Dans un triangle ABC ayant O pour centre du cercle circonscrit et H pour orthocentre, les angles aux sommets A, B et C valent respectivement 50°, 70° et 60°. Sur le côté AC, on trace le point D tel que AD est égal au rayon du cercle circonscrit et sur le côté AB on trace le point E tel que DE = DA. Puis dans le triangle HBC, on trace les céviennes BJ,CK et HL qui se rencontrent en un point I situé à l’intersection de la médiatrice de BC et de la bissectrice de l’angle en C.
Outre les triangles OAB, OBC, OCA, OAD, DAE et BIC isocèles par construction, identifier sept autres triangles isocèles. Justifier vos réponses.
La bissectrice de BCA recoupe le cercle circonscrit en M, milieu de l’arc AB, et comme BCA=60°, le cercle de centre M passant par O est le symétrique du cercle circonscrit par rapport à AB, donc passe par H. Comme CM est la bissectrice de BCA et de HCO
( OCA=BCH=20°, donc OCH=20°), O et H sont symétriques par rapport à CM, et CO=CH.
De plus AOM=60°, AOC=140°, donc COM=160°, COH=70°.
Le symétrique N de H par rapport à AB appartient au cercle circonscrit et NAB=BAH=20°.
Le cercle de centre D passant par A se déduit du cercle circonscrit par une rotation de centre A d’angle OAC=BAH=20°. Cette rotation transforme donc N en E, AN=AE donc AE=AH. AEH=80°, donc BEH=100°; or EBH=40°, et EHB=180-BEH-EBH=40° : EBH=EHB.
OAD=20°, donc les triangles OAD et OCH sont égaux, et OD=OH.
Appliquons le théorème de Ceva au point I : (sinICH/sinBCI)(sinCBI/sinIBH)(sinBHI/sinIHC)=1
Puisque BCH=20°, CBI=BCI=ICH=10°, CBH=30°, donc IBH=20° ; enfin BHC=130°, et comme sin30°=1/2, et sin100°=cos10°, l’on remarque que
sin20°/sin10°=2cos10°=sin100°/sin30° : donc BHI=100°, IHC=30°.
ABI=60°, et JH est perpendiculaire à AB, donc IJH=30° et IJH=IHJ . HIK=IHJ+HCI=40°, et HKI=180-KHI-HIK=180-100-40 : HKI=HIK.
Enfin, IBK=20°, et BIK=IBC+ICB=20°, donc IBK=BIK.
Il en résulte que les triangles COH, AEH, EBH, OHD, IJH, HKI, KBI sont isocèles.
