PS12 AUTOMNE 2013
EXAMEN FINAL
(1 heure 30 mn ; aucun document, calculette autorisée)
La notation tiendra compte de la qualité de la rédaction. La notation tiendra compte de la longueur du sujet.
Exercice n°1: On monte en parallèle quatre résistances de 50 Ohms. Quelle est la résistance équivalente?
En parallèle, les inverses des résistances s’ajoutent donc
e q
1 4
R R d’où Req = R
4 12.5.
Exercice n°2: On étudie une petite pile considérée comme un générateur linéaire de fem 1.5V et de résistance interne 0.5 .
1. Dessiner le schéma de Thévenin équivalent de cette pile en convention générateur.
1.5 V 0.5 i
u
2. Tracer la caractéristique u = f (i) de cette pile en convention générateur en donnant les valeurs numériques des points remarquables. Indiquer sur le schéma les points où on peut lire la force électromotrice e et le courant électromoteur (ou courant de court-circuit) de la pile.
u(V)
e =1.5 V
A i(A)
3. Donner le schéma de Norton équivalent.
u
i
0.5
Exercice n°3:
1. Déterminer le courant i dans le circuit suivant :
10V i A
5
2
O
3V
Il suffit d’appliquer la loi des mailles (dans le sens horaire par exemple) : 10 – 2i -3 – 5i = 0 d’où i = 1A.
2. Quel est le potentiel du point A si le point O est à un potentiel nul (terre).
VA= VA-V0 = 10 – 5i = 3 + 2i = 5 V (on pouvait aussi utiliser Millmann).
Exercice n°4:
1. Donner le système de deux équations à deux inconnues permettant de calculer i1 et i2 par la méthode des courants de maille. Ne pas chercher à résoudre.
5
i
1A
2 i
210V
4
6V
Il s’agit de l’application directe de la méthode des mailles vue en cours : 1 2
1 2
10 9i 4i
6 4i 6i
2. En supposant la ligne basse du circuit au potentiel 0, calculer le potentiel du point A en utilisant le théorème de Millman.
Le théorème de Millmann donne : A
10 6 5 2 20
V V 1.05V
1 1 1 19
5 4 2
Exercice n°5 : Déterminer le temps que met un condensateur de capacité C = 10 nF pour se charger à 90%
lorsqu’il est alimenté par un générateur de tension réel de résistance interne 100 et de fem constante en supposant le condensateur initialement déchargé.
On a vu en cours que l’équation de charge est q(t) = CE (1 - exp( t )
RC ). Pour charger le condensateur à 90%, il faudra que (1 - exp( t )
RC ) = 0.9 . La résolution donne t = - RC Ln 0.1 = 2.3 10-6 s.
Exercice n°6: On considère le montage suivant dans lequel les deux condensateurs sont identiques de capacité C.
u’(t) i(t) C
E C R u(t) i
1(t) i
2(t)
1. Les cinq inconnues du problème sont : i, i1, i2, u et u’. En utilisant les lois de base de l’électricité, former un système de cinq équations à cinq inconnues permettant de résoudre le problème.
Les lois de base sont la loi des nœuds, la loi des mailles et la loi des composants qui donnent ici :
1 2
1
2
E u u ' i i i i Cdu '
dt i Cdu
dt u Ri
2. En déduire l’équation différentielle permettant de trouver u(t).
En résolvant le système précédent en u(t) on arrive à 0 du u dt 2RC
.
3. Le système peut-il osciller ?
Le système ne pas osciller car on a une équation du premier ordre à solution exponentielle, physiquement il faudrait une bobine pour espérer une oscillation.
4. On suppose qu’à t = 0, u(0) = E
2 . Déterminer u(t) pour t > 0.
La résolution de l’équation différentielle en tenant compte des conditions initiales donne : u(t) Eexp( t )
2 2RC
.
5. En déduire u’(t) pour t > 0.
Il suffit d’utiliser la loi des mailles vue en 1. : u’ = E – u =E(1 1exp( t )).
2 2RC
6. Quel est l’état (chargé, déchargé) des condensateurs pour t tendant vers l’infini.
Pour t tendant vers l’infini, u(t) tend vers zéro, le condensateur correspondant sera donc déchargé et pour t tendant vers l’infini, u’(t) tend vers E, le condensateur correspondant sera donc chargé. On a donc une décharge d’un condensateur dans l’autre.
Exercice n°7: Un générateur parfait impose une tension sinusoïdale v(t) = 10 2cos 100t (en volts).
1. Pour cette tension, quelles sont : a. La pulsation ?
Par définition la pulsation w = 100 rad.s-1. b. La période ? La période est T 2 0.063s
w
.
c. La fréquence ? La fréquence 1
f 16Hz
T . d. L’amplitude ? Par définition l’amplitude vaut 10 2V.
e. La valeur efficace ? Par définition la valeur efficace sera 10 V.
2. On branche aux bornes de ce générateur divers composants. Dire dans chacun des cas quel est le courant i(t) dans le composant:
a. On branche aux bornes du générateur un condensateur de capacité C = 1 mF.
b. On branche aux bornes du générateur une bobine parfaite de coefficient L = 0.10H.
c. On branche aux bornes du générateur une bobine réelle (L = 0.10H, r = 10 ).
d. On branche aux bornes du générateur une capacité de 1 mF en série avec une résistance r
= 10 .
Pour résoudre chaque question, il suffit d’utiliser la loi d’Ohm en complexe : u 10 2 exp j100t i
Z Z
. Pour
chaque cas, on remplace Zpar sa valeur, on fait le calcul en complexe puis on prend la partie réelle pour finir.
a. Z 1 10j
jCw
; i(t) = 2 cos(100t ) 2
.
b. Z jLw 10j ; i(t) = 2 cos(100t ) 2
.
c. Z R jLw 10 10j ; i(t) = cos(100t ) 4
.
d. Z R j 10 10j
Cw
; i(t) = cos(100t ) 4
.
PS12 AUTOMNE 2013
EXAMEN FINAL
(1 heure 30 mn ; aucun document, calculette autorisée)
La notation tiendra compte de la qualité de la rédaction. La notation tiendra compte de la longueur du sujet.
Exercice n°1: On monte en parallèle trois résistances de 300 Ohms. Quelle est la résistance équivalente?
En parallèle, les inverses des résistances s’ajoutent donc
e q
1 3
R R d’où Req = R
3 100.
Exercice n°2: On étudie une pile considérée comme un générateur linéaire de fem 9V et de résistance interne 2
.
1. Dessiner le schéma de Thévenin équivalent de cette pile en convention générateur.
9 V 2
i
u
2. Tracer la caractéristique u = f (i) de cette pile en convention générateur en donnant les valeurs numériques des points remarquables. Indiquer sur le schéma les points où on peut lire la force électromotrice e et le courant électromoteur (ou courant de court-circuit) de la pile.
u(V)
e = 9 V
A i(A)
3. Donner le schéma de Norton équivalent.
u
i
2
Exercice n°3:
1. Déterminer le courant i dans le circuit suivant :
6V
i A
4
6
O
2V
Il suffit d’appliquer la loi des mailles (dans le sens horaire par exemple) : 6 - 6i -2 - 4i = 0 d’où i = 0.4 A.
2. Quel est le potentiel du point A si le point O est à un potentiel nul (terre).
VA= VA-V0 = 6 – 4i = 2 + 6i = 4.4 V (on pouvait aussi utiliser Millmann).
Exercice n°4:
1. Donner le système de deux équations à deux inconnues permettant de calculer i1 et i2 par la méthode des courants de maille. Ne pas chercher à résoudre.
2
i
1A
6 i
25V
4
3V
Il s’agit de l’application directe de la méthode des mailles vue en cours : 1 2
1 2
5 6i 4i
3 4i 10i
.
2. En supposant la ligne basse du circuit au potentiel 0, calculer le potentiel du point A en utilisant le théorème de Millman.
Le théorème de Millmann donne : A
5 3
V 2 6 2.2V
1 1 1 2 4 6
.
Exercice n°5 : Déterminer le temps que met un condensateur de capacité C = 20 nF pour se charger à 90%
lorsqu’il est alimenté par un générateur de tension réel de résistance interne 10 et de fem constante en supposant le condensateur initialement déchargé.
On a vu en cours que l’équation de charge est q(t) = CE (1 - exp( t )
RC ). Pour charger le condensateur à 90%, il faudra que (1 - exp( t )
RC ) = 0.9 . La résolution donne t = - RC Ln 0.1 = 4.6 10-7 s.
Exercice n°6: On considère le montage suivant dans lequel les deux condensateurs sont identiques de capacité C.
u(t) i
1(t) C
E C R u’(t) i
2(t) i
3(t)
1. Les cinq inconnues du problème sont : i1, i2, i3, u et u’. En utilisant les lois de base de l’électricité, former un système de cinq équations à cinq inconnues permettant de résoudre le problème.
1 2 3
1
2
3
E u u '
i i i
i Cdu dt i Cdu '
dt u Ri
2. En déduire l’équation différentielle permettant de trouver u’(t).
En résolvant le système précédent en u(t) on arrive à du ' u ' 0 dt 2RC. 3. Le système peut-il osciller ?
Le système ne pas osciller car on a une équation du premier ordre à solution exponentielle, physiquement il faudrait une bobine pour espérer une oscillation.
4. On suppose qu’à t = 0, u’(0) = E
2 . Déterminer u’(t) pour t > 0.
La résolution de l’équation différentielle tenant compte des conditions initiales donne : E t
u '(t) exp( )
2 2RC
.
5. En déduire u(t) pour t > 0.
Il suffit d’utiliser la loi des mailles vue en 1. : u = E – u’ = 1 t
E(1 exp( )).
2 2RC
6. Quel est l’état (chargé, déchargé) des condensateurs pour t tendant vers l’infini.
Pour t tendant vers l’infini, u’(t) tend vers zéro, le condensateur correspondant sera donc déchargé et pour t tendant vers l’infini, u(t) tend vers E, le condensateur correspondant sera donc chargé. On a donc une décharge d’un condensateur dans l’autre.
Exercice n°7: Un générateur parfait impose une tension sinusoïdale v(t) = 10 2cos 1000t (en volts).
1. Pour cette tension, quelles sont : a. La pulsation ? Par définition la pulsation w = 1000 rad.s-1.
b. La période ? La période est T 2 0.0063s
w
.
c. La fréquence ? La fréquence 1
f 160Hz
T . d. L’amplitude ? Par définition l’amplitude vaut 10 2V.
e. La valeur efficace ? Par définition la valeur efficace sera 10 V.
2. On branche aux bornes de ce générateur divers composants. Dire dans chacun des cas quel est le courant i(t) dans le composant:
a. On branche aux bornes du générateur un condensateur de capacité C = 1 mF.
b. On branche aux bornes du générateur une bobine parfaite de coefficient L = 0.10H.
c. On branche aux bornes du générateur une bobine réelle (L = 0.10H, r = 100 ).
d. On branche aux bornes du générateur une capacité de 1 mF en série avec une résistance r
= 1 .
Pour résoudre chaque question, il suffit d’utiliser la loi d’Ohm en complexe : i u 10 2 exp j1000t
Z Z
. Pour
chaque cas, on remplace Zpar sa valeur, on fait le calcul en complexe puis on prend la partie réelle pour finir.
a. Z 1 j
jCw
; i(t) = 10 2 cos(1000t ) 2
.
b. Z jLw 100j ; i(t) = 0.1 2 cos(1000t ) 2
.
c. Z R jLw 100 100 j ; i(t) = 0.1cos(1000t ) 4
.
d. Z R j 1 j
Cw
; i(t) = 10cos(1000t ) 4
.
