Filtres linéaires

Électricité - Électronique

Filtres linéaires

(1 ^er ordre - 2 ^ème ordre)

Électricité - Électronique

➢ I - Intérêt de l’étude ; définitions générales :

Système linéaire électrique ou mécanique

(réseaux électriques, suspensions de voitures, atomes excités par des

ondes lumineuses, …

Contraintes

extérieures Réponse du

système

v

(t)=E

cos w t « Filtres » mécaniques ou

électriques

v

(t)=S

cos( w t+ j )

L’analyse harmonique (ou fréquentielle) d’un système est son étude au moyen de sa réponse

harmonique s(t), c’est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdal lorsqu’il est soumis à

une entrée sinusoïdale e(t) dont on fait varier la pulsation w .

Électricité - Électronique

Filtre du 1

ordre :

v

(t)=E

cos w t Filtre du

1

ordre ^v

^(t)=S

^{cos( w t+ j )}

( ) ( ) ( ) ( )

s e

1

v t H j v t K v t w j

= = w

+ (Filtre passe-bas)

Filtre du 2

ordre :

v

(t)=E

cos w t Filtre du

2

ordre ^v

^(t)=S

^{cos( w t+ j )}

2 2

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

s e e

v t H j v t K v t

j

w w  w

w w

= =

− +

(Filtre passe-bas)

Électricité - Électronique

Notations et définitions générales :

t j j

s sm t

j

e t V em e v t V e e

v ( ) = ^w ; ( ) = ^{j w}

j est le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée du filtre.

w ^j j

em sm e

s e

V V v

j v

H ( ) = =

H(jw) est la fonction de transfert en tension du filtre :

em sm

V j V

H

G ( w ) = ( w ) = _{G( w} ) est le gain réel

 

 



= 

=

em sm

dB V

G V

G ( w ) 20 log ( w ) 20 log G

(w ) est le gain en décibels

Électricité - Électronique

Diagramme de Bode :

G

j

Échelle logarithmique pour w

Électricité - Électronique

➢ II – Filtres du 1

ordre (passifs, sans AOP) :

On pose :

1) Circuit (R,C) :

a) Aux bornes de C (filtre passe – bas) : étude qualitative R

C

Y

Y

v

v

(Sortie

ouverte)

En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)

e

s

v

R jC v jC

w w

1 1

+

=

w w

jRC v

j v H

e s

= +

= 1

) 1 (

RC 1

0 = w

0

1 ) 1

(

w w w

v j j v

H

e s

+

=

=

Électricité - Électronique

Le gain et le déphasage s’en déduisent :

2

0

1 ) 1

(

 

 

 + 

=

w w w

G

0

tan w

j ^{= −} w

0

cos j  ^

 

−

 , 0 2 j 

Etude asymptotique du gain :

dB G

et

G ( ) 1 _dB 0 :

10 ) (

1 ⁰

0







 w w w

w w

 

 



− 









0 0

0 0

log 20 )

( : ) 10 (

1 w

w w

w w w

w w w

G dB

et G

( ) ^dB

G et

G _dB 20 log 2 3

2 ) 1

(

: ₀

0  = −  −

= w w

w

Électricité - Électronique

Diagramme de Bode :

G

log(w / w

) w

/ 100 w

/ 10 w

10w

100w

Pente de -20 dB/décade w

est la pulsation de coupure

(de cassure) à – 3 dB

[0,w

] est la bande passante du

filtre

Électricité - Électronique

Diagramme de Bode :

j

log(ww

)

−

Filtre passe-bas

e

s v

v Pour  1 : =

w 0

w

Électricité - Électronique

On pose :

1) Circuit (R,C) :

b) Aux bornes de R (filtre passe – haut) : étude qualitative

R

Y

C Y

v

v

(Sortie

ouverte)

En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)

e

s

v

R jC v R

w + 1

=

w w w

jRC jRC v

j v H

e s

= +

= 1

) (

RC 1

0 = w

w w w

w w

w w

0 0

0

1 1 1

) (

j j j v

j v H

e s

−

= +

=

=

Électricité - Électronique

Le gain et le déphasage s’en déduisent :

2

1 0

) 1 (

 

 

 + 

=

w w w

G w

j w ⁰ tan =

0

cos j  ^

 

  , 2 0  j

Etude asymptotique du gain :

 

 



 







0 0

0 0

log 20 )

( : 10 ) (

1 w

w w

w w w w

w w

G dB

et G

dB G

et

G ( ) 1 _dB 0 :

) 10 (

1 ₀

0







 w w w

w w

( ) ^dB

G et

G _dB 20 log 2 3

2 ) 1

(

: ₀

0  = −  −

= w w

w

Électricité - Électronique

G

log(ww

)

Diagramme de Bode :

Pente de 20 dB/décade

w

est la pulsation de coupure (de cassure) à – 3

dB

[ w

, ∞ ] est la bande passante

du filtre

Électricité - Électronique

j



log(ww

)

Diagramme de Bode :

Filtre passe-haut

e

s v

v Pour  1 : =

w 0

w

Électricité - Électronique

➢ II – Filtres du 1

ordre (passifs, sans AOP) :

On pose :

2) Circuit (R,L) :

a) Aux bornes de R (filtre passe – bas) : étude qualitative

En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)

e

s

v

jL R

v R

w

= +

w w

R j L v

j v H

e s

+

=

=

1 ) 1

(

L

= R w 0

0

1 ) 1

(

w w w

v j j v

H

e s

+

=

=

R

Y

L Y

v

v

(Sortie

ouverte)

Électricité - Électronique

➢ II – Filtres du 1

ordre (passifs, sans AOP) :

On pose :

e

s

v

jL R

v jL

w w

= +

w w w

R j L R j L v

j v H

e s

+

=

=

1 )

(

L

= R w 0

w w w

w w

w w

0 0

0

1 1 1

) (

j j j v

j v H

e s

−

= +

=

=

L

Y

R Y

v

v

(Sortie

ouverte) 2) Circuit (R,L) :

b) Aux bornes de L (filtre passe – haut) : étude qualitative

En sortie ouverte : (règle du diviseur de

tension)

Électricité - Électronique

➢ II – Filtres du 1

ordre (passifs, sans AOP) :

éq éq éq e

s

y R R

z z v

j v

H = +

= +

= 1

) 1 ( w

L

Y

R Y

v

R

v

3) Cas d’une sortie « non ouverte » :

On reprend l’exemple du circuit (R,L) : la bobine est reliée à une résistance d’utilisation R

.

éq u

éq y jL R

z

1 1

1 = = +

w

On se ramène à la règle du diviseur de tension :

w w

L j R R

R j

H

u

 −



 



 +

= 1 ) 1

(

Électricité - Électronique

Soit l’expression de la fonction de transfert :

w

w 1

) 1 (

) 1 (

L R R j RR R

R j R

H

u u u

u

− +

= +

u u u

u

R R

A R L

R R

RR

= +

= + ;

)

0

(

w

On pose :

w w w

1 0

) 1 (

j A

j H

−

= Fonction de transfert « normalisée » d’un filtre passe – haut, de gain maximum A et

de pulsation de coupure w

.

Remarque : 1

)

,

( → →

= +



→ et A

L R L

R R

R RR si

u u

u

w

Électricité - Électronique

➢ III – Filtres du 2

ordre (passifs) :

1) Circuit (R,L,C) série :

a) Aux bornes de C en sortie ouverte (filtre passe – bas) : étude qualitative

C i

v

L

R

v

^w _w ^{w w}

w w

jRC LC

jL jC R

j jC

H = − +

+ +

=

1

1 1

1 )

(

La règle du diviseur de tension donne :

2 0 0 2

2 1

) (

w

 w w

w w

j j K

H

+

−

=

On souhaite écrire cette fonction de transfert

sous la forme normalisée :

Électricité - Électronique

Par identification :

2 0 0

2

2 1

) 1 (

w

 w w

w w

j j

H

+

−

=

1

; 2

1 ;

0 2

0

= jRC = j K =

LC w

 w w

w

D’où :

1 2 ;

2

; 1 1

0

0

= = = K =

L C RC R

LC

w

 w

2

0 2

2 0

2

2 1

) 1 (

 

 

 + 

 





 



 −

=

w

 w w

w w

G

 ^{, 0}  ⁾

, 0 (sin

1 2 tan

2 0 2

0

j j 

w w w

 w

j   −

−

−

=

Électricité - Électronique

Il y a « résonance de tension aux bornes de C (« Résonance de charge »), c’est à dire correspondant à une tension aux bornes de C maximale, pour une pulsation w

du GBF telle que :

 

 



 

2

 1

2 avec

0 1 2 

w

w _r = −

Et la tension maximale aux bornes de C à la « résonance de charge » est :

m e r

m

s V

V _,

, 2

1 2

) 1

( w  

= −

En se référant à l’étude des oscillateurs mécaniques (réponse en élongation), on obtient :

Électricité - Électronique

Les formules précédentes deviennent, en utilisant le facteur de qualité Q à la place du coefficient d’amortissement  (Q = 1/2  , et noter que  s’identifie au coefficient x utilisé en SI) :

2 1 2

1 1

0 − 2 

= avec Q

r w Q w

m e r

m

s V

Q

V Q _,

2 ,

4 1 1 )

(

− w =

Remarque : pour de faibles amortissements (  «faible» et Q «grand»), alors : m

e r

m

s QV

V _, ( w )  _,

Ainsi, si Q=10, l’amplitude lors de la résonance vaut 10 fois celle de l’excitation : la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant.

w 0

w _r  et

Électricité - Électronique

Comportement asymptotique du gain :

Dans ce dernier cas, on obtient une droite de pente -40 dB/décade.

Cette étude permet de tracer le diagramme de Bode dans les intervalles [0,w

/10] et [10 w

,∞].

Dans l’intervalle [w

/10,10w

], on trace le diagramme à « main levée », en tenant compte de la valeur de  (existence ou non d’une résonance).

2

0 2

2 0 2

2 1

) 1 (

 

 

 + 

 





 



 −

=

w

 w w

w G w

dB G

et G

Pour ), ( ) 1 _dB 0

( 10

1 ⁰

0







 w w w

w w

 

 



− 

 



 



 





0 2

0 0

0

log 40 )

( ),

10 (

1 w

w w

w w w

w w w

G dB

et G

Pour

Électricité - Électronique

G

log(ww

)

 = 0,02

 = 0,05

 = 0,2

 = 0,6

 = 1

 = 3

 = 5

Pente de -40 dB/décade

Tracé du diagramme de Bode :

Électricité - Électronique

j

−

−

log(ww

)

 = 0,02

 = 0,05

 = 0,1

 = 0,2

 = 0,6

 = 1

 = 3

 = 5

Tracé du diagramme de Bode :

Électricité - Électronique

➢ III – Filtres du 2

ordre (passifs) :

1) Circuit (R,L,C) série :

b) Aux bornes de R en sortie ouverte (filtre passe – bande) : étude qualitative

 

 



 − +

= +

+

=

w w w w

w

L C R

j jL jC

R j R

H 1

1

1 ) 1

(

La règle du diviseur de tension donne :

K j

K j

j j

H

 

 



 − +

= +

−

=

w w w

w

 w

 w w

w

w

 w w

0 0

0 2

0 2

0

1 2

1 2

1 2 )

(

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :

C

v

(t) R v

L

Électricité - Électronique

Par identification :

1 2 ;

1 ;

2

0

= = K =

L C R

LC 

w

D’où (rapport membres à membres) :

1 2 ;

; 1 2

1

0

=

=

= K

RC R

L

 w

w

 

 



 −

+

= +

−

=

w w w

w

 w

 w w

w

w

 w w

0 0 0

2 0 2

0

1 2

1 2

1 2 )

(

j j j j

H

2 ) 2 , ,

0 2 (cos

tan 1

0

 

 −



 



 



 −

−

= j j  

w w w

w j 

2 0 0

4

1 1 ) 1

(

 

 



 − +

=

w w w

w

 w

G

Électricité - Électronique

Il y a « résonance de tension aux bornes de R (« résonance d’intensité »), correspondant à une tension aux bornes de R maximale, pour une pulsation du GBF égale à la pulsation propre w

du circuit (RLC) série :

LC 1

0 = w

Et la tension maximale aux bornes de R à la « résonance d’intensité » est : Résonance de tension aux bornes de R (« résonance d’intensité ») :

m e m

s V

V _, = _,

Bande passante : (voir définition et calcul en mécanique)

Q L

R

c c

0

2 0

1

;

2

w w w

w w

w = − =  = =



Électricité - Électronique

Comportement asymptotique du gain :

Dans les 2 cas, on obtient des droites de pente ±20 dB/décade.

Cette étude permet de tracer le diagramme de Bode dans les intervalles [0,w

/10] et [10 w

,∞], en tenant compte de la valeur de  .

Dans l’intervalle [w

/10,10w

], on trace le diagramme à « main levée », en tenant compte de la valeur de .

) 2 log(

20 log

20 2

) ( 10 ),

( 1

0 0

0 0

w  w w

 w w w

w w

w  +



 



 





 G et G

Pour

2 0 2 0

4 1 1 ) 1

(

 

 



 − +

=

w w w

w

 w

G

) 2 log(

20 log

20 2

) ( ), 10

( 1

0 0

0 0

w  w w

 w w

w w w

w ₊

 

 



− 







 G et G

Pour

Électricité - Électronique

G

log(ww

)

 = 0,02

 = 0,05

 = 0,1

 = 0,2

 = 0,6

 = 1

 = 3 20 dB/décade

Tracé du diagramme de Bode :

Électricité - Électronique

j

−

+

log(ww

)

 = 0,02

 = 0,3

Tracé du diagramme de Bode :

Électricité - Électronique

➢ III – Filtres du 2

ordre (passifs) :

1) Circuit (R,L,C) série :

c) Aux bornes de L en sortie ouverte (filtre passe – haut) : étude qualitative

w w

w w w

w w

jRC LC

LC jL jC

R j jL

H − +

= − +

+

=

2

1 1 )

(

La règle du diviseur de tension donne :

K j

j H

2 0 0 2

2 0 2

2 1

) (

w

 w w

w w w w

+

−

 





 



 −

=

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :

C v

(t)

R

v

L

Électricité - Électronique

Par identification, on retrouve les mêmes caractéristiques :

1 2 ;

2

; 1 1

0

0 = = = K =

L C RC R

LC  w

w

0 2

0 2

2 0 2

2 1

) (

w

 w w

w w w w

j j

H

+

−

 





 



 −

=

 j

j _{passe − haut} = _{passe − bas} +

2

0 2 2

2 0

2

2 0 2

4 1

) (

 

 

 + 

 





 



 −

 





 





=

w

 w w

w

w w G w

Etude mathématique similaire à celle du filtre passe - bas

Électricité - Électronique

G

log(ww

)

 = 0,02

 = 3

Tracé du diagramme de Bode :

Électricité - Électronique

j 



log(ww

)

 = 0,02

 = 3

Tracé du diagramme de Bode :

Électricité - Électronique

➢ III – Filtres du 2

ordre (passifs) :

1) Circuit (R,L,C) série :

d) Aux bornes de (C + L) en sortie ouverte (filtre réjecteur ou coupe - bande) : étude qualitative

v

^{w w}

w w w

w w

w LC jRC

LC jL jC

R jC jL j

H − +

= − +

+

+

=

2

1 1 1

1 )

(

La règle du diviseur de tension donne :

K j

j H

2 0 0

2

2 0 2

2 1

1 )

(

w

 w w

w

w w w

+

−

−

=

On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :

C L

R

v

Électricité - Électronique

Par identification, on retrouve les mêmes caractéristiques :

1 2 ;

2

; 1 1

0

0

= = = K =

L C RC R

LC  w

w

 

 



 − +

=

+

−

−

=

w w w

w w 

w

 w w

w

w w w

0

0 2

0 2

2 0

2

1 2 ) 1 (

2 1

1 )

(

j j H

j j

H

 j

j _réjecteur = _{passe −bas} 

Etude mathématique similaire à celle du filtre passe - bande

2 0

4 2

1 ) 1

(

 

 



 −

+

=

w w w

w w 

G

Électricité - Électronique

G

log(ww

)

 = 0,02

 = 3

Tracé du diagramme de Bode :

Électricité - Électronique

j

−



log(ww

)

 = 0,02

 = 3

Tracé du diagramme de Bode :

Électricité - Électronique

➢ III – Filtres du 2

ordre (passifs) :

2) Conclusion sur les filtres du 2

ordre :

K Q

j K

j j

H

2 0 0 2 2 0

0 2

1 2

1 ) (

w w w

w w

 w w

w w

+

−

= +

−

=

2

0 2

0 0

0

1 1 2

1 



 

 + 

 

 



= 

w w w

w w

w w

 w j j j

j Q

PASSE - BAS

PASSE - BANDE

PASSE - HAUT

REJECTEUR

w

: pulsation propre du filtre ; Q : facteur de qualité et  : facteur d’amortissement (  = 1/2Q).

Ces grandeurs dépendent de la nature du filtre (voir exemples à suivre).

Électricité - Électronique

➢ III – Filtres du 2

ordre (passifs) :

3) Quelques exemples de filtres du 2

ordre :

(Pont de Wien)

Animation Java (Wien, Colpitts, …)

Voir également feuilles de TD

Électricité - Électronique

➢ III – Filtres du 2

ordre (passifs) :

4) Circuit parallèle (RLC) en sortie « non ouverte » :

C v

(t)

R

v

L R

éq

jC R

y = jL 1 + w + 1 w

e éq s

y R v

j v

H = = +

1 ) 1

( w

 

 



 −

 +



 



 +

=

w w w

C L R jR

R j

H

u

1 1 ) 1

(

Etude qualitative

u u u

u u

RR R R C C

L R

R

R R K R

LC

= +

=

 



 



 +

=

= +

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2 1 1 ;

1 2 1

1 ;

0 0

w w



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