B-TD2bis

UPMC Séries de fonctions et intégrales dépendant d’un paramètre 2M261 printemps 2017

Amphi B, feuille d’exercices n^o2 bis : logarithme complexe, transformation d’Abel

Exercice 1 (Logarithme complexe). SoitU un ouvert de C,f :U ÑC une fonction dérivable.

1. Dans cette question, on suppose quef est une bijection deU sur son imagefpUq et l’on noteφla bijection réciproque. SoitzPU. Pour tout vPfpUq tel que v­“fpzq, on a

φpvq ´φpfpzqq v´fpzq

fpφpvqq ´fpzq φpvq ´z “1.

En déduire que siφ est continue au pointfpzq et si f¹pzq ­“ 0,¹ alors φest dérivable en fpzq, de dérivée φ¹pfpzqq “1{f¹pzq.

SoientΩ“ x`iθ PC|x PR, θP s´π, πr(

etΩ¹ “C´R´ “ tz PC|z RR´u. On rappelle (cf. feuille n^˝1) que l’applicationexp : ΩÑΩ¹,z“x`iθÞÑexppzq “e<sup>x</sup>e<sup>iθ</sup> est une bijection de Ω surΩ<sup>1</sup>. On note Log la bijection réciproque, i.e. tout v PΩ<sup>1</sup> s’écrit de façon unique v “re<sup>iθ</sup> avecr “ |v|etθP s´π, πr, et l’on poseLogpvq “logprq `iθ.

2. Dans cette question, on identifieCàR²muni de la norme euclidienne}px, yq}₂ “a

x²`y². Montrer alors que l’applicationLog : Ω¹ ÑΩest continue.

3. Montrer que pour toutvPΩ¹,Logest dérivable en v, de dérivée Log¹pvq “1{v.

4. SoitU “ tzPC|1´zPΩ¹u etL:U ÑC,zÞÑ Logp1´zq. Montrer que L est dérivable surU, de dérivée L¹pzq “ ´1

1´z.

5. On pose Dp1q “ tz P C | |z| ă 1u. Montrer que pour tout z P Dp1q on a Logp1´zq “

´ř

ně1

zⁿ n.

Exercice 2 (Optionnel). Soient U, V deux ouverts de C et f : U Ñ V et g : V Ñ C deux fonctions dérivables.

1. Soit z PU. Montrer que g˝f est dérivable en z, de dérivée pg˝fq¹pzq “ g¹pfpzqqf¹pzq. Indication :écrirefpz`hq “fpzq `f¹pzqh`εphqhetgpfpzq `kq “gpfpzqq `g<sup>1</sup>pfpzqqk` ηpkqk, où les limites en 0 de ε et η sont nulles, puis appliquer la deuxième égalité à k“f¹pzqh`εphqh.

2. SoitzPU tel quefpzq ­“0. Montrer que la fonctiona“1{f est dérivable enz, de dérivée a¹pzq “ ´f¹pzq{fpzq².

Exercice 3 (Transformation d’Abel et conséquences). SoitSpzqla série entière ř

ně1

zⁿ n. Pour toutδP s0,1son poseK_δ“ tzPC| |z| ď1, |z´1| ěδu.

1. Déterminer le rayon de convergence deS.

1. On peut montrer que sif¹pzq ­“0alorsφ est continue au pointfpzq; c’est une conséquence du théorème d’inversion locale, cf. 2M216.

1

2. Faire une figure soignée représentantK_δ.

3. SoitΓ“ tzPC| |z| “1, z ­“1u. Pour toutzPΓ etm, pPN, montrer que

p˚q |z^m` ¨ ¨ ¨ `z^m`p| ď 2

|z´1|.

4. Soit δ P s0,1s. En utilisant la transformation d’Abel, montrer que la série ř

ně1

zⁿ converge uniformément sur K_δ. En déduire que la fonction z ÞÑ Spzq est continue surn Kδ.

5. Pour toutθP s0,2πr, montrer quee^iθ´1“2isinpθ{2qe^iθ{2 “2 sinpθ{2qe^ipθ`πq{2.

Désormais, on fixeθP s0,2πret l’on posec_θ“2 sinpθ{2q. On rappelle que le segmentr1, e^iθsest l’ensemble des1`tpe<sup>iθ</sup>´1q, pourtP r0,1s; d’après la question précédente, c’est aussi l’ensemble des1`te^ipθ`πq{2, pourtP r0, cθs. On rappelle aussi que le disque ferméDp1q “ tzPC| |z| ď1u estconvexe. Enfin, on fixeδą0tel que δ ăc_θ.

6. En utilisant la question (4), montrer que l’applicationf :rδ, c_θs ÑC,tÞÑS`

1`te<sup>ipθ`πq{2</sup>˘ est continue.

7. En utilisant l’exercice 1 et la question (5), déterminerfptq pour tout tP rδ, c_θr. 8. Déterminer, en le justifiant, la valeur deSpe^iθq.

9. Pour tout n PN^˚, on note a_n l’unique élément de t1,´1,0u tel que n ” a_n mod 3. En appliquant ce qui précède àθ“2π{3, déterminer la somme σ de la série

ÿ

ně1

a_n

n “1´1 2 `1

4 ´1 5` ¨ ¨ ¨

2