B129
Désignons parS la constante magique etale nombre au centre.
En additionnant les deux diagonales et les deux rangées du milieu, on obtient la relation4S= 3a+ 3S, d’oùS= 3a.
Donc parmi les quatre coins, il y en a exactement deux consécutifs contenant un nombre supérieur àa.
Ainsi modulo une rotation et/ou une symétrie axiale, tout carré magique 3x3 peut se paramétrer ainsi (b > c) :
a+b a−b−c a+c
a−b+c a a+b−c
a−c a+b+c a−b
Tab.1 – Forme générale d’un carré magique 3x3
Pour que tous les nombres soient compris entre1etM et tous distincts,a,bet cdoivent donc respecter les contraintes :
-b6= 2c car sinon on auraita+c=a+b−c eta−c=a−b+c soitb <2cet les nombres sont dans l’ordre :
a+b+c > a+b > a+c > a+b−c > a > a−b+c > a−c > a−b > a−b−c soitb >2cet les nombres sont dans l’ordre :
a+b+c > a+b > a+b−c > a+c > a > a−c > a−b+c > a−b > a−b−c -1≤c≤M4−3
-c+ 1≤b≤ M−12 −c -b+c+ 1≤a≤M −b−c
Avec ces remarques et en introduisant une fonction retournant le nombre de lettres d’un nombre donné en argument, nous pouvons balayer les cas à l’aide d’un programme informatique.
1/M = 99: deux solutions (le nombre de lettres est donné entre parenthèse) 58(13) 17 (7) 39 (10)
19 (7) 38 (10) 57 (13) 37 (10) 59 (13) 18 (7) Tab.2 –(a, b, c) = (38,20,1)
1
89 (15) 55 (13) 75 (14) 59 (13) 73 (14) 87 (15) 71 (14) 91 (15) 57 (13) Tab.3 –(a, b, c) = (73,16,2)
2/M = 999: de nombreuses solutions (180 solutions avecb= 100) dont 203 (13) 2 (4) 104 (10)
4 (6) 103 (9) 202 (12) 102 (8) 204 (14) 3 (5) Tab.4 –(a, b, c) = (103,100,1)
456 (22) 213 (14) 399 (27) 299 (26) 356 (21) 413 (16) 313 (15) 499 (28) 256 (20) Tab.5 –(a, b, c) = (356,100,43)
2
