Universit´e Paris 7-Denis Diderot MT-282
D.E.U.G.- S.M. Ann´ee 1999-00
EXAMEN du 20 janvier 2000 Dur´ee : 3 h
Exercice 1
1. D´emontrer que 5.27+ 1 divise 54.228−1 et que 54+ 24 divise 54.228+ 232. En d´eduire que 641 divise 232+ 1.
2. Trouver un entiern≥0 tel que 22n+ 1 ne soit pas un nombre premier.
3. Quel est l’ordre de ¯2 dans (Z/641Z)∗? 4. Le groupe (Z/641Z)∗ est-il cyclique ?
5. D´emontrer que ¯2 est une puissance 5-`eme dans (Z/641Z)∗.
Exercice 2
SoitGun groupe. Soitl un nombre premier. Soitx∈Gd’ordre finim.
1. D´emontrer qu’il existe un unique couple d’entiers (m0, m00) tels quem0 soit une puissance delet quem”
soit premier `a let que m=m0m”, puis qu’il existe (a, b)∈Z2 tel queam0+bm” = 1.
2. Quels sont alors les ordres dexam0 etxbm”?
3. En d´eduire qu’il existex0 ∈Hx d’ordrem0 et x00∈Hx d’ordrem” tels que x=x0x” =x”x0, o`uHxest le sous-groupe deGengendr´e parx. Fixons deux tels ´el´ementsx0 etx”.
4. Soient y0 ∈ G d’ordre une puissance de l et y” ∈ G d’ordre premier `a l tels que x = y0y” = y”y0. D´emontrer que y0x=xy0 et quey”x=xy”.
5. En d´eduire quex0y0=y0x0 et quex”y” =y”x”. D´emontrer quex0y0−1 est d’ordre une puissance del et quex”−1y” est d’ordre premier `al. Conclure quex0 =y0 etx” =y”.
6. LorsqueG =Z/96Z, l = 2, etx= ¯2, d´eterminer x0 et x” (attention : dans Z/96Z la loi de groupe se note additivement).
Exercice 3
Soitpun nombre premier. PosonsZ(p)={u/v∈Q/u∈Z, v∈Z, p6 |v}.
1. D´emontrer queZ(p) muni de l’addition et de la multiplication est un anneau.
2. Quels sont les ´el´ement inversibles de Z(p) ? Y a-t-il des ´el´ements d’ordre 3 dans Z(p)∗ ? Y a-t-il des
´
el´ements d’ordre infini dansZ(p)∗ ?
3. PosonspZ(p)={u/v∈Q/u∈pZ, v∈Z, p6 |v}. D´emontrer quepZ(p) est un sous-groupe deZ(p). Est-il distingu´e ?
4. Consid´erons l’application φ : Z(p)−→ Z/pZ qui `a u/v associe ¯u(¯v)−1. D´emontrer que φest un homo- morphisme d’anneaux. Quel est son noyau ? Est-il surjectif ?
5. En d´eduire queZ(p)/pZ(p)est un groupe isomorphe `a Z/pZ.
