SRC1 Examen de mathématiques. Semestre 2
DS3 de maths - Ensembles - Complexes.
1 Ensembles
1. SoitA={−2;π; 0} etB={3; 2; 1; 0}. DéterminezA∪B etA∩B.
2. Soit A={a,b,c,...,z} l’ensemble des lettres de l’alphabet, V l’ensemble des voyelles, E l’ensemble des consonnes, et B l’ensemble des lettres présentes dans le mot ”mathematiques” (comptées une seule fois). Soit C l’ensemble des lettres d’un mot X inconnu. On sait qu’il a trois lettres en commun, le a, le e, et le i, avec le mot ”mathematiques”
et qu’il comprend 7 lettres, toutes distinctes les unes des autres.
(a) Que valentB∩E,B∪V, etV ∩B?
(b) Que valent card(B), card(C), card(B∩C), card(B∪C) ? (c) Quel est l’ensembleP(B∩C)des parties deB∩C? 3. Complétez par le signe qui convient (⊂,∈,6⊂,∈) :/
(a) N· · · ·Z.
(b) −2· · · ·Z∗. (c) {−2} · · · ·Z∗. (d) 13· · · ·Q
4. Trouvez un ensemble A et un ensemble B tels qu’on ait à la fois A⊂B etA∈B.
5. Quel est l’ensembleC\R?
6. Soient A et B deux sous-ensembles d’un ensemble E. On rappelle que si F est un sous-ensemble de E,F¯ désigne l’ensemble des points de E n’appartenant pas à F (complémentaire de F dans E). Montrez l’équivalent des lois de Morgan pour les ensembles :
(a) Montrez queA∩B= ¯A∪B¯. (b) Montrez queA∪B= ¯A∩B¯.
2 Complexes
1. Soitz1=i−13 ,z2= 2−2i2 , etz3=eiπ3. Exprimez pour chacun de ces nombres sa partie réelle, sa partie imaginaire, son conjugué, et son module.
2. Soitz=i−1i+1.
(a) Montrez quezest un imaginaire pur.
(b) Exprimezz1=i−1 etz2=i+ 1sous forme trigonométrique (en utilisant une notation exponentielle).
(c) En utilisant la question précédente, retrouvez le fait que zz1
2 est imaginaire pur. Montrez également que z1×z2 est un réel.
(d) Donnez une écriture trigonométrique (notation exponentielle) de (1−i)5. En déduire l’écriture algébrique de(1−i)5.
(e) Soit un repère orthonormé(O, ~u, ~v). Soient les deux pointsM1(1;−1)etM2(1; 1). Quels sont les coordonnées polaires deM1et M2?
3. (a) Exprimezcosθen fonction deeiθ et e−iθ. Faites de même poursinθ.
(b) Exprimez ensuitecos2θen fonction dee2iθ ete−2iθ. En déduirecos2θ en fonction decos 2θ.
(c) En procédant de même, exprimezsin2θen fonction decos 2θ.
