N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
J. M URENT
Seconde solution de la question 300
Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 14 (1855), p. 368-370
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SECONDE SOLUTION DE LA QUESTION 500
• voir pajre 2ói ) ,
PAR M. J. MURENT, Licencié es Sciences.
PROBLÈME. Trouver une fonction de a, b , c, d telle, au en y faisant b = a elle devienne — - , et en y
1 J J 2 (c -f- d) J
faisant d = c elle devienne -—. —p • LEIBNITZ.
J i (a -h b)
Solution. Désignons par F (a, b, c, d) la fonction demandée. Cette fonction devant se réduire à —
a ( r + f / )
( 36.9 )
lorsqu'on y fait b= a, sera de la forme
(,) F (a, b, c, d) = 2C{~+dd) + (a - b)/(a, b,c,d),
ƒ étant une fonction inconnue qui ne devient pas infinie lorsque b = a. Afin de déterminer cette fonction ƒ, fai- sons d = c dans l'égalité (i). Le premier membre devra,
i , t 11, , , 1 . * n — b
d après 1 énonce, se réduire a r-? et nous aurons
1 ' 2(*H-£j
et, par suite,
/(n, b, r, cr) =
2 (a -f- b)
Cette relation montre que la fonction f (a, &, c, r/) doit être telle, qu'elle devienne —7 r-p lorsqu'on y fait d •=. c : donc cette fonction est de la forme
Q étant une nouvelle fonction qui ne devient pas infinie pour d = c. On voit de plus, par cette dernière égalité, que y doit aussi rester finie pour b =z a puisqu'il en est ainsi de la fonction ƒ.
Substituant la dernière valeur de ƒ dans l'égalité (1), il vient
F ( a , b , c , d ) = C (\
v ' ' '
wi A? Mathëntau, t. XIV. (Octobre i355.)
( 3 7 0 ) ou , en réduisant,
_ , . . ac — bd
F [ a , b , < ? , < / ) = -
•+•(** — b) ( r — • d) o [a, ù, c , ^ ) .
Cette formule donnera une infinité de fonctions satis- faisant aux conditions de l'énoncé *? il suffira de prendre pour (f une fonction quelconque de a? &, c, d, qui ne devienne infinie ni pour b = #, ni pour d= c.
T , . ac ~- bd i i • i i
L expression 7 — sera la plus simple des
r (a -{- b)(c -t- d) r A
fonctions qui répondent à la question.
