L3 SM UE604P Universit´ e de Tours Ann´ ee 2010-2011
M´ ethodes math´ ematiques pour la physique
contrˆ ole continu du 01/03/2011 dur´ ee: 2h
1. Soient L±,Lz trois op´erateurs suivants:
L+ = z2∂z+∂z¯, L− = −∂z−z¯2∂¯z,
Lz = z∂z−z∂¯ z¯,
o`u∂z et ∂z¯notent les d´eriv´ees par rapport `a zet ¯z. Montrer que ces op´erateurs v´erifient les relations de commutation de l’alg`ebre du moment angulaire.
2. D´emontrer la relation suivante pour les fonctions de Bessel:
Jν(r) = r
2ν(Jν−1(r) +Jν+1(r)).
3. Donner la forme explicite des harmoniques sph´eriques Y−13 (θ, ϕ) et Y−12 (θ, ϕ). Calculer l’int´egrale Z π
0
Z 2π
0
Y−12 (θ, ϕ)Y−13 (θ, ϕ) sinθ dθ dϕ.
4. Dans cet exercice on s’int´eresse `a l’´equation de Kummer:
xy00(x) + (b−x)y0(x)−ay(x) = 0. (1)
Icixnote la variable ind´ependante eta, b∈Csont des param`etres constants. On cherche une solution de cette ´equation sous la forme
y(x) =
∞
X
k=0
αkxk. (2)
• Trouver une relation de r´ecurrence pourαk.
• Montrer que la solution de cette relation est donn´ee par
αk = 1 k!
Γ(b)Γ(a+k) Γ(a)Γ(b+k)α0.
La solution (2) de (1) avec α0= 1 s’appelle la fonction de Kummer et est not´eM(a, b, x).
• Montrer que pour Reb >Rea >0 la fonctionM(a, b, x) admet la repr´esentation int´egrale suivante:
M(a, b, x) = Γ(b) Γ(a)Γ(b−a)
Z 1
0
extta−1(1−t)b−a−1dt.
Rappels:
Z 1
0
tp−1(1−t)q−1dt=Γ(p)Γ(q)
Γ(p+q), Γ(z+ 1) =zΓ(z).
