VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

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�� VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

Soit( ,A,P)un espace probabilisé, et(E,E)un espace probabilisable.

I. Généralités sur les variables aléatoires discrètes

[Ouv��, Ch�, p��–��]

I. A. Caractérisation d’une variable aléatoire discrète

D��. [�� ]

Une variable aléatoireXest une fonction mesurableX: ( ,A)≠æ(E,E).

Si de plusX( )est dénombrable presque sûrement, alors on dit queXest discrète.

On noteP^Xla mesure image dePparXet on l’appelle loi deX.

E��. On lance une pièce, un dé, et on noteXla variable aléatoire qui associe la face de la pièce ou la valeur du dé. AlorsXest discrète.

SoitXune variable aléatoire discrète à valeurs dansE.

P��. EnuméronsE^Õ = (ei)iœI µ EoùIest au plus dénombrable de sorte queX( ) µE^Õp.s.. AlorsP^Xest caractérisée par la famille(pi)iœIoùpi = P(X =ei)et q

iœIpi = 1. De plus, on aP^X=q

iœIpi”ei.

I. B. Lois discrètes usuelles

Les variables aléatoires discrètes les plus classiques sont à valeurs dansN. On trouvera en an- nexe les propriétés de ces lois (P^X, espérance, variance, ...).[�� ]

A��. [�� ]

• on lance une pièce équilibrée et on noteX = 1si le résultat est « face »,�sinon. Alors X ≥B(1/2),

• si on lancenfois la pièce de manière indépendante, le nombreXde succès suitB(n,1/2),

• le résultat du jet d’un dé à�faces équilibré se modélise parU(J1,6K).

• soit ¸ le nombre moyen de personnes se présentant à un guichet chaque minute. Le nombre de personnes se présentant pendantNminutes peut se modéliser parP(N¸).

• on lance une pièce équilibrée et on noteXle nombre de lancers nécessaires avant d’ob- tenir « face ». AlorsX ≥G(1/2).

I. C. Variables aléatoires discrètes et indépendance

[Ouv��, Ch�/�, p��–��]

D��. [�� ]

SoitI un ensemble et(Xi)iœI des variables aléatoires telles queXi est à valeurs dans (Ei,Eⁱ). On dit que les(Xi)iœIsont indépendantes si pour toutJ µIfini, on a :

’(Ai)iœJœr

iœJEⁱ,P(ﬂⁱœIXi œAi) =r

iœJP(XiœAi)

P��. [�� ]

SoitIun ensemble et(Xi)iœI des variables aléatoires discrètes à valeurs dans(Ei,Eⁱ)iœI. Soit(E_i^Õ)iœIdes ensembles dénombrables tels que’iœI, Xi œE_i^Õp.s..

Alors les(Xi)iœIsont indépendantes si et seulement si pour toutJ µIfini, on a :

’(ei)iœJœr

iœJE_i^Õ,P(ﬂiœJXi=ei) =r

iœJP(Xi =ei)

E��. SoientX, Yles résultats de deux lancers indépendants d’un dé à�faces équilibré.

SoitZ=1_X+Y_{est pair}. Alors(X, Y),(X, Z)et(Y, Z)sont indépendantes mais pas(X, Y, Z).

P��. SoientX, Y des variables aléatoires discrètes indépendantes à valeurs dansR. AlorsPX+Y =P^XúP^Y oùP^XúP^Y(z) =q

x+y=zP^X(x)P^Y(y).

E��. Soientpœ[0,1],n1, n2œN,⁄1,⁄2>0.

• SiX ≥B(n1, p)etY ≥B(n2, p)avecX |=Y, alorsX+Y ≥B(n1+n₂, p),

• SiX ≥P(⁄1)etY ≥P(⁄2)avecX |=Y, alorsX+Y ≥P(⁄1+⁄₂), A��. [�� Z^d]

Soient (Xi)iœN^ú des variables aléatoires i.i.d. de loi U({±ei,1ÆiÆd}) où ei = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) = (”i k)1ÆkÆn. On poseS₀= 0etSn =qn

k=1XipournœN^ú. Alors sidÆ2, on aP(Sn= 0i. s.) = 1et sid >2, on aP(|Sn|æ+Œ) = 1.

I. D. Conditionnement

[Ouv��, Ch�, p��–��]

D��. [�� ]

SoitB œAtel queP(B)>0. On définitP|Bl’application qui àAœAassocieP|B(A) = P(A|B) =^P^(A_P_(B)^ﬂ^B). C’est une probabilité sur( ,A)appelée probabilité sachantB.

E��. P|B(A) =P(A)siAetBsont indépendants.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

P��. [�� ’��]

Soit(Ai)1ÆiÆnune famille d’événements tels queP(ﬂ^n≠1i=1Ai)”= 0. Alors : P(ﬂⁿi=1Ai) =P(A1)rn

i=2P(Ai| ﬂ^i≠1j=1Aj)

E��. On tire successivement�cartes dans un jeu de��cartes (sans remise). Quelle est la probabilité de tirer les�as?

P��. Soit(Ai)iœIune famille dénombrable d’événements disjoints deux à deux tels queP(ﬂⁱœIAi) = 1et pour toutiœI,P(Ai)>0. Alors pour toutAœA:

• [�� ]P(A) =q

iœIP(A|Ai)P(Ai),

• [�� B��]SiP(A)>0, on aP(Ai|A) =q^P(A^|^Aⁱ^)P(Aⁱ⁾

jœIP(A|Aj)P(Aj)pour toutiœI.

E��. On placeb1etn1(resp.b2etn2) boules blanches et noires dans une urneU1

(resp.U2). On choisit une urne aléatoirement et on tire une boule dans cette urne. Quelle est la probabilité qu’elle soit noire? que l’on ait choisi l’urne�sachant qu’elle est noire?

R��. Ces formules sont très pratiques lorsque l’on prend pourPla loi d’une variable aléatoire discrète. Dans le cas oùPn’est pas discrète, le fait d’avoir une famille satis- faisant les hypothèses de la proposition rend « moralement » cette probabilité discrète.

II. Moments et fonction génératrice

[Ouv��, Ch�, p��–��]

SoientX, Y deux variables aléatoires discrètes à valeurs dansR.

II. A. Espérance et variance

D��. [��]

Siq

xœR|x|P(X =x)<+Œ, on dit queXadmet une espérance et on définit l’espérance deXparE[X] =q

xœRxP(X =x).

R��. Eest linéaire. LorsqueX( )µNp.s., on aE[X] =q

nØ1P(X Øn).

E��. Espérance deB(p),B(n, p),P(⁄),G(p)... [�� ]

P��. [�� ]

Soit f : R ≠æ R borélienne. Alors f(X) admet une espérance si et seulement si q

xœR|f(x)|P(X=x)<+Œet dans ce casE[f(X)] =q

xœRf(x)P(X=x).

E��. SiX ≥G(1/2)et sif :n‘≠æ1_n_{est pair}alorsE[f(X)] = ¹₃.

D��. [��,��]

On définit :

• la covariance deXetY parCov(X, Y) =E[(X≠E[X])(Y ≠E[Y])].

• la variance deXparVar(X) = Cov(X, X) =E[(X≠E[X])²].

P��. Covest une forme bilinéaire symétrique positive et on aCov(X, Y) = E[XY]≠E[X]E[Y]etVar(X) =E[X²]≠E[X]².

E��. Variance deP(⁄),G(p), ... [�� ]

P��. SiX |=Y alorsCov(X, Y) = 0etVar(X+Y) = Var(X) + Var(Y).

E��. La réciproque est fausse : prendreX ≥U({≠1,0,1})etY =X².

R��. Les inégalités classiques faisant intervenir espérance et variance sont va- lides dans le cas discret, notamment les inégalité deM��, deB��-T��, de J��, deC��-S��, .... Ces résultats n’étant pas spécifiques aux variables aléa- toires discrètes, nous ne nous étendons pas dessus.

A��. [�� W��]

R[X]est dense dansC([a, b],C,Î.Î_Œ)poura < bœR.

II. B. Vers les fonctions génératrices

[CDGM��, p��–��]

On supposeXà valeurs dansNpresque sûrement. SoitpœN^ú. D��. [�� ’��p]

SiE[|X|^p]<+Œ, on dit queXadmet un moment d’ordrep(ouXœL^p)et alors on appelle E[X^p]le moment d’ordrepetE[(X≠E[X])^p]le moment centré d’ordrepdeX.

P��. SiX œL^palorsXœL^qpour tout1ÆqÆp.

D��. [�� ]

On définitgX la fonction génératrice deX pargX(s) = E[s^X] = q

kØ0P(X = k)s^k (lorsque la série converge).

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R��. Le rayon de convergence de cette série est au moins égal à�etGX(1) = 1.

E��. Fonctions génératrices deB(p),B(n, p),P(⁄),G(p)... [�� ]

P��. GXcaractérise la loi deX. En particulier :’kœN,P(X =k) =^G^(k)_k!⁽⁰⁾. P��. Xadmet un moment d’ordrepœN^úsi et seulement sigXestpfois déri- vable en1, et dans ce casG^(p)_X (1) =E[X(X≠1). . .(X≠p)].

P��. SiX |=Y alorsGX+Y =GXGY.

A��. Expression de l’espérance, la variance, ou plus généralement d’un moment en fonction des dérivées en�deGX.

A��. P(⁄) + |= P(⁄) =P(2⁄).

A��. On ne peut pas truquer deux dés de sorte que la somme des points obtenue en les lançant suive une loi uniforme.

P��. [�� G��-W��]

Soient(X_i^j)i,jØ1des v.a. i.i.d. à valeurs dansN. On noteµleur loi,mleur espérance et on définit le processus(Zn)nœNparZ0 = 1etZn+1 = qZn

i=1X_iⁿ⁺¹pourn œ N. et enfin ﬂ=P(÷nØ0|Zn= 0). Alors siµ”=”1, on a :

• simÆ1,ﬂ= 1et on a extinction du processus presque surement,

• sim >1,ﬂ<1et il y a une probabilité strictement positive de survie.

R��. Lorsque la variable aléatoire n’est pas à valeur dansNp.s., on utilise alors la caractérisation par la fonction caractéristique, valable pour des variables aléatoires quel- conques. Par exemple pour calculer la loi d’une variable aléatoire multinomiale dont le pa- ramètrenn’est pas déterministe mais suit une loiP(⁄).

A��. [�� ]

Soient(pj)1ÆjÆddes réels positifs tels queq

1ÆjÆdpj = 1. Soient(Y^k)kØ1des variables aléa- toires indépendantes et identiquement distribuées telles queP(Y^k = j) = pj. SoitN indé- pendante des(Y^k)kØ1de loiP(⁄)pour un⁄>0.

En posantX^k= (1_Yk=1, . . . ,1_Yk=d), la loi deS =qN

k=1X^kestP(⁄p1)¢· · ·¢P(⁄pd).

III. Vers les Théorèmes limites

[BL��, §V.�, p��–��]

On considère des variables aléatoires discrètes à valeurs dansR.

III. A. Théorèmes limites

P��. Soient(Xi)_iœNetXdes variables aléatoires discrètes. AlorsXi L iæ+Œ≠æ X si et seulement si’xœ F,P(Xi =x) _i_æ+Œ≠æ P(X =x), oùF =ﬁⁱœNE_i^ÕﬁE^Õest dénom- brable, avec’iœN, XiœE_i^Õp.s. etXœE^Õp.s..

T��. [�� ]

Soit(Xi)_iœNúune suite de variables aléatoires de loiB(i, pi)avecipi _iæ+Œ≠æ ⁄>0.

AlorsXi L

iæ+Œ≠æ XoùX ≥P(⁄).

T��. [�� ]

Soit(Xi)iœN^úune suite de variables aléatoires réelles i.i.d. de carré intégrable. Alors :

Ô1 n

qn

i=1(Xi≠E[X1]) _n_æ+Œ≠æ^L Z ≥N(0,Var(X1))

A��. [�� ] [RS��, §�.�, p��]

Soient(Xi)_iœNú des réalisations i.i.d. deB(p)pour unp œ [0,1]inconnu. Le théorème central limite donne un intervalle de confiance asymptotique de niveau–pourpen fonction de la moyenne empiriquepˆn = ¹_nqn

k=1Xi:IC–(p) = Ë ˆ

pn±^q^1≠–/2₂ ^Ô¹_nÈ

, oùqtest le quantile d’ordretdeN(0,1).

III. B. Chaînes de M��

Définition d’une CM, exemple d’une marche aléatoire

Existence et unicité d’une mesure invariante à constant multiplicative près si la chaîne est irré- ductible récurrente

Si de plus la chaîne est apériodique et admet une probabilité asymptotiqueµ, alors on a convergence en loi deXnversµ

(4)

��

[BL��, Appendice, p��]

Tableau des principales lois discrètes

SoitXune loi discrète etpœ[0,1], qœ]0,1[, nœN,⁄>0.

L(X) P^X E[X] Var(X) GX(t)

U(J1, nK)

ÿn k=1

1

n”k n+ 1

2 n²≠1

12 1

n

t≠tⁿ⁺¹

1≠t (t”= 1) B(p) p”₁+ (1≠p)”0 p p(1≠p) 1≠p+pt B(n, p)

ÿn k=0

3n k 4

p^k(1≠p)^n≠k”k np np(1≠p) (1≠p+pt)ⁿ

P(⁄) ÿ^Œ

k=0

⁄^ke^≠^⁄

k! ”k ⁄ ⁄ e^(⁄≠1)t

G(q) ÿ^Œ

k=1

q(1≠q)^k^≠¹”k 1 q

1≠q q²

pt 1≠(1≠p)t

��

Voir également [Mé��].

��

Q Vous dites dans votre plan que l’on peut aussi utiliser la fonction caractéristique lorsque la variable aléatoire n’est plus à valeurs dansN. Mais si elle l’est, peut-on aussi l’utiliser? Quels résultats a-t-on? Avez-vous un exemple de fonction caractéristique?

R Oui bien sur, car la fonction génératrice n’est rien d’autre que la fonction caractéristique prise en certaines valeurs! Donc on va avoir des résultats de caractérisation, etc ... Je donne l’exemple de la fonction caractéristique d’une loi deP��, et dis que dans les autres cas ça revient souvent à remplacer letde la fonction génératrice pare^it.

Q Avez-vous des exemples de processus discrets?

R Les chaines de M��, les marches aléatoires qui sont aussi une chaine de M��

d’ailleurs.

Q Pouvez-vous me donner la preuve de votre théorème pour montrer qu’il existe une unique mesure invariante?

R Alors évidemment, il faudrait introduire tout ce qui est récurrence, transience, temps d’arrêt, mais en gros on va expliciter la mesure en question. On utiliseM��fort, puis sixœ E est fixé, on considère‹:y‘≠æE[qTx≠1

n=0 1_X

n=y].

Q Quelle définition de convergence en loi utilisez-vous et comment on montrez-vous le résul- tat sur la convergence en loi de variables discrètes.

R J’énonce à l’oral la condition de convergence en loi, puis je ne me souviens que d’un des deux sens, pour lequel je fais un dessin de la fonction à utiliser ...

Q Pour montrer le théorème central limite, est-ce vous utilisez cette caractérisation-là?

R Non il faut passer par la fonction caractéristique, on va pouvoir faire un développement li- mité à l’ordre2car la fonction caractéristique estC², les variables aléatoires étantL². Q Soient(Xi)ides vas indépendantes et identiquement distribuées de loi géométrique. Com-

ment calculeriez-vous la loi deinf(Xi)i? R On regarde la fonction de répartition.

Q Et que pouvez-vous me dire de la variable aléatoire qui modélise le temps d’attente avant un deuxième succès?

R J’hésite un peu mais propose le calcul suivant oùTiest le temps dei-ième succès : P(X2=k) =^k≠1ÿ

n=1

P(X2=kﬂX1=n) =...= (k≠1)p²(1≠p)^k^≠2

On pouvait également passer par un systèmes complet d’événements :X2=ksi une seule desk≠1premières variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuéesB(p) est un succès, ...

Q On regarde la marche aléatoire simple surZetAnl’événement|Sn|Æ 2Cnln(n)oùC est une constante. On veut montrer quelim infAni.s..

R Ça nous fait penser à utiliserB��-C��, qui donnelim infA^c_ni.s.. Je cite ensuite l’in- égalité deH��, on me dit non plus simple, j’écris celle deB��-T��mais ça ne su�it pas pour conclure, la majoration est trop grossière. Je repars surH��.

Q Ok ça doit marcher comme ça mais est-ce que l’on peut utiliser plus simple?

R Je ne vois pas. On me dit d’utiliser les fonctions génératrices, mais l’oral s’arrête là.

��

[BL��] P.B��et M.L��:Probabilité. EDP Sciences,��.

[CDGM��] M.C��, C.D��, V.G��-C��et T.M��:Exercices de probabilités.

Cassini,��.

[Mé��] S.M��: Aléatoire : introduction à la théorie et au calcul des probabilités. Les éditions de l’École Polytechnique,��.

[Ouv��] J.-Y.O��:Probabilités : Tome�. Cassini,�^èmeédition,��.

[RS��] V.R��et G.S��:Statistique mathématique en action. Vuibert,�^èmeédition,

��.

￿￿￿ VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES. EXEMPLES ET APPLICATIONS.