Exemple
1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?
Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.
La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100. Il y a donc un problème modulo 3.
2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution
6·99+15·(−33) =99.
Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.
Cyril Demarche Sommes de carrés
Un petit exemple
Exemple
1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?
Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.
La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100. Il y a donc un problème modulo 3.
2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution
6·99+15·(−33) =99.
Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.
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1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?
Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.
La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100. Il y a donc un problème modulo 3.
2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution
6·99+15·(−33) =99.
Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.
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1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?
Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.
La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100.
Il y a donc un problème modulo 3.
2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution
6·99+15·(−33) =99.
Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.
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Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.
La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100.
Il y a donc un problème modulo 3.
2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution
6·99+15·(−33) =99.
Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.
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1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?
Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.
La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100.
Il y a donc un problème modulo 3.
2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions :
Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution
6·99+15·(−33) =99.
Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.
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1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?
Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.
La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100.
Il y a donc un problème modulo 3.
2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3,
Donc en multipliant par33, on trouve la solution 6·99+15·(−33) =99.
Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.
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1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?
Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.
La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100.
Il y a donc un problème modulo 3.
2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution
6·99+15·(−33) =99.
Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.
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1 Peut-on payer100 euros dans un monde où on utilise uniquement des pièces de 6et de 15euros ?
Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 6x+15y=100.
La réponse est négative :6 et15sont multiples de3, mais pas100.
Il y a donc un problème modulo 3.
2 Si on remplace 100par99, le problème a des solutions : Une relation de Bézout est : 6·3+15·(−1) =3, Donc en multipliant par33, on trouve la solution
6·99+15·(−33) =99.
Notons pour la suite que ce type de problème revient à déterminer les points à coordonnées entières sur une droite.
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Généralisation
Le cas d’un système d’équations de degré 1 ennvariables est similaire.
L’équation s’écritA·X =B, avec Aune matrice à coefficients entiers et B un vecteur à coordonnées entières.
En faisant un pivot de Gauss "à coefficients entiers" sur la matriceA, on peut résoudre complètement ces systèmes d’équations diophantiennes de degré 1.
Là encore, le système a des solutions entières si et seulement si quelques conditions modulo des entiers explicites sont vérifiées.
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Généralisation
Le cas d’un système d’équations de degré 1 ennvariables est similaire.
L’équation s’écritA·X =B, avec Aune matrice à coefficients entiers et B un vecteur à coordonnées entières.
En faisant un pivot de Gauss "à coefficients entiers" sur la matriceA, on peut résoudre complètement ces systèmes d’équations diophantiennes de degré 1.
Là encore, le système a des solutions entières si et seulement si quelques conditions modulo des entiers explicites sont vérifiées.
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Généralisation
Le cas d’un système d’équations de degré 1 ennvariables est similaire.
L’équation s’écritA·X =B, avec Aune matrice à coefficients entiers et B un vecteur à coordonnées entières.
En faisant un pivot de Gauss "à coefficients entiers" sur la matriceA, on peut résoudre complètement ces systèmes d’équations diophantiennes de degré 1.
Là encore, le système a des solutions entières si et seulement si quelques conditions modulo des entiers explicites sont vérifiées.
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Généralisation
Le cas d’un système d’équations de degré 1 ennvariables est similaire.
L’équation s’écritA·X =B, avec Aune matrice à coefficients entiers et B un vecteur à coordonnées entières.
En faisant un pivot de Gauss "à coefficients entiers" sur la matriceA, on peut résoudre complètement ces systèmes d’équations diophantiennes de degré 1.
Là encore, le système a des solutions entières si et seulement si quelques conditions modulo des entiers explicites sont vérifiées.
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