Les points clés dans la preuve précédente sont les suivants : l’équation diophantienne admetune solution(le pointP de la figure).
Toute droitepassant par Pcoupe la courbeC enun unique autre point, lui aussi à coordonnées rationnelles.
On voit que le second point se généralise sans trop de difficulté à toutes les équationsQ=0, avecQ polynôme homogène de degré 2enn≥3 de degré 2, et admett=0 comme première racine.
Cette équation admet donc une seconde racinet0∈Q, donc une nouvelle solutionx+t0~v∈Qn de l’équationQ=0.
Cyril Demarche Sommes de carrés
Généralisation de l’argument géométrique
Les points clés dans la preuve précédente sont les suivants :
l’équation diophantienne admetune solution(le pointP de la figure).
Toute droitepassant par Pcoupe la courbeC enun unique autre point, lui aussi à coordonnées rationnelles.
On voit que le second point se généralise sans trop de difficulté à toutes les équationsQ=0, avecQ polynôme homogène de degré 2enn≥3 de degré 2, et admett=0 comme première racine.
Cette équation admet donc une seconde racinet0∈Q, donc une nouvelle solutionx+t0~v∈Qn de l’équationQ=0.
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Généralisation de l’argument géométrique
Les points clés dans la preuve précédente sont les suivants : l’équation diophantienne admetune solution(le pointP de la figure).
Toute droitepassant par Pcoupe la courbeC enun unique autre point, lui aussi à coordonnées rationnelles.
On voit que le second point se généralise sans trop de difficulté à toutes les équationsQ=0, avecQ polynôme homogène de degré 2enn≥3 de degré 2, et admett=0 comme première racine.
Cette équation admet donc une seconde racinet0∈Q, donc une nouvelle solutionx+t0~v∈Qn de l’équationQ=0.
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Généralisation de l’argument géométrique
Les points clés dans la preuve précédente sont les suivants : l’équation diophantienne admetune solution(le pointP de la figure).
Toute droitepassant par Pcoupe la courbeC enun unique autre point, lui aussi à coordonnées rationnelles.
On voit que le second point se généralise sans trop de difficulté à toutes les équationsQ=0, avecQ polynôme homogène de degré 2enn≥3 de degré 2, et admett=0 comme première racine.
Cette équation admet donc une seconde racinet0∈Q, donc une nouvelle solutionx+t0~v∈Qn de l’équationQ=0.
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Généralisation de l’argument géométrique
Les points clés dans la preuve précédente sont les suivants : l’équation diophantienne admetune solution(le pointP de la figure).
Toute droitepassant par Pcoupe la courbeC enun unique autre point, lui aussi à coordonnées rationnelles.
On voit que le second point se généralise sans trop de difficulté à toutes les équationsQ=0, avecQ polynôme homogène de degré 2enn≥3 de degré 2, et admett=0 comme première racine.
Cette équation admet donc une seconde racinet0∈Q, donc une nouvelle solutionx+t0~v∈Qn de l’équationQ=0.
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Généralisation de l’argument géométrique
Les points clés dans la preuve précédente sont les suivants : l’équation diophantienne admetune solution(le pointP de la figure).
Toute droitepassant par Pcoupe la courbeC enun unique autre point, lui aussi à coordonnées rationnelles.
On voit que le second point se généralise sans trop de difficulté à toutes les équationsQ=0, avecQ polynôme homogène de degré 2enn≥3 de degré 2, et admett=0 comme première racine.
Cette équation admet donc une seconde racinet0∈Q, donc une nouvelle solutionx+t0~v∈Qn de l’équationQ=0.
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Généralisation de l’argument géométrique
Les points clés dans la preuve précédente sont les suivants : l’équation diophantienne admetune solution(le pointP de la figure).
Toute droitepassant par Pcoupe la courbeC enun unique autre point, lui aussi à coordonnées rationnelles.
On voit que le second point se généralise sans trop de difficulté à toutes les équationsQ=0, avecQ polynôme homogène de degré 2enn≥3 de degré 2, et admett=0 comme première racine.
Cette équation admet donc une seconde racinet0∈Q, donc une nouvelle solutionx+t0~v∈Qn de l’équationQ=0.
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Géométrie
Géométriquement, le cercle dansR2est remplacé par unequadriquede dimensionn−2 dansRn−1, la solution initialex est un pointP de cette quadrique à coordonnés rationnelles, etpresque toutedroite passant par Pcoupe la quadrique en un unique autre point.
On peut ainsiprojeterla quadrique sur un hyperplan deRn−1 à partir du pointP.
On parvient ainsi à paramétrerpresque toutes les solutions entières de Q=0 à l’aide de formules algébriques et de paramètres décrivant un hyperplan deQn−1.
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Géométrie
Géométriquement, le cercle dansR2est remplacé par unequadriquede dimensionn−2 dansRn−1, la solution initialex est un pointP de cette quadrique à coordonnés rationnelles, etpresque toutedroite passant par Pcoupe la quadrique en un unique autre point.
On peut ainsiprojeterla quadrique sur un hyperplan deRn−1 à partir du pointP.
On parvient ainsi à paramétrerpresque toutes les solutions entières de Q=0 à l’aide de formules algébriques et de paramètres décrivant un hyperplan deQn−1.
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Géométrie
Géométriquement, le cercle dansR2est remplacé par unequadriquede dimensionn−2 dansRn−1, la solution initialex est un pointP de cette quadrique à coordonnés rationnelles, etpresque toutedroite passant par Pcoupe la quadrique en un unique autre point.
On peut ainsiprojeterla quadrique sur un hyperplan deRn−1 à partir du pointP.
On parvient ainsi à paramétrerpresque toutes les solutions entières de Q=0 à l’aide de formules algébriques et de paramètres décrivant un hyperplan deQn−1.
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Géométrie
Géométriquement, le cercle dansR2est remplacé par unequadriquede dimensionn−2 dansRn−1, la solution initialex est un pointP de cette quadrique à coordonnés rationnelles, etpresque toutedroite passant par Pcoupe la quadrique en un unique autre point.
On peut ainsiprojeterla quadrique sur un hyperplan deRn−1 à partir du pointP.
On parvient ainsi à paramétrerpresque toutes les solutions entières de Q=0 à l’aide de formules algébriques et de paramètres décrivant un hyperplan deQn−1.
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Le film ! Le film !
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