Chapitre 2 Principe de récurrence, inégalité et application

1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 1

Chapitre 2 Principe de récurrence, inégalité et application

Leçon 7 Principe de récurrence

1. Le raisonnement par récurrence Une propriété P_n

On considère une propriete concernant un entier n, que l’on note P_n en général.

Exemples : 1. 2ⁿ 

(

n+2

)

² 2. 3 divise 4ⁿ −1

3. 3 divise 4ⁿ +1

4. n droites déterminent au maximum

( )

2 1 1 + + n

n régions.

2. Le principe de récurrence

Deux étapes à démontrer :

Le départ Le caractère hériditère

n0

P est vraie

.…… Si P_n est vraie pour un nn₀ Alors P_n+1 est vraie ……

Pour conclure : Pn est vraie pour tout nn₀

3. Mise en œuvre : exemples

Exemple 1 : Démontrer par récurrence que A n( )=n³+3n²+5n est divisible par 3, nN^.

Solution

. P₁ est vraie, puisque A(1)=1+3+5=9 est divisible par 3

. Supposons que, pour un entier n1, P_n soit vraie : ^{A n( )=n3+3n2 +5n} est divisible par 3

. Pour montrer que P_n+1 est vraie, il suffirait que A

(

n+¹

) (

= n+¹

)

³+³

(

n+¹

)

²+⁵

(

n+¹

)

est divisible par 3

On a : A

(

n+1

) (

= n+1

)

³ +3

(

n+1

)

² +5

(

n+1

)

=n³+3n²+3n+1+3n²+6n+3+5n+5

=(n³+3n²+5n)+3(n²+3n+3)

A

(

n+¹

)

=A⁽n⁾+³⁽n²+³n+³⁾

1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 2

Or _^3A

(

^{(nn2)+est3n+divisible3}

)

^{estdivisiblepar 3 par3A(n+1) estdivisible par 3}

On a donc bien P_n+1 est vraie.

Conclusion : P_n est vraie pour tout n1c’est-a-dire que A n( )=n³+3n² +5n est divisible par 3, nN^.

Exemple 2 : Démontrer par récurrence que 1+3+5++

(

2n−1

)

=n²,nN^

Solution

. P1 est vraie, puisque 1=1² =1

. Supposons que, pour un entier n1, P_n soit vraie, c’est-a-dire que ^1+3+5++

(

²ⁿ⁻¹

)

^=n2,n1

. Alors ¹+³+⁵++

(

²ⁿ−¹

) (

+

(

²ⁿ+¹

)

−¹

) (

= ²ⁿ+¹

)

+ⁿ² conduit à

(

2n+1

)

+n² =(n+1)²

Pour montrer que P_n+1 est vraie, c’est-à-dire que

1+3+5++

(

2n−1

) (

+ 2n+1

)

=(n+1)², il suffirait que

(

²ⁿ⁺¹

)

^{+n2 =(n+1)2}

Or

(

2n+1

)

+n²−(n+1)²=2n+1+n²−n²−2n−1=0

On a donc bien

(

²ⁿ⁺¹

)

^{+n2 =(n+1)2. Ainsi} Pn+1 est vraie.

Conclusion : P_n est vraie pour tout n1c’est-a-dire que 1+3+5++

(

2n−1

)

=n²,nN^.

Exemple 3 : Démontrer par récurrence que

(

1+a

)

ⁿ 1+na, nN et a−1. Solution

. P1 est vraie, puisque

(

1+a

)

¹ 1+a

. Supposons que, pour un entier n1, P_n soit vraie c’est-à-dire que

(

1+a

)

ⁿ 1+na.

. Alors

(

1+^a

)

ⁿ⁺¹ =

(

1+^a

)(

1+^a

)

ⁿ conduit à

(

1+^a

)

ⁿ⁺¹

(

1+^a

)(

1+^na

)

Pour montrer que P_n+1 est vraie, c’est-à-dire que

(

¹+^a

)

ⁿ⁺¹ ¹+

(

ⁿ+¹

)

^a, il suffirait que

(

¹+^a

)(

¹+^na

)

¹+

(

ⁿ+¹

)

^a

Or

(

1+a

)(

1+na

)

1+

(

n+1

)

a

1+na+a+na² =1+

(

n+1

)

a+na²1+

(

n+1

)

a,a−1 On a donc bien

(

1+a

)

ⁿ⁺¹

(

1+a

)(

1+na

)

. Ainsi P_n+1 est vraie.

Conclusion : P_n est vraie pour tout n1c’est-à-dire que

(

1+a

)

ⁿ 1+na, nN et a−1

1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 3

Exemple 4 : Démontrer que   ^

= + + +

 +

 +

= n N

n n n

S_n n ,

1 )

1 (

1 3

2 1 2 1

1  .

Solution

Méthode 1 : par récurrence . P₁ est vraie, puisque

2 1

1

1=  S

. Supposons que, pour un entier n1, P_n soit vraie c’est-à-dire que

1 )

1 (

1 3

2 1 2 1

1

= + + +

 +

 +

= n

n n

S_n  n .

. Alors

( )( )

2

1 2

1 1 )

1 (

1 3

2 1 2 1

1

1 +

= + + + +

+ +

 +

 +

+ =

n n n

n n

S_n  n conduit à

^{112 213 ( 1 1)}

(

¹

)(

^{1 2}

)

¹+

(

+¹

)(

¹ +²

)

= + + + +

+ +

 +

 + n n n

n n

n n

 n

Pour montrer que P_n+1 est vraie, c’est-à-dire

2 1

1 +

= +

+ n

S_n n , il suffirait

que

( )( )

2

1 2

1 1

1 +

= + + + +

+ n

n n

n n

n

Or

( )( ) ( )

( )( ) (

1

)(

2

)

1 2

1 2 2

1 1

1 + + +

+ +

= + + + +

+ n n n n

n n n

n n

n

( )( ) ( )

( )( )

2

1 2

1 1 2

1 1

2 ²

2

+

= + + +

= + + +

+

= +

n n n

n n n

n n

n On a donc bien

2 1

1 +

= +

+ n

S_n n . Ainsi P_n+1 est vraie.

Conclusion : P_n est vraie pour tout n1c’est-à-dire que

( 1) 1

1 3

2 1 2 1

1

= + + +

 +

 +

= n

n n

S_n  n

Méthode 2 : par le calcul

On décompose chaque terme de la somme en fraction simple.

On a :

1 1 1 1 1 1 1 1

... 1 ...

1 2 2 3 ( 1) 2 2 3 1

Sn

n n n n

     

=  +  + + + = −   + − + + − + 

1 1 .

1 1

n

n n

= − =

+ +

Exemple 5 : Démontrer par récurrence que 2ⁿ n² pour n5. Solution

. P₅ est vraie, puisque 2⁵ 5²

. Supposons que, pour un entier n5, P_n soit vraie c’est-à-dire que ^{2n n2}. . Montrer que P_n+1 est vraie, c’est-à-dire que 2ⁿ⁺¹(n+1)².

2ⁿ⁺¹ =22ⁿ conduit à 2ⁿ⁺¹2n²

1. Polynôme d’une variable et fraction simple | 4

On va montrer que : ^{2n2 }

(

ⁿ⁺¹

)

² pour n5

On a : ^{2n2 }

(

ⁿ⁺¹

)

^{2 2n2 −}

(

ⁿ⁺¹

)

^{2 0} pour n5

(

1

)

2 0

2 1 2 1

2

2n²−n²− n− =n²− n+ − = n− ²−  pour n5

Donc 2ⁿ⁺¹2n² 

(

n+1

)

²

On a donc bien 2ⁿ⁺¹(n+1)². Ainsi P_n+1 est vraie.

Conclusion :

Pn est vraie pour tout n5 c’est-à-dire que 2ⁿ n², pour n5 .

Exercices 1. Montrer par récurrence

1) 7ⁿ −1 est divisible par 6 pour tout entier naturel n. 2) 4ⁿ+15n−1 est divisible par ⁹ pour tout entier naturel n. 3) + + + + = n

(

n+

)

nN

n ,

2 3 1

2

1 

4) + + + + = n

(

n+

)(

n+

)

nN

n ,

6 1 2 3 1

2

1^{2 2 3}  ²

5)

( )

3 , ) 2 ( ) 1

1 ( 4

3 3 2 2

1 +  +  + + + = n n+ n+ n

 n pour tout entier n2

6) 2ⁿ n+1, nN.

2. Calculer la sonne ^{1 1 1} ... ¹ .

1 3 3 5 5 7+ (2 1)(2 1) n - n

+ + +

   +

Trouver l’entier naturel nqui vérifie l’inégalité 3ⁿ 2(n+1) .²