Examen du 7 Mars 2012

Universit´e d’Artois

Facult´e des sciences Jean Perrin Licence de Math´ematiques ModuleCalcul Diff´erentiel 1

Examen du 7 Mars 2012

Dur´ee : 4h

Questions de cours.

(1) Soit n ∈ N^∗. On munit M_n(R) d’une norme matricielle. Montrer que si H ∈M_n(R) v´erifie kHk<1 alors Id−H est inversible et

(Id−H)⁻¹ =

∞

X

k=0

H^k, o`u la s´erie converge dans Mn(R).

(2) Soit F un espace de Banach, et soit ϕ: [0,1]→F une fonction de classeC². On suppose qu’on a ϕ⁰(0) = 0, et kϕ⁰⁰(t)k ≤t²− ^t₂³ pour tout t ∈ [0,1]. En utilisant la formule de Taylor, montrer quekϕ(1)−ϕ(0)k ≤ ₁₂₀⁷ ·

(3) Pour α >0, on d´efinit f_α :R² →R par f_α(0,0) = 0 etf_α(x, y) = _(x2+y^xy2)^α si (x, y)6= (0,0).

(a) Montrer que f_α poss`ede des d´eriv´ees partielles en tout point et calculer ces d´eriv´ees partielles.

(b) Montrer que si α <1/2, alors f_α est de classe C¹ surR².

(4) Soit (a_n)n∈N une suite born´ee de nombres r´eels, et soit (b_n) une suite de fonctions de classe C¹ sur R², `a valeurs r´eelles. On suppose qu’il existe une fonction continue b : R² → R telle que b(x, y) > 0 pour tout (x, y) ∈ R² et b_n(x, y) ≥ n b(x, y) pour tout n ∈ N. On supose ´egalement qu’il existe une fonction continueM :R² →Rtelle que

^∂b_∂xⁿ(x, y)

≤M(x, y) et

∂bn

∂y(x, y) ≤ M(x, y) pour tout n∈N et pour tout (x, y)∈R². Montrer que la formule

f(x, y) =

∞

X

n=0

a_ne^−bn(x,y)

a un sens pour tout (x, y)∈R², et que la fonction f est de classeC¹ surR².

1

2

(5) D´eterminer les extrema locaux de la fonctionf :R² →Rd´efinie parf(x, y) = x⁴+y⁴−(x+y)².

(6) Soit Φ :R³ →R³ l’application d´efinie par

Φ(u, v, w) = (usinvcosw, usinvsinw, ucosv).

Montrer que Φ est un diff´eomorphisme local en tout point (u, v, w) tel que u6= 0 et sinv 6= 0.

Exercice 1. Soit f : R³ → R une fonction de classe C¹, qu’on notera (p, v, t) 7→

f(p, v, t). On suppose que les d´eriv´ees partielles de f ne s’annulent en aucun point.

Soient ´egalement P, V, T trois fonctions de classe C¹ sur R², qu’on notera (v, t) 7→

P(v, t), (p, t)7→V(p, t) et (p, v)7→T(p, v). On suppose que pour tout point (p, v, t)∈ R³, on a

f(p, v, T(p, v)) =f(p, V(p, t), t) = f(P(v, t), v, t) = 0.

(1) D´eriver la relation f(p, v, T(p, v)) = 0 par rapport `a p, puis exprimer <sup>∂T</sup><sub>∂p</sub> `a l’aide des d´eriv´ees partielles de f.

(2) Exprimer ^∂V_∂t et ^∂P_∂v `a l’aide des d´eriv´ees partielles de f.

(3) Montrer que sip, v, t v´erifient p=P(v, t),v =V(p, t) et t =T(p, v), alors

∂P

∂v(v, t)× ∂V

∂t(p, t)× ∂T

∂p(p, v) =−1.

Exercice 2. Soit n ∈ N^∗. On munit M_n(R) d’une norme matricielle et on fixe une matriceA ∈M_n(R) v´erifiant kA−Idk ≤ ¹₆·

(1) En utilisant une des questions de cours, montrer que la matrice A est in- versible et qu’on a

kId−A⁻¹k ≤ 1 5· (2) Soit f :M_n(R)→M_n(R) l’application d´efinie par

f(X) = 2X−XAX . (a) Calculer f(A⁻¹).

(b) Montrer quef est diff´erentiable surM_n(R) et d´eterminer sa diff´erentielle en tout point X ∈M_n(R).

(c) Montrer que pour tout X ∈M_n(R), on a

kDf(X)k ≤ kId−AXk+kId−XAk.

3

(3) PourX ∈Mn(R), d´emontrer les deux implications suivantes : kX−Idk ≤ 1

5 =⇒ kX−A⁻¹k ≤ 2 5; kX−A⁻¹k ≤ 2

5 =⇒ kAX−Idk ≤ 7

15 etkXA−Idk ≤ 7 15· (4) On pose

B=

X ∈M_n(R); kX−A⁻¹k ≤ 2 5

.

Montrer qu’il existe une constante k < 1 `a pr´eciser telle que l’application f estk-lipschitzienne sur B.

(5) SoitX₀ ∈M_n(R) v´erifiantkX₀−Idk ≤ ¹₅·On d´efinit une suite (X_m)_m∈Npar la r´ecurrenceXm+1 =f(Xm). Montrer queXm ∈Bpour tout m∈N, et que la suite (X_m) converge versA⁻¹.

Exercice 3. Dans tout l’exercice, on fixe un entier n ∈ N^∗, une matrice A = (a_ij)ⁿ_i,j=1 ∈ M_n(R) et des nombres r´eels b₁, . . . , b_n. On suppose que la matrice A est positive, avec A 6= 0. Si u est une fonction de classe C² sur un ouvert Ω ⊂ Rⁿ, on pose

Lu=

n

X

i,j=1

a_ij ∂²u

∂x_i∂x_j +

n

X

j=1

b_j ∂u

∂x_j · (1) On note T r(M) la trace d’une matrice M ∈M_n(R).

(a) Montrer que si A⁰ une matrice diagonale `a coefficients positifs et si H⁰ est une matrice positive, alors T r(A⁰H⁰)≥0.

(b) En d´eduire que si H est une matrice positive, alors T r(AH)≥0.

(2) Soitu une fonction de classeC² sur un ouvert Ω⊂Rⁿ. Montrer que si x∈Ω v´erifie Du(x) = 0, alors

Lu(x) =T r(AHu(x)), o`u H_u(x) est la matrice hessienne de u au point x.

(3) D´eduire de (1) et (2) que si u est une fonction de classe C² sur un ouvert Ω⊂Rⁿet siuposs`ede un maximum local en un pointz ∈Ω, alorsLu(z)≤0.

(4) Soit Ω un ouvert born´e deRⁿdont la fronti`ere est not´ee∂Ω, et soitu: Ω→R une fonction continue sur Ω et de classe C² dans Ω. On suppose qu’on a Lu(x)≥0 pour tout x∈Ω.

(a) On rappelle queA6= 0. En consid´erant la trace de la matriceA, montrer qu’il existe s ∈ {1, . . . , n} tel que a_ss >0.

(b) Justifier l’existence d’un nombre r´eel λ tel que λ²a_ss+λb_s >0.

4

(c) Pour m∈N, on d´efinit une fonction u_m : Ω→R par u_m(x) =u(x) + 2^−me^λxs,

o`u x<sub>s</sub> est la s-`eme coordonn´ee de x. Montrer qu’on a Lu_m(x)>0 pour tout x∈Ω.

(d) Soit m ∈N. Justifier l’existence d’un pointzm∈Ω tel que

∀x∈Ω : u_m(x)≤u_m(z_m),

et montrer `a l’aide de (3) qu’on a n´ecessairementz_m ∈∂Ω.

(e) Montrer que si (ξ_k)k∈N est une suite de points de Ω convergeant vers un point ξ ∈Ω et si (m_k)k∈N est une suite strictement croissante d’entiers, alors um_k(ξk) tend vers u(ξ) quand k→ ∞.

(f) Montrer que pour tout x∈Ω, on a

u(x)≤sup{u(ξ); ξ ∈∂Ω}.