D1887. Rond,rond et moins rond MB
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Soient le triangle ABC, un cercle (Γ) passant par B et C, et le point M variable sur (Γ) . Les points M’ et M’’ sont les symétriques de M par rapport à AB et AC.
Q1 Déterminer le lieu du milieu N de M’M’’
Q2 On définit un point P par l'homothétie MP = kMN. Montrer que le lieu de P est une ellipse dont on précisera le centre et les axes...
Q1) Soit  l'angle BAC. On passe de M' à M'' par la composée de deux symétries d'axes AB et AC, donc l'angle M'ÂM'' = 2Â, le triangle rectangle M'AN est semblablement variable, avec MÂN = Â, et AN/AM' = cos Â.
Le lieu de N est le cercle déduit du cercle (Γ) par Sym(AB) suivie de Sim(A, Â, cos Â) . Soit Δ la bissectrice de BÂC.
Autrement dit, le lieu de N est le cercle déduit du cercle (Γ) par Sym(Δ) suivie de Hom(A,cos Â) Q2)
On choisit un repère dont l'origine est le centre de (Γ) et l'axe des abscisses est dirigé selon la bissectrice intérieure de Â. Le point M décrit le cercle de rayon R, le point N, un cercle de rayon r = R .│cos Â│. Soit H le point (R, 0), et t la mesure de l'angle HÔM, (u,v) les coordonnées du centre O'' du cercle lieu de N. Les points et N tournent en sens contraires.
M, N, P ont pour coordonnées : M( R cos t, R sin t ), N( u – r cos t , v + r sin t ) P [ (1-k) R cos t + k( u – r cos t) , (1-k) R sin t + k( v + r sin t) ]
P [ ku + ((1-k)R – kr) cos t , kv + ((1-k)R + kr) sin t]
Le point P décrit une ellipse (E) dont le centre est l'image du point O'' précédemment défini par l'homothétie de centre O et de rapport k, dont les axes ont pour directions les bissectrices de l'angle BÂC, les demi axes ont pour longueurs (1-k)R – kr et (1-k)R + kr.
