E115 : Un impair, deux pairs, trois impairs...
On considère la suite strictement croissante des entiers naturels qui commence par le premier nombre
impair (1) puis se poursuit avec les deux nombres pairs qui suivent 1 : 2 et 4 puis avec les trois nombres
impairs qui suivent 4 : 5,7 et 9, puis avec les quatre nombres pairs qui suivent 9 : 10, 12, 14 et 16 etc..
Trouver le 2009ième terme puis donner la formule exprimant le n-ième terme en fonction de n.
Soit U(n) la suite cherchée et désignons par T
K=k(k+1)/2 le k-ième nombre triangulaire.
Nous remarquons sur les premiers termes que U(T
1)=U(1)=1, U(T
2)=U(3)=4, et comme il y a k+1 termes de même parité (différente de celle de U(T
k)) entre U(T
k) et U(T
k+1), U(T
k+1)-U(T
k)=2k+1, on déduit par récurrence que U(T
k)=k
2.
Si T
k est le nombre triangulaire immédiatement inférieur à n: T
k≤n, k(k+1)≤2n, soit k=[(√(1+8n)-1)/2], en notant [ ] la partie entière.
Si n=k, U(n)=U(T
k); si n>k, U(n)=U(T
k)+2(n-k)-1.
Ainsi pour n=2009, k=62, T
62=1953, U(T
62)=3844, U(2009)=3955.