N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
P AINVIN
Solution de la question 300
Nouvelles annales de mathématiques 1
resérie, tome 14
(1855), p. 254-257<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1855_1_14__254_1>
© Nouvelles annales de mathématiques, 1855, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
SOLUTION AË LA QUESTION 3 0 0
( voir page 137 ) ,
PAR M. PAINVIN, Docteur es Sciences mathématiques.
Trouver une fonction de a , £, c, d, telle, qu'en v faisant b = «> elle devienne — - , et en y faisant
7. ( c -f- cl ) J
c = d^ elle devienne — yy
Soit ƒ ( a , è , c , G?) la fonction cherchée-, posons
« — ^> c — d
tPoùoù
20; ï
ï — 9 y
alors
= V{x,y,b,d).
Il s'agit de déterminer F par la condition que pour x = o elle devienne y et pour y = o elle devienne x.
?{v,y,b,d) —
b> (d>¥\
~7TT ,( d'F\
Ydbddjo
( )0 indiquant qu'on a fait, dans la fonction renfermée 'litre parenthèses,
x=o, y=o, b = o, d=o, ^ Pour y = o , F ( . r , y , è , d) doit devenir a: ; introdui- sons cette hypothèse dans l'identité ( i ) , on devra avoir encore une identité e n ^ , ce qui fournira les conditions :
(3)
= o , dPY
= °5 F (^r, y, A . r/) doit se réduire àyy ce qui
( 256 )
fournira les nouvelles conditions
(4)
R e m a r q u o n s que l'équation ( 2 ) exprime que
F(o,o, b,d)=o,
c^est-à-dire que F (,r,y, £, */) se réduit à zéro lorsqu'on y fait à la fois x = o et j = o, ou bien que F («, b, c, J) se réduit à zéro lorsqu'on y fait à la fois a = b et c = d.
En vertu de ces relations F ( x , j " , fe, c?) prendra la forme
(5) x
1.2
y l d*¥ \
Or, dans tous les termes renfermés dans cette paren- thèse , on a
b = o, d = o, et, par suite,
C = O ,
puisque # ety sont quelconques. De plus, les coefficients des différentes puissances de x et y ne sont assujettis à aucune condition, et sont, par conséquent, entièrement arbitraires -, donc l'expression entre parenthèses est une fonction arbitraire des seules variables x et y qui se ré-
, . ,
M
2F\
<luit a I -—- ) pour x = o et r = o.
ç étant une fonction arbitraire de x et y 5 satisfait donc à toutes les conditions de la condition; il est d'ailleurs facile de le vérifier. f
Par conséquent,
a-~6 c — d (a—-b)(c—d)
'(* ' 'C' j~ 2 ( « + ^+2 ( c + rf)+4(a-M)(c-+-rf)?
est la fonction la plus générale qui satisfasse à la question.
Il est bien évident que nous pouvons prendre pour <p une fonction arbitraire de a, b , e, d en l'assujettissant à la seule condition de ne pas devenir infinie lorsqu'on y fait fl = J o u c = r f ' , condition nécessaire pour pouvoir em- ployer le développement (i) et qui d'ailleurs était imposée par l'énoncé même de la question.
On a donc définitiveimeiit
ac — bd-±-(a — b)(( —d)M
J (* + b){c + d) ' M étant une fonction quelconque de a, b , c, d.
Note du Rédacteur. Dans une lettre à Hüyghens, Leibnitz pose la question et donne pour solution
ac — bd (a-hb)(c + d )h
cas particulier (*).
