Un aperçu sur le Lemme de Sperner
(par Claudio Baiocchi)On va profiter du casse-tête proposé par Diophante dans le numéro de mai (voir Le triangle obligé) :
A l'intérieur d'un triangle
équilatéral ABC, côtés inclus, on place un nombre arbitraire de points qui permettent de partager le triangle ABC en triangles plus petits adjacents entre eux comme dans la figure ci-contre. Les sommets des triangles sont désignés par les lettres A,B et C de façon
totalement arbitraire à l'exception des sommets situés sur les côtés du triangle ABC pour lesquels il est interdit d'utiliser la lettre du sommet opposé au côté. Montrer que parmi les petits triangles, l'un d'eux est toujours désigné par ABC.
pour donner un aperçu sur le Lemme de Sperner.
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Dans une triangulation du grand triangle ABC, les triangles dont les sommets (dans un ordre convenable) sont A, B et C seront dits complets; on va les appeler bien orientés ou mal orientés suivant que leur orientation coïncide ou non avec celle du grand triangle. On va montrer trois propriétés, de plus en plus précises :
(I) Il existe des triangles complets.
(II) Le nombre des triangles complets est impair.
(III) Le nombre de triangles bien orientés vaut 1 plus le nombre de triangles mal orientés.
REMARQUES Le résultat admet une généralisation en dimension quelconque, connue sous le nom de Lemme de Sperner; la raison du terme « Lemme » est qu’on l’emploie souvent comme résultat de base pour obtenir des nombreux théorèmes, par exemple le théorème de point fixe de Brower. Pour la généralisation à dimensions supérieures on aurait besoin d’une convenable généralisation de la notion de triangulation dont on ne peut pas s’occuper ici; au contraire, la formulation du lemme en dimension 1 est très simple: si l’on partage un grand segment AB en petits segments, en insérant un nombre fini de points appelés au choix A ou B, on a:
(i) il existe au moins un petit segment dont les extrémités sont A et B;
(ii) le nombre de ces segments est impair;
(iii) le nombre de segments AB vaut 1 plus le nombre de segments BA.
La démonstration de ces trois propriétés est immédiate par récurrence: si aucun point n’est inséré, on a juste un segment AB ; ensuite, chaque fois qu’on rajoute un nouveau point, on a:
Un point A dans un segment AA tue le segment AA de départ et engendre deux segments AA; le cas d’un point B dans un segment BB est semblable.
Un point B dans un segment AA tue le segment AA et engendre un segment AB et un segment BA.
Un point A dans un segment BB tue le segment BB et engendre un segment BA et un segment AB.
Un point A dans un segment AB tue le segment de départ et engendre un segment AA et un AB.
Un point B dans un segment AB tue le segment de départ et engendre un segment BB et un AB.
Un point A dans un segment BA tue le segment de départ et engendre un segment AA et un BA.
Un point B dans un segment BA tue le segment de départ et engendre un segment BB et un BA.
En tout cas la différence entre segments de type AB et segments de type BA n’est pas affectée par le nouveau point.
On va au préalable chercher, dans notre figure, les petits triangles ayant au moins un côté de type AB (ou BA; dans chaque petit triangle on fixe l’orientation du grand triangle). Naturellement, dans tout ce qui suivit, on peut remplacer le couple de lettres {A, B} par le couple {B, C} ou {C, A} et tout marcherait pareil.
On remarquera que:
1. Un côté commun à deux triangles est de type AB dans l’un des triangles si et seulement si il est de type BA dans l’autre.
2. Un triangle non complet ayant un côté de type AB (respectivement BA) a aussi un côté de type BA (respectivement AB); le troisième côté pouvant être de type AA ou BB.
D’après la propriété 1 on a le droit de colorier les triangles comme dans la suivante figure de gauche: couleur rouge pour AB, vert pour BA; dans la figure de droite on a aussi tracé, en noir, les chemins qui traversent les cotés AB et/ou BA:
Pour ce qui concerne les traits noirs, on a bien le droit de les appeler chemins car, d’après la propriété 2, on est sur qu’il n’y a pas de bifurcations; et on peut a priori prévoir quatre types de chemins (non tous présents dans la figure; pour voir ceux qui manquent il suffirait de refaire la figure remplaçant le couple {A, B} par le couple {B, C} ou {C, A}):
ceux qui sont complètement internes au grand triangle ABC; dans ces chemins, seul les triangles aux extrémités sont complets; l’un est bien orienté, l’autre est mal orienté;
ceux qui, partant d’un morceau de bord du grand triangle colorié en rouge, s’arrêtent à l’intérieur;
dans ce cas c’est seulement le triangle final qui est complet, et il est bien orienté;
ceux qui, partant d’un morceau de bord du grand triangle colorié en vert, s’arrêtent à l’intérieur; dans ce cas c’est seulement le triangle final qui est complet, et il est mal orienté;
ceux qui entrent et sortent d’un coté du grand triangle; pas de triangles complets le long de ces chemins. Naturellement, n’ayant pas orienté nos chemins, les mots entrer et sortir sont
interchangeables; en tout cas on remarquera que, pour ce qui concerne les côtés d’entrée-sortie, ils sont de couleur différente.
Naturellement la démonstration des propriétés énoncées ci-dessus pour les quatre types de chemins est immédiate, grâce à l’alternance rouge-vert des couleurs rencontrées.
Par ailleurs, le long du bord du grand triangle, c’est seulement sur AB qu’on peut trouver le coté d’un petit triangle avec sommets A et B; les propriétés (I), (II), (III) du Lemme de Sperner découlent alors
immédiatement des analogues (i), (ii), (iii) du lemme en dimension 1.
REMARQUES FINALES
1. Dans la version italiennede wikipedia:http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Sperner, on trouve un traitement semblable à celui décrit ici, développé en terme du graphe dual; la version englaise donne aussi quelques idées pour ce qui concerne les dimensions supérieures. Malheureusement, il n’existe pas de version française…
2. La démonstration donnée est de type constructif : il suffit de parcourir un coté, disons XY, du grand triangle; et de suivre tous les chemins qui naissent d’un petit segment avec sommets X et Y (et on pourrait se borner aux segments de type XY). Quelques uns de ces chemins peuvent terminer sortant du grand triangle, mais un au moins doit terminer dans un triangle complet.
3. Dans le beau site « cut-the-knot » était prévu un applet pour visualiser le phénomène:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SpernerLemma.shtml mais malheureusement l’applet ne marche pas.
