Il faut donc au moins 1 permutation supplémentaire, si elle peut servir à placer correctement les cartes n°1 et 100 du même coup

E5903. Le coût minimal

Cent cartes numérotées de 1 à 100 sont alignées dans cet ordre sur une même rangée. La permutation de deux cartes adjacentes coute un euro tandis que la permutation de deux cartes avec exactement k cartes placées entre elles est gratuite. Déterminer le coût minimal du classement des cartes dans l’ordre inverse de 100 à 1 avec k = 3 et k = 4.

Résolution

Nous pouvons décrire une procédure permettant d’échanger « gratuitement » les cartes numéro n et n+a(k+1), pour a Z donné, par sauts successifs de longueur k de la carte n (qui vont déplacer les cartes n+ (k+1) intermédiaires dans une direction) et sauts successifs de la carte n+a(k+1) dans l’autre direction (ce qui remettra les cartes intermédiaires à leur place initiale). Par exemple, pour k=3, on peut échanger les cartes n°1 et 17 :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

5 2 3 4 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

5 2 3 4 9 6 7 8 1 10 11 12 13 14 15 16 17

5 2 3 4 9 6 7 8 13 10 11 12 1 14 15 16 17

5 2 3 4 9 6 7 8 13 10 11 12 17 14 15 16 1

5 2 3 4 9 6 7 8 17 10 11 12 13 14 15 16 1

5 2 3 4 17 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1

17 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1

Pour accéder aux autres places, il est nécessaire d’ajouter quelques permutations avec ses voisines, en partant de la place n+a(k+1) la plus proche.

Cas k=3

La carte numéro n qui doit rejoindre la place 101-n doit parcourir un nombre impair de places, soit (101-2n), elle doit donc effectuer au moins une permutation coûtant 1. Si chaque permutation permet de placer deux cartes à la bonne place, il faut donc au moins 50 permutations. Pour les cartes n°1 et 100, il faut des permutations supplémentaires car elles ne peuvent rejoindre la « 101^e » ou la

« 0^e » place mais doivent s’arrêter à la 97^e ou la 4^e place. Il faut donc au moins 1 permutation supplémentaire, si elle peut servir à placer correctement les cartes n°1 et 100 du même coup.

Démontrons maintenant qu’il existe une méthode de classement à ce coût de 51 € :

• pour tout n compris entre 1 et 24, échanger les cartes n° 2n et 2n+1 avec, respectivement, les cartes 100-2n et 100-2n+1 (déplacements de longueur 4n gratuits par sauts successifs)

1 2 3 4 5 … 48 49 50 51 52 53 … 96 97 98 99 100

=> 1 98 99 96 97 … 52 53 50 51 48 49 … 4 5 2 3 100

• permuter ensuite chaque carte avec sa voisine, soit pour tout n compris entre 1 et 49, échanger les cartes placées en 2n et 2n+1. Cela coûte 49 €.

=> 1 99 98 97 96 … 53 52 51 50 49 48 … 5 4 3 2 100

• amener la carte n°100 en 97^e place par un saut gratuit à la 96^e place et une permutation coûtant 1 €

=> 1 99 98 97 96 … 53 52 51 50 49 48 … 4 100 3 2 5

• échanger les cartes n°1 et 100, qui sont bien à 96 cartes d’écart, par saut gratuit

=> 100 99 98 97 96 … 53 52 51 50 49 48 … 4 1 3 2 5

• amener la carte n°1 en 100^e place par une permutation coûtant 1 € avec la 96^e et un saut gratuit

=> 100 99 98 97 96 … 53 52 51 50 49 48 … 5 4 3 2 1 L’échange est réalisé et il a effectivement coûté 49 + 1 + 1 = 51 €.

Cas k=4

Avec un raisonnement similaire,

• les cartes n ≡ 3 mod 5 peuvent rejoindre directement leur place de destination par échange gratuit avec les cartes 101-n,

• les autres cartes devront réaliser 2 permutations pour rejoindre leur place de destination,

• 1 permutation supplémentaire est nécessaire pour chacune des cartes n°1 et n°100, par effets de bord.

Le coût est donc au moins de (2*80+2)/2 = 81 €, si chaque permutation permet de mettre 2 cartes à leur bonne place d’un seul coup.

Décrivons maintenant une méthode économique de classement à ce coût :

• pour tout n compris entre 0 et 9, échanger les cartes 5n+2, 5n+3, 5n+4 avec respectivement les cartes n° 97-5n, 98-5n, 99-5n, par sauts gratuits,

• pour tout n compris entre 1 et 9, échanger les cartes 5n, 5n+1 avec respectivement les cartes n° 100-5n, 101-5n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 47 48 49 50 51 52 53 … 92 93 94 95 96 97 98 99 100

=> 1 97 98 99 95 96 92 93 94 … 52 53 54 50 51 47 48 … 7 8 9 5 6 2 3 4 100

• dans les blocs rouges, échanger la carte 5n+2 avec la carte 5n+4 (3 permutations) ; dans les blocs bleus échanger les cartes 5n et 5n+1 (1 permutation), y compris pour le couple 50-51.

Ces opérations coûtent globalement 3*20+1*19 = 79 €.

=> 1 99 98 97 96 95 … 54 53 52 51 50 49 48 … 6 5 4 3 2 100

• amener la carte n°100 en 96^e place par un saut gratuit à la 95^e place et une permutation coûtant 1 €

=> 1 99 98 97 96 … … … 5 100 4 3 2 6

• échanger les cartes n°1 et 100, qui sont bien à 95 cartes d’écart, par saut gratuit

=> 100 99 98 97 96 … … … 5 1 4 3 2 6

• amener la carte n°1 en 100^e place par une permutation coûtant 1 € avec la 95^e et un saut gratuit

=> 100 99 98 97 96 … … … 6 5 4 3 2 1 L’échange est réalisé et il a effectivement coûté 79 + 1 + 1 = 81 €.