A376. Les forts et les faibles
Un entier n est par convention appelé "fort" si son nombre de diviseurs (y compris 1 et lui-même) est strictement supérieur aux nombres de diviseurs de tous les entiers qui lui sont inférieurs. Si ce n'est pas le cas, cet entier est dit "faible".
Par exemple, 4 est fort car il a trois diviseurs (1,2,4) et chacun des entiers 1,2,3 a au plus deux diviseurs.
15 est faible car il a 4 diviseurs (1,3,5,15) alors que 12 qui lui est inférieur en a 6 (1,2,3,4,6,12).
Q1 Le plus petit entier qui a exactement 28 diviseurs est-il fort ou faible?
Q2 Trouver le plus petit entier fort qui a au moins 112 diviseurs.
Q3 Déterminer le nombre d'entiers faibles strictement positifs ≤ 2019.
Q4 Déterminer l'entier fort n < 100 000 qui a le plus grand nombre possible de diviseurs.
Q5 Pour quelles valeurs de n, l'entier n! (factorielle de n) est-il fort?
SOLUTION.
Q
1Le plus petit entier ayant exactement 28 diviseurs est 960.
Or, 720 possède 30 diviseurs (et 840 en a 32). Donc 𝟗𝟔𝟎 est faible.
Q
2Le plus petit entier fort ayant au moins 112 diviseurs est 𝟓𝟓 𝟒𝟒𝟎 = 2
K× 3
M× 5 × 7 × 11.
Il possède 120 diviseurs.
Q
317 entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à 2 019 sont forts :
1 – 2 – 4 – 6 – 12 – 24 – 36 – 48 – 60 – 120 – 180 – 240 – 360 – 720 – 840 – 1 260 – 1 680.
Donc 2 002 entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à 2 019 sont faibles.
Q
4𝟖𝟑 𝟏𝟔𝟎 = 2
X× 3
X× 5 × 7 × 11 est l’entier fort inférieur à 100 000 qui a le grand nombre de diviseurs : il en a 128.
Q
5Il semble que les seules valeurs de 𝑛 telles que 𝑛! est fort sont :
1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.
Une piste pour montrer qu’il n’y en a pas d’autre consiste à montrer que, pour tout 𝑛 ≥ 8, on peut trouver un entier strictement inférieur à 𝑛! qui a autant de diviseurs que 𝑛! .
Quelques exemples :
1) 8! = 2`× 3M× 5 × 7 = 40 320 donc 8! possède 8 × 3 × 2 × 2 = 96 diviseurs.
Or, 96 = 4 × 3 × 2 × 2 × 2 donc 2X× 3M× 5 × 7 × 11 = 27 720 a aussi 96 diviseurs.
Donc 𝟖! est faible.
2) 9! = 2`× 3K× 5 × 7 = 362 880 donc 9! possède 8 × 5 × 2 × 2 = 160 diviseurs.
Or, 160 = 5 × 4 × 2 × 2 × 2 donc 2K× 3X× 5 × 7 × 11 = 166 320 a aussi 160 diviseurs.
Donc 𝟗! est faible. (Remarque : 160 = 5 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 fournit aussi 240 240 < 9! …) 3) 10! = 2d× 3K× 5M× 7 = 3 628 800 donc 10! possède 9 × 5 × 3 × 2 = 270 diviseurs.
Or, 270 = 5 × 3 × 3 × 3 × 2 donc 2K× 3M× 5M× 7M× 11 = 1 940 400 a 270 diviseurs.
Donc 𝟏𝟎! est faible.
4) 11! = 2d× 3K× 5M× 7 × 11 = 39 916 800 donc 11! a 9 × 5 × 3 × 2 × 2 = 540 diviseurs.
Or, 540 = 5 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2 donc 2K× 3M× 5M× 7M× 11 × 13 = 25 225 200 a 540 diviseurs.
Donc 𝟏𝟏! est faible.
5) 12! = 2ef× 3g× 5M× 7 × 11 = 479 001 600 donc 12! a 11 × 6 × 3 × 2 × 2 = 792 diviseurs.
Or, 792 = 11 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2 donc 2ef× 3M× 5M× 7 × 11 × 13 = 230 630 400 a 792 diviseurs.
Donc 𝟏𝟐! est faible.
Il semble que pour tout 𝑛 ≥ 9, la décomposition en facteurs premiers du nombre de diviseurs de 𝑛! suffise à fournir systématiquement un entier strictement inférieur à 𝑛! mais qui possède autant de diviseurs que 𝑛! …
En effet, cette conjecture est validée informatiquement pour tout 𝑛 ≤ 300 :
Si pour tout 𝑛 > 1 on construit l’entier 𝑝o de la même manière qu’on a construit 1 940 400 dans l’exemple 3 précédent (ou 25 225 200 dans l’exemple 4, ou 230 630 400 dans l’exemple 5…), on constate que le rapport
o!
qraugmente très vite, bien que de manière très irrégulière…
Voici la liste des rapports o!
qr (arrondis à l’unité) pour 1 ≤ 𝑛 ≤ 50 : 1
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
2 2 12 2 34 18 8 5 8 18 801
450 3 27673 3 278014 19929 15620 1235385 722584 26977536 8883077
472949920 674114140 6022291994 3652865635 144893411 4083358364 8591780440 5774803247 6,51 × 10eM 3,55 × 10eM 2,56 × 10eM
344771583041 21263 16939 6 1208 2,16 × 10eg
Et voici la représentation graphique du rapport « log o!
qr » pour tout 𝑛 ≤ 300.
Le plus grand rapport est obtenu pour 𝑛 = 291 ; il vaut alors 269,8.
Et ci-dessous le programme (sur HP PRIME) qui donne renvoie la liste des valeurs des o!
qrpour 1 ≤ 𝑛 ≤ 300.
