- −2 0
0 64
Correction des exercices de révision (vacances de février)
Les fonctions
Exercice 1
1) Soit la fonction définie sur ℝ par = 2− 4. a) Déterminons les limites de f en -∞ et en +∞.
En -∞ :
→ − = −∞
→ = +∞ (par composition) Donc par produit, → = −∞.
En +∞ :
Soit > 0, = " −# →$ − =
→ = % par croissance comparée Donc par produit, →$ = %.
On peut donc déduire que la courbe admet une asymptote horizontale d’équation y = 0 en +∞. b) f est le produit de deux fonctions u et v définies sur ℝ par & =2− 4 et ' = .
u est une fonction polynôme donc u est dérivable sur ℝ et (: →* est dérivable sur ℝ car la fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et ne s’annule jamais.
Ainsi f est dérivable sur ℝ, et pour tout réel x, on a : + = ,− -− −
+ = −+ . −
+ = − *− + (tout le monde a vu 1 comme racine évidente !!!!) c) Etudions le sens de variation de la fonction sur ℝ.
Pour cela, étudions le signe de la dérivée.
Pour tout réel , > 0.
Le signe de la dérivée nous est donc donné par − *− + . Etablissons un tableau de signes.
x -∞ 0 1 4 +∞
2x - 0 + + +
x-1 - - 0 + +
-x+4 + + + 0 -
2x(x-1)(-x+4) + 0 - 0 + 0 -
+ = 0 001 = 0 2& = 1 2& = 4
+ > 0 001 ∈] − ∞; 0[8]1; 4[
Le signe de la dérivée nous donne le sens de variation de la fonction donc f est strictement croissante sur ] − ∞; %] et sur [*; ], strictement décroissante sur [0 ;1] et sur [4 ;+∞[.
Dressons le tableau de variations de f.
x -∞ 0 1 4 +∞
f’(x) + 0 - 0 + 0 -
f(x)
-∞ 0
0
d)
2) Pour tout entier naturel n non nul, on pose : 9: = ; = :<.
Justifions tout d’abord l’existence de >? pour tout entier naturel n non nul.
Soit n un entier naturel non nul.
Soit ?: → ? définie sur [0 ; 1].
? est le produit de deux fonctions continues sur [0 ; 1] donc ?est continue sur [0 ; 1] et par suite, >?existe.
a) Calculons 9. 9 = @ <
Considérons les fonctions u et v définies sur [0 ; 1] de la manière suivante : =
A = A+ = * (+ = ( = −
A B ( sont dérivables sur [0 ; 1] et leurs dérivées sont continues sur [0 ; 1].
Ainsi d’après le théorème d’intégration par parties, on a :
@ A(+ C = [A(]%*− @ A* +( C
%
*
%
9 = [−]=− @ − <
9 = −− []==
>*= * − * b) Calculons 9 D 9.
9 = 29− 9 = 2 − 5 9 = 39−
>= , − *,*
c) f est strictement décroissante sur [0 ; 1] et 0 = 0. Par conséquent, GHAI BHAB IéK ∈ [%; *], ≤ %. Ainsi, par définition de l’intégrale, on déduit donc que ; C = −M%* où A est l’aire, exprimé en cm², du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équation = % B = * ; et par suite, M = − ; C%* .
Déterminons ; <= .
- −2
f est dérivable sur [0 ; 1] donc f est continue sur [0 ; 1] et par suite, ; C%* existe.
; <= = ; 2= − 4<
; <= = ; 2= − 4<
; C%* = ; %* C − ; %* C par linéarité de l’intégrale
; <= = 29 − 49
; <= = 4 − 12 donc N = 12− 4. L’aire du domaine est donc de **− cm².
3) Soit u une fonction définie et dérivable sur ℝ.
On définit la fonction v sur ]0 ; +∞[ par ' = & "#. a) ( = A H O avec i désignant la fonction inverse.
i est strictement décroissante sur P*Q;*RS et à valeurs dans [a ; b].
Or u est croissante sur [a ; b] donc par composition, la fonction v est décroissante sur P*Q;R*S. b) On définit la fonction g sur ]0 ; +∞[ par g = "#.
En ±∞ :
→±* = % (de même en -∞)
U→%U = % VHOB % car la fonction est continue en 0.
Ainsi, par composition, on peut donc déduire que →±W = % (de même en -∞).
c) W = H O avec i désignant la fonction inverse Procédons par disjonction de cas :
i) Sur S%;*S:
i est strictement décroissante sur S0;S et à valeurs dans [4 ; +∞[.
Or f est strictement décroissante sur [4 ; +∞[ donc par composition, la fonction g est strictement croissante surS0;S.
ii) Sur P*; *S:
i est strictement décroissante sur P; 1Set à valeurs dans [1 ; 4].
Or f est strictement croissante sur [1; 4] donc par composition, la fonction g est strictement décroissante surP; 1S.
iii) Sur [*; +∞[:
i est strictement décroissante sur [1; +∞[et à valeurs dans ]0 ; 1].
Or f est strictement décroissante sur ]0 ; 1] donc par composition, la fonction g est strictement croissante sur [1; +∞[.
Donc g est strictement croissante sur S%;*S B VAI [*; +∞[ , et strictement décroissante sur P*; *S. Dressons le tableau de variations de g.
x 0 1
4
1 +∞
g(x)
0
64 0
−2
Exercice 2
1) Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction : définie sur ]0 ; +∞[ par : = ln +:− 1. a) Déterminons les limites de : en 0 et en +∞.
En 0 :
→%Z = −∞
→%"
? − *# = −*
Donc par somme, →% = −∞.
Ainsi la courbe admet une asymptote verticale d’équation = 0. En +∞ :
→$ Z = +∞
→$ "
? − *# = +∞
Donc par somme, →$ = +∞. Etudions le sens de variation de :sur ]0 ; +∞[.
? est la somme de deux fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[ donc ? est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout réel ∈]% ; +∞[ , ?′ = *+*?> 0.
Or le signe de la dérivée nous donne le sens de variation de la fonction donc ?est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ .
b) Montrons que l’équation : = 0 admet une unique solution \: sur ]0 ; +∞[.
o ? est dérivable sur ]0 ; +∞[ donc ? est continue sur ]0 ; +∞[ o ?est strictement croissante sur ]0 ; +∞[
o →% = −∞ B →$ = +∞ donc % ∈ ]→% ; →$[
Donc d’après le corollaire du TVI, l’équation ? = % admet une unique solution ]? sur ]0 ; +∞[.
?* = *?? ≤ % ^_` 1 − a ≤ 0 a ≥ 1. ? = ?≥ % .
Par conséquent, ]? ∈ [*; ].
2) On note (Γ la courbe représentative de la fonction ln.
a) Soit n un entier naturel non nul.
Déterminons une équation de la droite Δ: passant par A (0 ; 1) et e: a ; 0.
a ≠ 0, par conséquent, la droite Δ: n’est pas verticale et admet une équation réduite de la forme g = _ + h avec _ = −: .
i` N ∈ Δ: <2a^ 1 = −:× 0 + h donc b = 1, et par suite, k? ∶ m = −*? + *.
b)
c) Déterminons le(s) point(s) d’intersection de (Γ D Δ:. o; m ∈ p qk? VVO r m = Z
m = −*
? + * VVO s t−*
? + * = Z m = −*
? + *
VVO tZ +*
? − * = % m = −*
? + * ss VVO u ? = %
m = −*? + * s
Or, on a montré que l’équation : = 0 admet une unique solution \: sur ]0 ; +∞[. Ainsi, il existe un unique point d’intersection o "]?; −*?]?+ *#.
d) Déterminons \.
]* est la solution de l’équation Z + − * = % sur ]0 ; +∞[.
Je remarque que 1 est solution de cette équation sur ]0 ; +∞[ et donc par unicité de la solution, ]*= *. La suite ]? semble être strictement croissante.
3)
a) Soit n un entier naturel non nul. L’équation : = 0 admet une unique solution \: sur ]0 ; +∞[ donc ln \:+v:w− 1 = 0 D x_` 0&1D,Z ]? = * −]?? .
b) Soit > 0, :$ = ln +:$ − 1 donc :$\: = ln\: +:$vw − 1 c’est-à-dire :$\: = 1 −v:w+:$vw − 1
?$*]? =??$*]?
aa + 1 > 0 D \: > 0 <2a^ ?$*]? < 0. c) Déduisons-en le sens de variation de la suite \:.
On sait que pour tout entier naturel n non nul, l’équation ? = % admet une unique solution ]? sur ]0 ; +∞[ donc l’équation ?$* = % admet une unique solution ]?$* sur ]0 ; +∞[ et par suite,
?$*]?$* = %.
Démontrons que \: < \:$.
Raisonnons par l’absurde : Supposons ]? ≥ ]?$*.
La fonction ?$*est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ donc ?$* ]? ≥ ?$*]?$* soit ?$* ]? ≥ %.
CE QUI EST EN CONTRADICTION AVEC CE QU’ON A VU EN b) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ainsi, l’hypothèse est fausse et par conséquent, ]? < ]?$* et par suite, ]? est strictement croissante.
d) Montrons que la suite \: converge.
On a montré que la suite ]? est majorée (par e) et strictement croissante.
Ainsi d’après le théorème de convergence des suites monotones, la suite ]? converge vers un réel l tel que K ∈ [*; ].
De plus, pour tout entier naturel n non nul, ln \: = 1 −v:w . ?→$]? = K
U→KK?U = Z K car la fonction ln est continue sur [1 ; e] donc en l.
Ainsi par composition, ?→$Z ]? = Z K. D’autre part,
?→$ ]? = K
?→$
*
? = %
Ainsi par produit, ?→$]??= %.
On en déduit ainsi, par passage à la limite dans chacun des deux membres, ZK = *, et par suite, K = .
4) On désigne par z: l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation = \: D = .
a) ≥ \: ≥ 1 donc : → K? est positive sur []?; ].
Ainsi ; C = ROI]? {? l’aire étant exprimé en unités d’aire.
f est continue sur []?; ] CH?| admet des primitives sur []?; ].
Soit }: → K? − l’une d’entre elles (c’est celle qui s’annule en e, nous démontrerons ce résultat en cours grâce au théorème d’intégration par parties).
@ <~
vw
= [a − ]v~w
@ <~
vw
= a − − \:ln\: + \:
@ <~
vw
= \:− \:× "1 −\: a #
@ C
]?
= ]?
?
Ainsi l’aire du domaine {? est ]?
? u.a.
b) Encadrons sur []?; ].
f est strictement croissante sur []?; ] donc pour tout réel ∈ []?; ], ]? ≤ ≤ . Ainsi d’après la relation liant ordre et intégrale, ; ]]? ? C ≤ ; C ≤]? ; C]? Soit − ]?Z ]? ≤ ]??≤ − ]?.
0
c) Déduisons un encadrement de a − \:. On considère dans cette question a ≥ 2.
− \: ln\: ≤ v:w donc a − \: ln\: ≤ \: et par suite, comme ln\: > 0,? − ]? ≤ Z]]??
vw
: ≤ − \: donc ]?≤ ? − ]?. En résumé, ]?≤ ? − ]? ≤ Z ]]??
d) ?→$]? = K donc ?→$]?= K².
?→$Z ]? = ZK = * donc ?→$Z ]]??= ²
Ainsi d’après le théorème des gendarmes, la suite ? − ]? converge et converge vers l².
Exercice 3
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par = $$ 1) Montrons que f est dérivable sur [0 ; +∞[.
f est de la forme A( avec A = K? H ( R(| ( = + .
v est dérivable sur [0 ; +∞[ à valeurs dans [3 ; +∞[ et ln est dérivable sur [3 ; +∞[, donc par composition, u est dérivable sur [0 ; +∞[.
On déduit ainsi que le quotient f est dérivable sur [0 ; +∞[ et pour tout réel > 0, + =* $Z $$² soit + =*Z $$²
Pour tout réel > 0, + > 0 D ^2 < 3, < + 3. Ainsi, K? < Z + car la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ et par suite, + < 0.
Le signe de la dérivée nous donne le sens de variation de la fonction donc f est strictement décroissante sur [%; +∞[.
Déterminons la limite de f en +∞. →$ + = +∞
U→$K?UU = % par croissance comparée Ainsi par composition, →$ = %.
La courbe admet donc une asymptote horizontale d’équation m = % en +∞.
2) On définit pour tout entier naturel n, la suite u définie par &: = ;::$ <.
f est dérivable sur [0 ; +∞[ donc continue sur [0 ; +∞[ et par suite, sur [n ; n+1]. Ainsi A? existe.
a) f est strictement décroissante sur [%; +∞[ donc sur [?; ? + *].
Ainsi pour tout réel BK A ? ≤ ≤ ? + *, ? + * ≤ ≤ ?.
b) D’après la relation liant ordre et intégrale, on a : ;??$*? + * C≤ ;??$* C≤ ;??$*? C à savoir ? + * − ?? + * ≤ A? ≤ ? + * − ?? donc ? + * ≤ A? ≤ ?.
La suite ??∈ℕ et la suite ? + *?∈ℕ diverge vers +∞. Or, →$ = %, ainsi par composition, les suites ??∈ℕ B ? + *?∈ℕ convergent vers 0.
Ainsi d’après le théorème des gendarmes, A??∈ℕ converge et converge vers 0.
x 0 +∞ f’(x) 0 -
f(x)
:
3) Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par = ln + 3².
a) On a déjà démontré que → Z + est dérivable sur [0 ; +∞[, donc F est dérivable sur [0 ; +∞[ et pour tout réel ∈ [% ; +∞[ , ′ = × Z + ×$*
b) On pose pour tout entier naturel n, 9: = ; <=: .
f est dérivable sur [0 ; +∞[ donc continue sur [0 ; +∞[ et par suite, sur [0 ; n]. Ainsi >? existe.
f admet donc aussi des primitives sur [0 ; n].
D’après la question précédente, la fonction →*} en est une.
9: = P $ S
= :
9: =lna + 3− ln3
9: = lnn + 3 + ln3lnn + 3 − ln3
>? =*ZZ + "Z "Z$ ## d’après les propriétés relatives à la fonction ln 4) On pose pour tout entier naturel n, : = &=+ & + ⋯ + &:.
a) ? = A%+ A*+ ⋯ + A?* |+VB − à − COI ? = ; C +%* ; C* + ⋯ + ; C?*? . Ainsi d’après la relation de Chasles, on a ? = ; C%? = >?.
N’EST-CE PAS MERVEILLEUX !!!!!
?→$Z + = +∞ et →$K? = +∞, ainsi par composition, ?→$K?Z + = +∞. De même, ?→$Z "Z$ # = +∞.
Ainsi par produit, ? diverge vers +∞.
Enigme (pour vous détendre)
bien sûr qu’il est blanc…comme neige !!!
Exercice 4
Soient D les fonctions définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par = a D = a². 1)
a) Etudions le signe de a1 − a sur ]0 ; +∞[.
* − K? = % VVO K? = *
* − K? = % VVO = car la fonction ln réalise une bijection de ]0 ; +∞[ sur ℝ
* − K? > 0 001 < car la fonction ln réalise une bijection strictement croissante de ]0 ; +∞[ sur ℝ
Etablissons un tableau de signes.
x 0 1 e +∞
lnx - 0 + +
1-lnx + + 0 -
lnx(1-lnx) - 0 + 0 -
K?* − K? = % VVO = * HA = K?* − K? > 0 001 ∈ ]1; [
b) La position relative des deux courbes est donnée par le signe de la différence − W. Soit > 0, − = a1 − a
D’après la question précédente, on peut donc déduire : o ∁ B ∁+ coupent aux points d’abscisses 1 et e o ∁ VB RA − CVVAV C ∁+ VAI ]*; [
o ∁+VB RA − CVVAV C ∁ VAI ]%; *[ B VAI ]; +∞[
2) Soit > 0, ; a D ; a .
a) Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par ℎ = −
h est la différence de deux fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[ donc h est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout > 0, + =*− K? ×* soit + =** − K?.
> 0 donc le signe de ℎ+ dépend du signe de 1 − 2a.
* − K? = % VVO K? =*
* − K? = % VVO = * car la fonction ln réalise une bijection de ]0 ; +∞[ sur ℝ
* − K? > 0 001 < * car la fonction ln réalise une bijection strictement croissante de ]0 ; +∞[ sur ℝ Or le signe de la dérivée nous donne le sens de variation de la fonction donc h est strictement croissante sur ]%; *] et strictement décroissante sur [*; +∞[.
b) Le repère étant orthogonal, on a :o = − + − W² = ||
Or, on a montré dans 1.a), que la fonction h était positive sur [1 ; e] ; Par suite, sur [1 ; e], o = .
Ainsi, la valeur maximale de MN est la valeur maximale de .
h est strictement croissante sur ]%; *] et strictement décroissante sur [*; +∞[ donc elle admet un maximum en * = √. Ainsi la valeur maximale de MN est atteinte pour = √.
c) Résolvons dans ]0 ; +∞[ l’équation a− a = 1. Soit > 0, K?− K? = * VVO K?− K? − * = %.
K?− K? − * = % VVO U² − U − * = %U = K? s Résolvons dans ℝ l’équation U² − U − * = %.
∆= . > 0 donc l’équation a deux solutions réelles : U*=*√. B U =*$√.
K?− K? − * = % VVO K? = *√. HA K? =*$√.
VVO = *√. HA = *√. car ln réalise une bijection de ]0 ; +∞[ sur ℝ
= *√. ; *√.
d) HOB > 0, = ||.
D’après 1.a), h est strictement négative sur ]%; *[ B VAI ]; +∞[, donc o = W − soit o = K?− K?.
o = * VVO K?− K? = * c’est-à-dire VVO = *√. HA = *√. . Donc R = *√. et Q = *√. .
3)
a) f est continue sur [*; ] CH?| admet des primitives sur [*; ].
Soit }: → K? − l’une d’entre elles (c’est celle qui s’annule en e, nous démontrerons ce résultat, comme je vous l’ai déjà dit, en cours, grâce au théorème d’intégration par parties).
; C* = [K? − ]*
; C* = K? − + *
; C* = *
b) Soit G la fonction définie sur ]0; +∞[, par ¡ = [a− 2a + 2].
G est le produit de deux fonctions dérivables sur ]%; +∞[ (explication déjà donnée…) donc G est dérivable sur ]%; +∞[ et pour tout réel > 0, ¢+ = K?− K? + + PK? ×*−+ *S soit
¢+ = K?².
Ainsi G est dérivable sur ]%; +∞[ et G’= g, donc G est une primitive de g sur ]%; +∞[. c) Soit z le domaine du plan délimité par ∁ , ∁+, les droites d’équation = 1 D = .
∁ VB RA − CVVAV C ∁+ VAI [*; ], donc l’aire du domaine D exprimé en u.a est donnée par
; − W* C (vous pouvez vous entraîner en faisant le TD 3 p 201)
; − ~ < = ; ℎ~ <
; − ~ < = ; a − a²~ <
; − ~ < = ; a~ < − ; a²~ <
; − ~ < = 1 − [a− 2a + 2]~
; − ~ < = 1 − a+ 2a − 2 + a1− 2a1 + 2
; − W* C = −
Par suite, l’aire du domaine D est donc 3-e u.a.
