Rond, rond et moins ronds
Soient le triangleABC, un cercleΓpassant parBetC, et le pointM variable surΓ. M0 etM00 sont les sym´etriques deM par rapport `aAB etAC. Q1/ Lieu du milieu N deM0M00, et relation avecΓ.
Q2/ On d´efinit un point P par l’homoth´etie −−→
M P = k−−→
M N. Montrer que le lieu deP est une ellipse dont on pr´ecisera le centre et les axes.
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Q1/ M0 d´ecrit le cercle Γ0 sym´etrique de Γ par rapport `a AB; mˆeme chose pour M00.
O0M0 fait avecO00M00 un angle double deα =BAC.\ En reportant dansΓ0 : −−−→
O0M1=−−−−→
O00M00,
on a aussi −−−→
O0N1=−−→
O1N.
N d´ecrit le cercle Γ1 de rayonO1N = OM cos α
OM et O1N ont des inclinaisons sym´etriques par rapport `a la bissectrice int´erieure deBAC.\
DoncAM etAN sont conjugu´ees isogonales dansABC; il en est de mˆeme de AO et AO1.
Γ1est l’image deΓpar le produit de l’homoth´etie (A,cos α) et d’une sym´etrie
1
par rapport `a la bissectrice int´erieure deBAC.\
Remarque : les intersections deΓ1avecABetAC sont les projections droites des intersections deΓrespectivement avecAC etAB.
Q2/ Dans l’application
T
(M ⇒ N), A est invariant et les bissectrices de BAC\ sont les 2 droites doubles. Il en est de mˆeme dans l’applicationT
0(M ⇒ P).
Avec les bissectrices deBAC\ comme rep`ere cart´esien :
T
: xN =−cos(α)xMyN =cos(α)yM
T
0 : xP =−(k(1 +cos α)−1)xMyP =−(k(1−cos α)−1)xM
Γ2, lieu deP est une ellipse dont les axes sont parall`eles aux bissectrices.
Son centreO2est align´e avecO, centre deΓ, etO1, centre deΓ1. Les extr´emit´es D2 et E2 de l’axe perpendiculaire `a la bissectrice int´erieure de BAC\ sont align´es avec les points ´equivalents deΓet deΓ1, et ces 3 droites se coupent en H orthocentre du triangle isoc`eleAIJ (les pieds des hauteurs issues deI etJ sont les images par Tde ces points).
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