarque :On constate que cette équation a une solution dansZsi et seulement si elle a unesolution modulod.

Remarquons également que cela revient essentiellement à résoudre des systèmes de congruences de la forme

z ≡α[a]

z ≡β [b] .

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Un petit exemple

Exemple

1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?

Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.

La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100. Il y a donc un problème modulo 3.

2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution

6·99+15·(−33) =99.

Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.

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Un petit exemple

Exemple

1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?

Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.

La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100. Il y a donc un problème modulo 3.

2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution

6·99+15·(−33) =99.

Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.

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Un petit exemple

Exemple

1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?

Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.

La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100. Il y a donc un problème modulo 3.

2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution

6·99+15·(−33) =99.

Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.

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Un petit exemple

Exemple

1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?

Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.

La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100.

Il y a donc un problème modulo 3.

2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution

6·99+15·(−33) =99.

Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.

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Un petit exemple

Exemple

1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?

Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.

La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100.

Il y a donc un problème modulo 3.

2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution

6·99+15·(−33) =99.

Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.

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Un petit exemple

Exemple

1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?

Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.

La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100.

Il y a donc un problème modulo 3.

2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions :

Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution

6·99+15·(−33) =99.

Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.

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Un petit exemple

Exemple

1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?

Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.

La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100.

Il y a donc un problème modulo 3.

2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3,

Donc en multipliant par33, on trouve la solution 6·99+15·(−33) =99.

Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.

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Un petit exemple

Exemple

1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?

Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.

La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100.

Il y a donc un problème modulo 3.

2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution

6·99+15·(−33) =99.

Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.

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Un petit exemple

Exemple

1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?

Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.

La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100.

Il y a donc un problème modulo 3.

2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution

6·99+15·(−33) =99.

Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.

Cyril Demarche Sommes de carrés

Généralisation

Le cas d’un système d’équations de degré 1 ennvariables est similaire.

L’équation s’écritA·X =B, avec Aune matrice à coefficients entiers et B un vecteur à coordonnées entières.

En faisant un pivot de Gauss "à coefficients entiers" sur la matriceA, on peut résoudre complètement ces systèmes d’équations diophantiennes de degré 1.

Là encore, le système a des solutions entières si et seulement si quelques conditions modulo des entiers explicites sont vérifiées.

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Généralisation

Le cas d’un système d’équations de degré 1 ennvariables est similaire.

L’équation s’écritA·X =B, avec Aune matrice à coefficients entiers et B un vecteur à coordonnées entières.

En faisant un pivot de Gauss "à coefficients entiers" sur la matriceA, on peut résoudre complètement ces systèmes d’équations diophantiennes de degré 1.

Là encore, le système a des solutions entières si et seulement si quelques conditions modulo des entiers explicites sont vérifiées.

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Généralisation

Le cas d’un système d’équations de degré 1 ennvariables est similaire.

L’équation s’écritA·X =B, avec Aune matrice à coefficients entiers et B un vecteur à coordonnées entières.

En faisant un pivot de Gauss "à coefficients entiers" sur la matriceA, on peut résoudre complètement ces systèmes d’équations diophantiennes de degré 1.

Là encore, le système a des solutions entières si et seulement si quelques conditions modulo des entiers explicites sont vérifiées.

Cyril Demarche Sommes de carrés

Généralisation

Le cas d’un système d’équations de degré 1 ennvariables est similaire.

L’équation s’écritA·X =B, avec Aune matrice à coefficients entiers et B un vecteur à coordonnées entières.

En faisant un pivot de Gauss "à coefficients entiers" sur la matriceA, on peut résoudre complètement ces systèmes d’équations diophantiennes de degré 1.

Là encore, le système a des solutions entières si et seulement si quelques conditions modulo des entiers explicites sont vérifiées.

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Les choses sérieuses

Le degré 1 étant "facile", on peut maintenant passer audegré 2.

La situation est plus intéressante. Commençons par quelques exemples. Exemple (Les triplets pythagoriciens)

Le problème consiste à déterminer tous les triangles rectangles dont les trois côtés ont des longueurs entières.

Autrement dit, on cherche les solutions entières dex²+y²=z².

On peut résoudre cette équation par l’arithmétique, mais on ne comprend pas vraiment ce qui se passe. Il est plus éclairant de faire appel à la géométrie.

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Les choses sérieuses

Le degré 1 étant "facile", on peut maintenant passer audegré 2.

La situation est plus intéressante. Commençons par quelques exemples.

Exemple (Les triplets pythagoriciens)

Le problème consiste à déterminer tous les triangles rectangles dont les trois côtés ont des longueurs entières.

Autrement dit, on cherche les solutions entières dex²+y²=z².

On peut résoudre cette équation par l’arithmétique, mais on ne comprend pas vraiment ce qui se passe. Il est plus éclairant de faire appel à la géométrie.

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Les choses sérieuses

Le degré 1 étant "facile", on peut maintenant passer audegré 2.

La situation est plus intéressante. Commençons par quelques exemples.

Exemple (Les triplets pythagoriciens)

Le problème consiste à déterminer tous les triangles rectangles dont les trois côtés ont des longueurs entières.

Autrement dit, on cherche les solutions entières dex²+y²=z².

On peut résoudre cette équation par l’arithmétique, mais on ne comprend pas vraiment ce qui se passe. Il est plus éclairant de faire appel à la géométrie.

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Les choses sérieuses

Le degré 1 étant "facile", on peut maintenant passer audegré 2.

La situation est plus intéressante. Commençons par quelques exemples.

Exemple (Les triplets pythagoriciens)

Le problème consiste à déterminer tous les triangles rectangles dont les trois côtés ont des longueurs entières.

Autrement dit, on cherche les solutions entières dex²+y²=z².

On peut résoudre cette équation par l’arithmétique, mais on ne comprend pas vraiment ce qui se passe. Il est plus éclairant de faire appel à la géométrie.

Cyril Demarche Sommes de carrés

Les choses sérieuses

Le degré 1 étant "facile", on peut maintenant passer audegré 2.

La situation est plus intéressante. Commençons par quelques exemples.

Exemple (Les triplets pythagoriciens)

Le problème consiste à déterminer tous les triangles rectangles dont les trois côtés ont des longueurs entières.

Autrement dit, on cherche les solutions entières dex²+y²=z².

On peut résoudre cette équation par l’arithmétique, mais on ne comprend pas vraiment ce qui se passe.

Il est plus éclairant de faire appel à la géométrie.

Cyril Demarche Sommes de carrés

Les choses sérieuses

Le degré 1 étant "facile", on peut maintenant passer audegré 2.

La situation est plus intéressante. Commençons par quelques exemples.

Exemple (Les triplets pythagoriciens)

Le problème consiste à déterminer tous les triangles rectangles dont les trois côtés ont des longueurs entières.

Autrement dit, on cherche les solutions entières dex²+y²=z².

On peut résoudre cette équation par l’arithmétique, mais on ne comprend pas vraiment ce qui se passe. Il est plus éclairant de faire appel à la géométrie.

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Les triplets pythagoriciens

Tablette babylonienne Plimpton 322, Mésopotamie (Irak actuel), vers

−1800:

Cette tablette contient entre autres une quinzaine de triplets pythagoriciens, donc par exemple :

12709²+13500²=18541².

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Les triplets pythagoriciens

Tablette babylonienne Plimpton 322, Mésopotamie (Irak actuel), vers

−1800:

Cette tablette contient entre autres une quinzaine de triplets pythagoriciens, donc par exemple :

12709²+13500²=18541².

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Les triplets pythagoriciens

Tablette babylonienne Plimpton 322, Mésopotamie (Irak actuel), vers

−1800:

Cette tablette contient entre autres une quinzaine de triplets pythagoriciens, donc par exemple :

12709²+13500²=18541².

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Les triplets pythagoriciens

Tablette babylonienne Plimpton 322, Mésopotamie (Irak actuel), vers

−1800:

Cette tablette contient entre autres une quinzaine de triplets pythagoriciens, donc par exemple :

12709²+13500²=18541².

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Les triplets pythagoriciens

Tablette babylonienne Plimpton 322, Mésopotamie (Irak actuel), vers

−1800:

Cette tablette contient entre autres une quinzaine de triplets pythagoriciens, donc par exemple :

12709²+13500²=18541².

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Les triplets pythagoriciens

Pour trouver les solutions entières dex²+y²=z², on voit facilement que cela revient à trouver les solutions rationnelles deX²+Y²=1(en divisant parz²).

Géométriquement, on cherche donc les points à coordonnées rationnelles sur lecercleunité C:

X Y

C

Cyril Demarche Sommes de carrés

Les triplets pythagoriciens

Pour trouver les solutions entières dex²+y²=z², on voit facilement que cela revient à trouver les solutions rationnelles deX²+Y²=1(en divisant parz²).

Géométriquement, on cherche donc les points à coordonnées rationnelles sur lecercleunité C:

X Y

C

Cyril Demarche Sommes de carrés

Les triplets pythagoriciens

Pour trouver les solutions entières dex²+y²=z², on voit facilement que cela revient à trouver les solutions rationnelles deX²+Y²=1(en divisant parz²).

Géométriquement, on cherche donc les points à coordonnées rationnelles sur lecercleunitéC :

X Y

C

Cyril Demarche Sommes de carrés

Les triplets pythagoriciens

Pour trouver les solutions entières dex²+y²=z², on voit facilement que cela revient à trouver les solutions rationnelles deX²+Y²=1(en divisant parz²).

Géométriquement, on cherche donc les points à coordonnées rationnelles sur lecercleunitéC :

X Y

C

Cyril Demarche Sommes de carrés

Géométrie du problème de Pythagore

Avec ce point de vue, la résolution du problème de Pythagore est immédiate, car géométriquementun cercle est "presque" une droite . . .

C’est la notion de projection stéréographique : on peut projeter le cercle, depuis l’un de ses pointsP, sur une droiteD:

x y

D

P

M(1,2t) Q(x,y)

∆ C

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Géométrie du problème de Pythagore

Avec ce point de vue, la résolution du problème de Pythagore est immédiate, car géométriquementun cercle est "presque" une droite . . . C’est la notion de projection stéréographique : on peut projeter le cercle, depuis l’un de ses pointsP, sur une droiteD:

x y

D

P

M(1,2t) Q(x,y)

∆ C

Cyril Demarche Sommes de carrés

Géométrie du problème de Pythagore

Avec ce point de vue, la résolution du problème de Pythagore est immédiate, car géométriquementun cercle est "presque" une droite . . . C’est la notion de projection stéréographique : on peut projeter le cercle, depuis l’un de ses pointsP, sur une droiteD:

x y

D

P

M(1,2t) Q(x,y)

∆

C

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Géométrie du problème de Pythagore

Avec ce point de vue, la résolution du problème de Pythagore est immédiate, car géométriquementun cercle est "presque" une droite . . . C’est la notion de projection stéréographique : on peut projeter le cercle, depuis l’un de ses pointsP, sur une droiteD:

x

y D

P

M(1,2t) Q(x,y)

∆

C

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Géométrie du problème de Pythagore

Avec ce point de vue, la résolution du problème de Pythagore est immédiate, car géométriquementun cercle est "presque" une droite . . . C’est la notion de projection stéréographique : on peut projeter le cercle, depuis l’un de ses pointsP, sur une droiteD:

x

y D

P

M(1,2t)

Q(x,y)

∆

C

Cyril Demarche Sommes de carrés

Géométrie du problème de Pythagore

Avec ce point de vue, la résolution du problème de Pythagore est immédiate, car géométriquementun cercle est "presque" une droite . . . C’est la notion de projection stéréographique : on peut projeter le cercle, depuis l’un de ses pointsP, sur une droiteD:

x

y D

P

M(1,2t)

Q(x,y)

∆ C

Cyril Demarche Sommes de carrés

Géométrie du problème de Pythagore

Avec ce point de vue, la résolution du problème de Pythagore est immédiate, car géométriquementun cercle est "presque" une droite . . . C’est la notion de projection stéréographique : on peut projeter le cercle, depuis l’un de ses pointsP, sur une droiteD:

x

y D

P

M(1,2t) Q(x,y)

∆ C

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Algébriquement

On a construit une bijection

C \ {P} −→ D Q(x,y) 7−→ M(1,2t) qui s’écrit facilement en coordonnées :







t =_x+1^y x= ^1−t_1+t2²

y =_1+t^2t2

.

En particulier, la bijection fait correspondre les points à coordonnées rationnelles deC \ {P} et ceux à coordonnées rationnelles deD. Un point à coordonnées(x,y)rationnelles deC \ {P}s’écrit donc, de façon unique, sous la forme

(

x =^1−t_1+t²2

y =_1+t^2t2

,

oùt∈Q.

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Algébriquement

On a construit une bijection

C \ {P} −→ D Q(x,y) 7−→ M(1,2t) qui s’écrit facilement en coordonnées :







t =_x+1^y x= ^1−t_1+t2²

y =_1+t^2t2

.

En particulier, la bijection fait correspondre les points à coordonnées rationnelles deC \ {P} et ceux à coordonnées rationnelles deD. Un point à coordonnées(x,y)rationnelles deC \ {P}s’écrit donc, de façon unique, sous la forme

(

x =^1−t_1+t²2

y =_1+t^2t2

,

oùt∈Q.

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Algébriquement

On a construit une bijection

C \ {P} −→ D Q(x,y) 7−→ M(1,2t) qui s’écrit facilement en coordonnées :







t =_x+1^y x= ^1−t_1+t2²

y =_1+t^2t2

.

En particulier, la bijection fait correspondre les points à coordonnées rationnelles deC \ {P} et ceux à coordonnées rationnelles deD. Un point à coordonnées(x,y)rationnelles deC \ {P}s’écrit donc, de façon unique, sous la forme

(

x =^1−t_1+t²2

y =_1+t^2t2

,

oùt∈Q.

Cyril Demarche Sommes de carrés

Algébriquement

On a construit une bijection

C \ {P} −→ D Q(x,y) 7−→ M(1,2t) qui s’écrit facilement en coordonnées :







t =_x+1^y x= ^1−t_1+t2²

y =_1+t^2t2

.

En particulier, la bijection fait correspondre les points à coordonnées rationnelles deC \ {P} et ceux à coordonnées rationnelles deD.

Un point à coordonnées(x,y)rationnelles deC \ {P}s’écrit donc, de façon unique, sous la forme

(

x =^1−t_1+t²2

y =_1+t^2t2

,

oùt∈Q.

Cyril Demarche Sommes de carrés

Algébriquement

On a construit une bijection

C \ {P} −→ D Q(x,y) 7−→ M(1,2t) qui s’écrit facilement en coordonnées :







t =_x+1^y x= ^1−t_1+t2²

y =_1+t^2t2

.

En particulier, la bijection fait correspondre les points à coordonnées rationnelles deC \ {P} et ceux à coordonnées rationnelles deD.

Un point à coordonnées(x,y)rationnelles deC \ {P}s’écrit donc, de façon unique, sous la forme

(

x= ^1−t_1+t²2

y =_1+t^2t2

,

oùt∈Q.

Cyril Demarche Sommes de carrés

Solution au problème de Pythagore

Tout point rationnel(x,y)deC est donc donné par une fractiont= ^u_v telle que

(

x =^1−t_1+t²2

y =_1+t^2t2

.

Finalement, en chassant les dénominateurs, on trouve que les triplets d’entiers(a,b,c)vérifianta²+b²=c²sont exactement les entiers de la forme







a=d(v²−u²) b=2duv c=d(u²+v²)

,

oùu,v,d sont trois entiers quelconques,u≥0,d6=0,u etv premiers entre eux et de parité différente.

Quelques exemples avecd =1 :

(u,v) = (1,2)donne le triplet(3,4,5).

(u,v) = (54,125)donne le triplet babylonien(12709,13500,18541). (u,v) = (314,1729)donne le triplet(2890845,1085812,3088037)et la jolie formule

2890845²+1085812²=3088037².

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Solution au problème de Pythagore

Tout point rationnel(x,y)deC est donc donné par une fractiont = ^u_v telle que

(

x= ^1−t_1+t²2

y =_1+t^2t2

.

Finalement, en chassant les dénominateurs, on trouve que les triplets d’entiers(a,b,c)vérifianta²+b²=c²sont exactement les entiers de la forme







a=d(v²−u²) b=2duv c=d(u²+v²)

,

oùu,v,d sont trois entiers quelconques,u≥0,d6=0,u etv premiers entre eux et de parité différente.

Quelques exemples avecd =1 :

(u,v) = (1,2)donne le triplet(3,4,5).

(u,v) = (54,125)donne le triplet babylonien(12709,13500,18541). (u,v) = (314,1729)donne le triplet(2890845,1085812,3088037)et la jolie formule

2890845²+1085812²=3088037².

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Solution au problème de Pythagore

Tout point rationnel(x,y)deC est donc donné par une fractiont = ^u_v telle que

(

x= ^1−t_1+t²2

y =_1+t^2t2

.

Finalement, en chassant les dénominateurs, on trouve que les triplets d’entiers(a,b,c)vérifianta²+b²=c²sont exactement les entiers de la forme







a=d(v²−u²) b=2duv c=d(u²+v²)

,

oùu,v,d sont trois entiers quelconques,u≥0,d6=0,u etv premiers entre eux et de parité différente.

Quelques exemples avecd =1 :

(u,v) = (1,2)donne le triplet(3,4,5).

(u,v) = (54,125)donne le triplet babylonien(12709,13500,18541). (u,v) = (314,1729)donne le triplet(2890845,1085812,3088037)et la jolie formule

2890845²+1085812²=3088037².

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Solution au problème de Pythagore

Tout point rationnel(x,y)deC est donc donné par une fractiont = ^u_v telle que

(

x= ^1−t_1+t²2

y =_1+t^2t2

.

Finalement, en chassant les dénominateurs, on trouve que les triplets d’entiers(a,b,c)vérifianta²+b²=c²sont exactement les entiers de la forme







a=d(v²−u²) b=2duv c=d(u²+v²)

,

oùu,v,d sont trois entiers quelconques,u≥0,d6=0,u etv premiers entre eux et de parité différente.

Quelques exemples avecd =1 :

(u,v) = (1,2)donne le triplet(3,4,5).

(u,v) = (54,125)donne le triplet babylonien(12709,13500,18541). (u,v) = (314,1729)donne le triplet(2890845,1085812,3088037)et la jolie formule

2890845²+1085812²=3088037².

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Solution au problème de Pythagore

Tout point rationnel(x,y)deC est donc donné par une fractiont = ^u_v telle que

(

x= ^1−t_1+t²2

y =_1+t^2t2

.

Finalement, en chassant les dénominateurs, on trouve que les triplets d’entiers(a,b,c)vérifianta²+b²=c²sont exactement les entiers de la forme







a=d(v²−u²) b=2duv c=d(u²+v²)

,

oùu,v,d sont trois entiers quelconques,u≥0,d6=0,u etv premiers entre eux et de parité différente.

Quelques exemples avecd =1 :

(u,v) = (1,2)donne le triplet(3,4,5).

(u,v) = (54,125)donne le triplet babylonien(12709,13500,18541).

(u,v) = (314,1729)donne le triplet(2890845,1085812,3088037)et la jolie formule

2890845²+1085812²=3088037².

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Solution au problème de Pythagore

Tout point rationnel(x,y)deC est donc donné par une fractiont = ^u_v telle que

(

x= ^1−t_1+t²2

y =_1+t^2t2

.

Finalement, en chassant les dénominateurs, on trouve que les triplets d’entiers(a,b,c)vérifianta²+b²=c²sont exactement les entiers de la forme







a=d(v²−u²) b=2duv c=d(u²+v²)

,

oùu,v,d sont trois entiers quelconques,u≥0,d6=0,u etv premiers entre eux et de parité différente.

Quelques exemples avecd =1 :

(u,v) = (1,2)donne le triplet(3,4,5).

(u,v) = (54,125)donne le triplet babylonien(12709,13500,18541).

(u,v) = (314,1729)donne le triplet(2890845,1085812,3088037)et la jolie formule

2890845²+1085812²=3088037².

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En passant . . .

La description des triplets pythagoriciens a pour conséquence immédiate (via un argument de descente) :

Théorème

L’équationx⁴+y⁴=z² n’admet aucune solution en nombres entiers non nuls.

Cyril Demarche Sommes de carrés

En passant . . .

La description des triplets pythagoriciens a pour conséquence immédiate (via un argument de descente) :

Théorème

L’équationx⁴+y⁴=z² n’admet aucune solution en nombres entiers non nuls.

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Généralisation de l’argument géométrique

Les points clés dans la preuve précédente sont les suivants : l’équation diophantienne admetune solution(le pointP de la figure).

Toute droitepassant par Pcoupe la courbeC enun unique autre point, lui aussi à coordonnées rationnelles.

On voit que le second point se généralise sans trop de difficulté à toutes les équationsQ=0, avecQ polynôme homogène de degré 2enn≥3 variables, de la forme

Q(x1, . . . ,xn) = X

1≤i,j≤n

ai,j·Xi·Xj.

En effet, si on part d’une solutionx∈Qⁿ\ {0}, pour tout vecteur

~v∈Qⁿ\ {0}, l’équationQ(x+t~v) =0, d’inconnuet∈Q, esten général de degré 2, et admett=0 comme première racine.

Cette équation admet donc une seconde racinet0∈Q, donc une nouvelle solutionx+t₀~v∈Qⁿ de l’équationQ=0.

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Généralisation de l’argument géométrique

Les points clés dans la preuve précédente sont les suivants :

l’équation diophantienne admetune solution(le pointP de la figure).

Toute droitepassant par Pcoupe la courbeC enun unique autre point, lui aussi à coordonnées rationnelles.

On voit que le second point se généralise sans trop de difficulté à toutes les équationsQ=0, avecQ polynôme homogène de degré 2enn≥3 variables, de la forme

Q(x1, . . . ,xn) = X

1≤i,j≤n

ai,j·Xi·Xj.

En effet, si on part d’une solutionx∈Qⁿ\ {0}, pour tout vecteur

~v∈Qⁿ\ {0}, l’équationQ(x+t~v) =0, d’inconnuet∈Q, esten général de degré 2, et admett=0 comme première racine.

Cette équation admet donc une seconde racinet0∈Q, donc une nouvelle solutionx+t₀~v∈Qⁿ de l’équationQ=0.

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Généralisation de l’argument géométrique

Les points clés dans la preuve précédente sont les suivants : l’équation diophantienne admetune solution(le pointP de la figure).

Toute droitepassant par Pcoupe la courbeC enun unique autre point, lui aussi à coordonnées rationnelles.

On voit que le second point se généralise sans trop de difficulté à toutes les équationsQ=0, avecQ polynôme homogène de degré 2enn≥3 variables, de la forme

Q(x1, . . . ,xn) = X

1≤i,j≤n

ai,j·Xi·Xj.

En effet, si on part d’une solutionx∈Qⁿ\ {0}, pour tout vecteur

~v∈Qⁿ\ {0}, l’équationQ(x+t~v) =0, d’inconnuet∈Q, esten général de degré 2, et admett=0 comme première racine.

Cette équation admet donc une seconde racinet0∈Q, donc une nouvelle solutionx+t₀~v∈Qⁿ de l’équationQ=0.

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Généralisation de l’argument géométrique

Les points clés dans la preuve précédente sont les suivants : l’équation diophantienne admetune solution(le pointP de la figure).

Toute droitepassant par Pcoupe la courbeC enun unique autre point, lui aussi à coordonnées rationnelles.

On voit que le second point se généralise sans trop de difficulté à toutes les équationsQ=0, avecQ polynôme homogène de degré 2enn≥3 variables, de la forme

Q(x1, . . . ,xn) = X

1≤i,j≤n

ai,j·Xi·Xj.

En effet, si on part d’une solutionx∈Qⁿ\ {0}, pour tout vecteur

~v∈Qⁿ\ {0}, l’équationQ(x+t~v) =0, d’inconnuet∈Q, esten général de degré 2, et admett=0 comme première racine.

Cette équation admet donc une seconde racinet0∈Q, donc une nouvelle solutionx+t₀~v∈Qⁿ de l’équationQ=0.

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