Nous optons pour la première

G160 – Un gros rhume

En hiver quand j’attrape un gros rhume, mon nez coule comme une fontaine et je prends la précaution de préparer chaque matin deux paquets de n mouchoirs en papier chacun que je mets respectivement dans la poche droite et dans la poche gauche de ma veste. Quand j’ai besoin d’un mouchoir, je choisis au hasard l’une des poches et je prends un mouchoir qui s’y trouve jusqu’au moment où je constate pour la première fois qu’une poche est vide.

1. Quelle est la plus petite valeur de n qui me donne plus de 3 chances sur quatre de trouver au moins 4 mouchoirs dans la deuxième poche afin d’avoir le temps de remplir à nouveau mes poches ?

2. Calculer pour cette valeur de n, l’espérance mathématique du nombre de mouchoirs qui restent dans la deuxième poche.

Nota :

L'énoncé a deux interprétations possibles. On déduit qu'une poche est vide :

 ou bien parce qu'on a pris le dernier mouchoir,

 ou bien parce qu'on cherche à nouveau un mouchoir dans cette poche pour constater qu'elle était vide.

Nous optons pour la première.

Solution par Patrick Gordon

Illustrons tout d'abord la question avec n = 3 (bien qu'il n'y ait dans ce cas évidemment aucune chance qu'il reste au moins 4 mouchoirs dans la deuxième poche).

Le problème est formellement équivalent à l'étude des chemins sur le triangle de Pascal symétrique (où l'on descend en allant, justement, tantôt à gauche tantôt à droite), entre l'origine et une case de la "colonne 3" orangée (ou son symétrique par rapport à la verticale grisée, qu'on appelle aussi la "ligne 3" – non indiquée ci-dessous pour ne pas alourdir la figure), jusqu'à la "base 6" incluse.

colonnes

bases 0

0 1 1

1 1 1 2

2 1 2 1 3

3 1 3 3 1 4

4 1 4 6 4 1 5

5 1 5 10 10 5 1 6

6 1 6 15 20 15 6 1 7

7 1 7 21 35 35 21 7 1 8

On ne peut arriver à une case orangée qu'à partir d'une case jaune – et ce d'une manière unique car, dès que l'on est sur une case orangée, le "jeu" est fini : on ne descend pas le long des cases orangées.

Le décompte à faire est donc celui des chemins aboutissant à une case jaune. Le nombre de mouchoirs restants est :

3 pour la première, à laquelle mène 1 chemin 2 pour la seconde, à laquelle mènent 3 chemins 1 pour la troisième, à laquelle mènent 6 chemins.

Ces chemins ont pour longueurs respectives 3, 4 et 5 (jusqu'à la case orange incluse, celle où l'on constate pour la première fois qu’une poche est vide) et donc pour probabilités

respectives : 1/8, 1/16 et 1/32.

Ces probabilités multipliées par les nombres de chemins respectifs ci-dessus (doublés par symétrie) donnent donc : 2/8, 6/16, 12/32, dont la somme est bien égale à 1.

En généralisant au cas de n quelconque, on trouve que la probabilité qu'il reste k mouchoirs dans la seconde poche lorsque la première est vide vaut :

pnk

= C (2n – k – 1 ; n – 1) / 2(2n – k – 1)

Pour n = 3, on retrouve bien les valeurs ci-dessus.

Pour n = 2, on trouve ½, ½ , ce qui est exact car, ou bien je tire tout d'abord 2 mouchoirs du même côté (ce qui ne peut se faire que de 2 façons, GG ou DD) – et il m'en reste 2; ou bien je tire tout d'abord 2 mouchoirs des deux côtés respectifs (ce qui ne peut se faire que de 2 façons, GD ou DG) et, quoi que je tire ensuite, il m'en restera 1.

Question 1

En utilisant cette formule générale de pnk

, on trouve au moyen d'un tableur que la plus petite valeur de n qui donne plus de 3 chances sur quatre de trouver au moins 4 mouchoirs dans la deuxième poche, c’est-à-dire telle que Pr [k ≤ 3] < ¼, est n = 47, ce qui semble beaucoup, si l'on tient compte de l'épaisseur d'un paquet de 10 mouchoirs Kleenex du commerce!

À noter que, avec la seconde interprétation de l'énoncé, on trouverait un nombre plus élevé encore.

Question 2

Pour n = 47, la formule de pnk

devient : p₄₇^k = C_93-k⁴⁶ / 2^93-k

En additionnant de k = 0 à 47 les termes k p₄₇^k, on trouve au moyen d'un tableur une espérance de 7,715 soit, en arrondissant : 8 mouchoirs.