On voit que la recherche de solutions aux équations diophantiennes peut nécessiter de considérer les solutions modulopn, pour toutppremier et n≥1.
En effet, si un nombre premierpest fixé, un entierx définit une suite (xn)n≥1 oùxn∈Z/pnZpour toutn:xn désignex modulopn. La suite(xn)obtenue est "compatible" au sens suivant : pour toutn, xn+1 se réduit modulopnàxn, i.e.xn+1=xn+pn·an, avec et la décomposition en base2 (binaire) :
1000=0·20+0·21+0·22+1·23+0·24+1·25+1·26+1·27+1·28+1·29+0·210. . . .
Cyril Demarche Sommes de carrés
Nombres p-adiques
On voit que la recherche de solutions aux équations diophantiennes peut nécessiter de considérer les solutions modulopn, pour toutppremier et n≥1.
En effet, si un nombre premierpest fixé, un entierx définit une suite (xn)n≥1 oùxn∈Z/pnZpour toutn:xn désignex modulopn. La suite(xn)obtenue est "compatible" au sens suivant : pour toutn, xn+1 se réduit modulopnàxn, i.e.xn+1=xn+pn·an, avec et la décomposition en base2 (binaire) :
1000=0·20+0·21+0·22+1·23+0·24+1·25+1·26+1·27+1·28+1·29+0·210. . . .
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Nombres p-adiques
On voit que la recherche de solutions aux équations diophantiennes peut nécessiter de considérer les solutions modulopn, pour toutppremier et n≥1.
En effet, si un nombre premierpest fixé, un entierx définit une suite (xn)n≥1où xn∈Z/pnZpour toutn:xn désignex modulo pn.
La suite(xn)obtenue est "compatible" au sens suivant : pour toutn, xn+1 se réduit modulopnàxn, i.e.xn+1=xn+pn·an, avec et la décomposition en base2 (binaire) :
1000=0·20+0·21+0·22+1·23+0·24+1·25+1·26+1·27+1·28+1·29+0·210. . . .
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On voit que la recherche de solutions aux équations diophantiennes peut nécessiter de considérer les solutions modulopn, pour toutppremier et n≥1.
En effet, si un nombre premierpest fixé, un entierx définit une suite (xn)n≥1où xn∈Z/pnZpour toutn:xn désignex modulo pn. La suite(xn)obtenue est "compatible" au sens suivant : pour toutn, xn+1se réduit modulopn àxn, i.e.xn+1=xn+pn·an, avec et la décomposition en base2 (binaire) :
1000=0·20+0·21+0·22+1·23+0·24+1·25+1·26+1·27+1·28+1·29+0·210. . . .
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On voit que la recherche de solutions aux équations diophantiennes peut nécessiter de considérer les solutions modulopn, pour toutppremier et n≥1.
En effet, si un nombre premierpest fixé, un entierx définit une suite (xn)n≥1où xn∈Z/pnZpour toutn:xn désignex modulo pn. La suite(xn)obtenue est "compatible" au sens suivant : pour toutn, xn+1se réduit modulopn àxn, i.e.xn+1=xn+pn·an, avec et la décomposition en base2 (binaire) :
1000=0·20+0·21+0·22+1·23+0·24+1·25+1·26+1·27+1·28+1·29+0·210. . . .
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Nombres p-adiques
On voit que la recherche de solutions aux équations diophantiennes peut nécessiter de considérer les solutions modulopn, pour toutppremier et n≥1.
En effet, si un nombre premierpest fixé, un entierx définit une suite (xn)n≥1où xn∈Z/pnZpour toutn:xn désignex modulo pn. La suite(xn)obtenue est "compatible" au sens suivant : pour toutn, xn+1se réduit modulopn àxn, i.e.xn+1=xn+pn·an, avec
et la décomposition en base2 (binaire) :
1000=0·20+0·21+0·22+1·23+0·24+1·25+1·26+1·27+1·28+1·29+0·210. . . .
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Nombres p-adiques
On voit que la recherche de solutions aux équations diophantiennes peut nécessiter de considérer les solutions modulopn, pour toutppremier et n≥1.
En effet, si un nombre premierpest fixé, un entierx définit une suite (xn)n≥1où xn∈Z/pnZpour toutn:xn désignex modulo pn. La suite(xn)obtenue est "compatible" au sens suivant : pour toutn, xn+1se réduit modulopn àxn, i.e.xn+1=xn+pn·an, avec et la décomposition en base2 (binaire) :
1000=0·20+0·21+0·22+1·23+0·24+1·25+1·26+1·27+1·28+1·29+0·210. . . .
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Nombres p-adiques
Unentier p-adiqueest une suite(xn)d’entiers modulopn compatibles.
C’est plus général que la notion d’entier relatif, puisqu’on s’autorise des suites "non stationnaires".
Si on noteZp l’ensemble des entiersp-adiques, on a une inclusion naturelleZ⊂Zp.
Un élémentx de Zppeut donc être vu de deux façons différentes : soit une suite(xn)compatible, avecxn∈Z/pnZpour tout n; soit un "nombre généralisé en basep", qui s’écrit
x=a0+a1·p+· · ·+an·pn+. . .
avec un développement éventuellement infini. Exemple
Sip>2,P∞
n=0pn est un entierp-adique mais pas un entier. C’est en fait l’inverse de1−p∈Z.
Sip=2, le nombre 2-adiqueP∞
n=02n est égal à l’entier−1.
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Nombres p-adiques
Unentier p-adiqueest une suite(xn)d’entiers modulopn compatibles.
C’est plus général que la notion d’entier relatif, puisqu’on s’autorise des suites "non stationnaires".
Si on noteZp l’ensemble des entiersp-adiques, on a une inclusion naturelleZ⊂Zp.
Un élémentx de Zppeut donc être vu de deux façons différentes : soit une suite(xn)compatible, avecxn∈Z/pnZpour tout n; soit un "nombre généralisé en basep", qui s’écrit
x=a0+a1·p+· · ·+an·pn+. . .
avec un développement éventuellement infini. Exemple
Sip>2,P∞
n=0pn est un entierp-adique mais pas un entier. C’est en fait l’inverse de1−p∈Z.
Sip=2, le nombre 2-adiqueP∞
n=02n est égal à l’entier−1.
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Nombres p-adiques
Unentier p-adiqueest une suite(xn)d’entiers modulopn compatibles.
C’est plus général que la notion d’entier relatif, puisqu’on s’autorise des suites "non stationnaires".
Si on noteZp l’ensemble des entiersp-adiques, on a une inclusion naturelleZ⊂Zp.
Un élémentx de Zppeut donc être vu de deux façons différentes : soit une suite(xn)compatible, avecxn∈Z/pnZpour tout n; soit un "nombre généralisé en basep", qui s’écrit
x=a0+a1·p+· · ·+an·pn+. . .
avec un développement éventuellement infini. Exemple
Sip>2,P∞
n=0pn est un entierp-adique mais pas un entier. C’est en fait l’inverse de1−p∈Z.
Sip=2, le nombre 2-adiqueP∞
n=02n est égal à l’entier−1.
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Nombres p-adiques
Unentier p-adiqueest une suite(xn)d’entiers modulopn compatibles.
C’est plus général que la notion d’entier relatif, puisqu’on s’autorise des suites "non stationnaires".
Si on noteZp l’ensemble des entiersp-adiques, on a une inclusion naturelleZ⊂Zp.
Un élémentx de Zp peut donc être vu de deux façons différentes :
soit une suite(xn)compatible, avecxn∈Z/pnZpour tout n; soit un "nombre généralisé en basep", qui s’écrit
x=a0+a1·p+· · ·+an·pn+. . .
avec un développement éventuellement infini. Exemple
Sip>2,P∞
n=0pn est un entierp-adique mais pas un entier. C’est en fait l’inverse de1−p∈Z.
Sip=2, le nombre 2-adiqueP∞
n=02n est égal à l’entier−1.
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Nombres p-adiques
Unentier p-adiqueest une suite(xn)d’entiers modulopn compatibles.
C’est plus général que la notion d’entier relatif, puisqu’on s’autorise des suites "non stationnaires".
Si on noteZp l’ensemble des entiersp-adiques, on a une inclusion naturelleZ⊂Zp.
Un élémentx de Zp peut donc être vu de deux façons différentes : soit une suite(xn)compatible, avecxn∈Z/pnZpour tout n;
soit un "nombre généralisé en basep", qui s’écrit x=a0+a1·p+· · ·+an·pn+. . .
avec un développement éventuellement infini. Exemple
Sip>2,P∞
n=0pn est un entierp-adique mais pas un entier. C’est en fait l’inverse de1−p∈Z.
Sip=2, le nombre 2-adiqueP∞
n=02n est égal à l’entier−1.
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Nombres p-adiques
Unentier p-adiqueest une suite(xn)d’entiers modulopn compatibles.
C’est plus général que la notion d’entier relatif, puisqu’on s’autorise des suites "non stationnaires".
Si on noteZp l’ensemble des entiersp-adiques, on a une inclusion naturelleZ⊂Zp.
Un élémentx de Zp peut donc être vu de deux façons différentes : soit une suite(xn)compatible, avecxn∈Z/pnZpour tout n; soit un "nombre généralisé en basep", qui s’écrit
x=a0+a1·p+· · ·+an·pn+. . . avec un développement éventuellement infini.
Exemple Sip>2,P∞
n=0pn est un entierp-adique mais pas un entier. C’est en fait l’inverse de1−p∈Z.
Sip=2, le nombre 2-adiqueP∞
n=02n est égal à l’entier−1.
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Nombres p-adiques
Unentier p-adiqueest une suite(xn)d’entiers modulopn compatibles.
C’est plus général que la notion d’entier relatif, puisqu’on s’autorise des suites "non stationnaires".
Si on noteZp l’ensemble des entiersp-adiques, on a une inclusion naturelleZ⊂Zp.
Un élémentx de Zp peut donc être vu de deux façons différentes : soit une suite(xn)compatible, avecxn∈Z/pnZpour tout n; soit un "nombre généralisé en basep", qui s’écrit
x=a0+a1·p+· · ·+an·pn+. . .
avec un développement éventuellement infini.
Exemple Sip>2,P∞
n=0pn est un entierp-adique mais pas un entier. C’est en fait l’inverse de1−p∈Z.
Sip=2, le nombre 2-adiqueP∞
n=02n est égal à l’entier−1.
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Nombres p-adiques
Unentier p-adiqueest une suite(xn)d’entiers modulopn compatibles.
C’est plus général que la notion d’entier relatif, puisqu’on s’autorise des suites "non stationnaires".
Si on noteZp l’ensemble des entiersp-adiques, on a une inclusion naturelleZ⊂Zp.
Un élémentx de Zp peut donc être vu de deux façons différentes : soit une suite(xn)compatible, avecxn∈Z/pnZpour tout n; soit un "nombre généralisé en basep", qui s’écrit
x=a0+a1·p+· · ·+an·pn+. . .
avec un développement éventuellement infini.
Exemple Sip>2,P∞
n=0pn est un entierp-adique mais pas un entier. C’est en fait l’inverse de1−p∈Z.
Sip=2, le nombre2-adiqueP∞
n=02n est égal à l’entier−1.
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Nombres p-adiques
On peut calculer avec ces nombres comme avec les entiers :Zp est naturellement unanneau, avec des opérations (addition et multiplication) compatibles avec celles deZ.
Cela a donc un sens de chercher les solutions d’une équation diophantienneP=0 dansZp. Par construction, c’est équivalent à chercher dessolutions modulopn, pour toutn, qui soient compatibles. En particulier, si une équation a des solutions dansZ, elle a des solutions dansZp pour tout nombre premierp.
Le point-clé est que "déterminer les solutions dansZp" est nettement plus simpleque "déterminer les solutions dansZ".
Cette résolution dansZp estalgorithmique.
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Nombres p-adiques
On peut calculer avec ces nombres comme avec les entiers :Zp est naturellement unanneau, avec des opérations (addition et multiplication) compatibles avec celles deZ.
Cela a donc un sens de chercher les solutions d’une équation diophantienneP=0 dansZp. Par construction, c’est équivalent à chercher dessolutions modulopn, pour toutn, qui soient compatibles.
En particulier, si une équation a des solutions dansZ, elle a des solutions dansZp pour tout nombre premierp.
Le point-clé est que "déterminer les solutions dansZp" est nettement plus simpleque "déterminer les solutions dansZ".
Cette résolution dansZp estalgorithmique.
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Nombres p-adiques
On peut calculer avec ces nombres comme avec les entiers :Zp est naturellement unanneau, avec des opérations (addition et multiplication) compatibles avec celles deZ.
Cela a donc un sens de chercher les solutions d’une équation diophantienneP=0 dansZp. Par construction, c’est équivalent à chercher dessolutions modulopn, pour toutn, qui soient compatibles.
En particulier, si une équation a des solutions dansZ, elle a des solutions dansZp pour tout nombre premierp.
Le point-clé est que "déterminer les solutions dansZp" est nettement plus simpleque "déterminer les solutions dansZ".
Cette résolution dansZp estalgorithmique.
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Nombres p-adiques
On peut calculer avec ces nombres comme avec les entiers :Zp est naturellement unanneau, avec des opérations (addition et multiplication) compatibles avec celles deZ.
Cela a donc un sens de chercher les solutions d’une équation diophantienneP=0 dansZp. Par construction, c’est équivalent à chercher dessolutions modulopn, pour toutn, qui soient compatibles.
En particulier, si une équation a des solutions dansZ, elle a des solutions dansZp pour tout nombre premierp.
Le point-clé est que "déterminer les solutions dansZp" est nettement plus simpleque "déterminer les solutions dansZ".
Cette résolution dansZp estalgorithmique.
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Nombres p-adiques
On peut calculer avec ces nombres comme avec les entiers :Zp est naturellement unanneau, avec des opérations (addition et multiplication) compatibles avec celles deZ.
Cela a donc un sens de chercher les solutions d’une équation diophantienneP=0 dansZp. Par construction, c’est équivalent à chercher dessolutions modulopn, pour toutn, qui soient compatibles.
En particulier, si une équation a des solutions dansZ, elle a des solutions dansZp pour tout nombre premierp.
Le point-clé est que "déterminer les solutions dansZp" est nettement plus simpleque "déterminer les solutions dansZ".
Cette résolution dansZp estalgorithmique.
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Intuition
Uneintuition: un entierp-adiquex = (xn) =P∞
n=0an·pnest analogue à une série entière (remplacerp par un petitx ouε), et tronquer cet élément à un certain rangndonne une approximationdex par un vrai entierxn, d’autant meilleure que l’on va loin dans le développement en basep:
C’est assez analogue à un développement limité.
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Intuition
Uneintuition: un entierp-adiquex = (xn) =P∞
n=0an·pnest analogue à une série entière (remplacerppar un petit x ouε),
et tronquer cet élément à un certain rangndonne une approximationdex par un vrai entierxn, d’autant meilleure que l’on va loin dans le développement en basep:
C’est assez analogue à un développement limité.
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Intuition
Uneintuition: un entierp-adiquex = (xn) =P∞
n=0an·pnest analogue à une série entière (remplacerppar un petit x ouε), et tronquer cet élément à un certain rangndonne une approximationdex par un vrai entierxn, d’autant meilleure que l’on va loin dans le développement en basep:
C’est assez analogue à un développement limité.
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Intuition
Uneintuition: un entierp-adiquex = (xn) =P∞
n=0an·pnest analogue à une série entière (remplacerppar un petit x ouε), et tronquer cet élément à un certain rangndonne une approximationdex par un vrai entierxn, d’autant meilleure que l’on va loin dans le développement en basep:
C’est assez analogue à un développement limité.
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Intuition
Uneintuition: un entierp-adiquex = (xn) =P∞
n=0an·pnest analogue à une série entière (remplacerppar un petit x ouε), et tronquer cet élément à un certain rangndonne une approximationdex par un vrai entierxn, d’autant meilleure que l’on va loin dans le développement en basep:
C’est assez analogue à un développement limité.
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Nombres p-adiques
Comme on construitQà partir de Z, on peut contruireQp à partir de Zp, en prenant des fractions ab aveca,b∈Zp.
AlorsQpest un corps contenant Q, et il est muni d’une valeur absolue naturelle (via la valuationp-adique).
Mieux : le corpsQpestcomplet (les suites de Cauchy convergent), contrairement àQ. EtQestdensedansQp : analogie avecR. . . En fait,Ret lesQp sont tous les corps que l’on peut obtenir en complétantQpour une valeur absolue. DoncQp est tout aussi naturel queR, et en fait parfois beaucoup plus simple : par exemple, dans Qp, tous les triangles sont isocèles!
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Nombres p-adiques
Comme on construitQà partir de Z, on peut contruireQp à partir de Zp, en prenant des fractions ab aveca,b∈Zp.
AlorsQpest un corps contenant Q, et il est muni d’une valeur absolue naturelle (via la valuationp-adique).
Mieux : le corpsQpestcomplet (les suites de Cauchy convergent), contrairement àQ. EtQestdensedansQp : analogie avecR. . . En fait,Ret lesQp sont tous les corps que l’on peut obtenir en complétantQpour une valeur absolue. DoncQp est tout aussi naturel queR, et en fait parfois beaucoup plus simple : par exemple, dans Qp, tous les triangles sont isocèles!
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Nombres p-adiques
Comme on construitQà partir de Z, on peut contruireQp à partir de Zp, en prenant des fractions ab aveca,b∈Zp.
AlorsQpest un corps contenant Q, et il est muni d’une valeur absolue naturelle (via la valuationp-adique).
Mieux : le corpsQpestcomplet(les suites de Cauchy convergent), contrairement àQ. EtQestdense dansQp : analogie avecR. . .
En fait,Ret lesQp sont tous les corps que l’on peut obtenir en complétantQpour une valeur absolue. DoncQp est tout aussi naturel queR, et en fait parfois beaucoup plus simple : par exemple, dans Qp, tous les triangles sont isocèles!
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Nombres p-adiques
Comme on construitQà partir de Z, on peut contruireQp à partir de Zp, en prenant des fractions ab aveca,b∈Zp.
AlorsQpest un corps contenant Q, et il est muni d’une valeur absolue naturelle (via la valuationp-adique).
Mieux : le corpsQpestcomplet(les suites de Cauchy convergent), contrairement àQ. EtQestdense dansQp : analogie avecR. . . En fait,Ret lesQp sont tous les corps que l’on peut obtenir en complétantQpour une valeur absolue.
DoncQp est tout aussi naturel queR, et en fait parfois beaucoup plus simple : par exemple, dans Qp, tous les triangles sont isocèles!
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Nombres p-adiques
Comme on construitQà partir de Z, on peut contruireQp à partir de Zp, en prenant des fractions ab aveca,b∈Zp.
AlorsQpest un corps contenant Q, et il est muni d’une valeur absolue naturelle (via la valuationp-adique).
Mieux : le corpsQpestcomplet(les suites de Cauchy convergent), contrairement àQ. EtQestdense dansQp : analogie avecR. . . En fait,Ret lesQp sont tous les corps que l’on peut obtenir en complétantQpour une valeur absolue. DoncQp est tout aussi naturel queR, et en fait parfois beaucoup plus simple : par exemple, dans Qp, tous les triangles sont isocèles!
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