E630 : Le marchand d’huile
Un marchand d’huile doit livrer une quantité d’huile comprise entre un et douze litres mais il ne la connaît pas à l’avance. Pour ce faire, il dispose de trois récipients vides de 7,8 et 9 litres ainsi que deux récipients pleins de 12 et 13 litres. Son âne blessé par son bât ne peut porter que trois récipients : deux vides et un plein. Quels sont ces trois récipients si le marchand veut être assuré de livrer
n’importe quelle quantité d’huile exprimée sous la forme d’un nombre entier de litres variant de 1 à 12
?
Soient les bidons vides A et B, de contenance a et b, et le bidon plein C de
contenance c, a<b<c. On peut mesurer c, remplir A avec C, pour mesurer a et c-a; ou remplir B avec C, pour b, et c-b puis A avec B, pour b-a, puis A dans C pour c+a-b.
On transvase B dans A, et on peut recommencer le cycle de manipulations, tout se passant comme si A avait une capacité de 2a-b: on remplit B avec C, on obtient c+a-2b, puis A avec B, 2b-2a, puis en versant A dans C, c+2a-2b, etc...
On peut obtenir ainsi toutes les quantités multiples de b-a inférieures ou égales à c-a, et leur complément à c. Si b-a=1 et c-a=6, soit (a,b,c)=(7,8,13) on obtient toutes les quantités entre 1 et 12.
Il est facile de vérifier que c’est impossible dans les autres cas: pour (a,b,c)=(7,8,12), (8,9,12), (7,9,12), (8,9 13) on ne peut obtenir 6, et pour (7,9,13) on ne peut obtenir 1.
