A567 - Une avalanche de carrés
Q1 : On considère les 22013 expressions de la forme obtenues en additionnant les racines carrées des entiers naturels de 1 à 2013 précédées des signes plus (+) ou moins (–). On les multiplie toutes entres elles. Démontrez que le résultat est un carré parfait.
Q2 : 2013 nombres réels a, b, c, d,... z sont tels que a² ≤ 1, a² + b² ≤ 5, a² + b² + c² ≤ 14, a² + b² + c² + d² ≤ 30, a² + b² + c² + d² +...+ z² ≤ 2 721 031 819.
(Voir la suite des nombres pyramidaux carrés http://oeis.org/A000330).
Quelle est la valeur maximale de la somme de ces 2013 nombres ? Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Daniel Collignon Q1.
Considérons les polynômes définis par la relation de récurrence : p_1(x)=(x-1)(x+1)
p_n(x)=p_{n-1}(x-sqrt(n))p_{n-1}(x+sqrt(n)) pour n>1
Ces polynômes ont exactement les expressions recherchées comme racines.
Montrons par récurrence que p_n est pair.
C'est vrai pour n=1 puisque p_1(x)=x^2-1.
Soit n>=2.
p_n(-x)=p_{n-1}(-x-sqrt(n))p_{n-1}(-x+sqrt(n))
p_n(-x)=p_{n-1}(x+sqrt(n))p_{n-1}(x-sqrt(n)) par hypothèse de récurrence p_n(-x)=p_n(x)
L'énoncé revient alors à montrer que p_2013(0) est un carré parfait.
p_n(0)=p_{n-1}(-sqrt(n))p_{n-1}(+sqrt(n))
p_n(0)=(p_{n-1}(sqrt(n)))^2 en précisant que comme p_{n-1} est pair, alors p_{n-1}(sqrt(n)) est bien un entier.
Q₂.
L’ intuition dicte que les nombres a, b, c, … prennent les valeurs a=1, b=2, c=3, ... et que la somme maximale vaut 2014*2013/2 = 2 027 091.
Une récurrence à « l'envers » permet de montrer que les contraintes sont saturées (les inégalités sont des égalités).En effet si la dernière était une inégalité stricte, alors il suffirait d'augmenter z pour atteindre la valeur limite.
Supposons à présent qu'une solution optimale soit telle que les dernières inégalités soient des égalités.
Partons de la première inégalité stricte a²+...+y²+epsilon=Y de sorte que : y²=Y-(a²+...+x²)-epsilon.
y apparaît aussi dans a²+...+z² = Z, de sorte que z²=Z-Y+epsilon
y apparaît aussi dans a²+...+z²+aa² = AA, de sorte que aa²=AA-Z (constante) ...
On montre (par exemple par l'étude d'une fonction d'epsilon et grâce au fait que 2Y<Z) qu'on peut maximiser y+z avec epsilon=0, ce qui contredit le caractère optimal de la solution initiale. L'inégalité stricte est
donc une égalité.En continuant de proche en proche, on montre finalement que a=1, b=2, ...
