MATHEMATIQUES DE BASE

MATHEMATIQUES DE BASE

Cours de Maths 2013-2014

Semestre d’Automne

Notes de cours 2013-2014 disponibles (au fil des semaines) sur la page:

http://www.labri.fr/perso/hocquard/Teaching.html

Autres documents sur le site :

http://www.canal-u.tv/producteurs/les_amphis_de_france_5/

dossier_programmes/philosophie/sciences_et_philosophie/

le_monde_est_il_mathematique

LES REFERENCES DU COURS

2

E ^{T ENCORE} , ^{POUR CEUX QUE PASSIONNE}

L ’ ^{HISTOIRE DES IDÉES} , ^{DES CONCEPTS}

ET DE LEURS ^INVENTEURS …

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history

http://autourdesmaths.fr/spip/spip.php?rubrique1

Pourquoi les mathématiques ?

Pour entrevoir quelques exemples illustrant le rôle essentiel des

mathématiques là où on ne le soupçonne

pas toujours !

Bases de logique, théorie des ensembles

LE PLAN DU COURS

5

2 ou 3 évaluations en TD Note de TD

Examen final en janvier 2014 Note d’examen

6

7

B ^{ASES DE LOGIQUE ET THÉORIE}

DES ENSEMBLES

¢ 

Opérations logiques

¢ 

Ensembles et parties d’un ensemble ; quantificateurs

¢ 

Apprendre à raisonner par l’absurde

¢ 

Raisonner par contraposition

¢ 

Compter, calculer, ordonner, raisonner par récurrence

¢ 

Notion de fonction

8

O ^{PÉRATIONS LOGIQUES}

¢ 

Objets, assertions, relations

¢ 

Vrai et Faux

¢ 

Quelques opérations entre assertions

¢ 

Règles de logique

9

Les nombres (ℕ,  ℤ,  𝔻,  ℚ,  ℝ,  ℂ,  …)

Objets, assertions, relations

10

¢ 

ℕ  :  l’ensemble  des  entiers  naturels

¢ 

ℤ  :  l’ensemble  des  entiers  relatifs

¢ 

𝔻  :  l’ensemble  des  nombres  décimaux

¢ 

ℚ  :  l’ensemble  des  nombres  rationnels

¢ 

ℝ  :  l’ensemble  des  nombres  réels

¢ 

ℂ  :  l’ensemble  des  nombres  complexes

Les objets géométriques

12

VRAI

FAUX

Objets, assertions, relations

13

E ^{TABLIR GRÂCE À UN JEU D} ’ ^AXIOMES

QU ’ ^{UNE ASSERTION EST} VRAIE

¢ 

C’est prouver un théorème …

¢ 

ou prouver un lemme …

¢ 

ou prouver un corollaire …

14

Q ^{UELQUES OPÉRATIONS ENTRE}

ASSERTIONS

L ^A DISJONCTION : R ^OU S

R S R ou S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

V

16

L ^A CONJONCTION : R ^ET S

R S R et S

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

V

17

L’ IMPLICATION : R ^IMPLIQUE S

R S R implique S

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

R ⇒ S

L’ ÉQUIVALENCE : R ^{ÉQUIVAUT À} S

R S R équivaut à S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

R⇔S

L ^{A NÉGATION} : ^NON R

R non R

0 1

1 0

L

20

R ^{ÈGLES DE LOGIQUE}

21

[ ^{R ⇒ S} ] ^⇔ [ ^{(non S) ⇒ (non R)} ]

22

L ^{A RÈGLE DE}

CONTRAPOSITION

L ^{A RÈGLE DE} TRANSITIVITÉ

[ ^(R ⇒ S) VRAIE ] [ ^(S ⇒ ^{T) VRAIE} ]

[ ^(R ⇒ T) VRAIE ]

et

⇓

23

E ^{NSEMBLES ET PARTIES D} ’ ^UN

ENSEMBLE ; QUANTIFICATEURS

24

Notion d’ensemble

Les deux quantificateurs :

« Quelque soit, pour tout : ∀        »

« Il existe : ∃ »

25

Q UANTIFICATEURS

26

R ^{ÈGLES DE LOGIQUE ET} QUANTIFICATEURS

27

P ^{ARTIES D} ’ ^{UN ENSEMBLE} ; ^L ’ ^INCLUSION A ⊂ ^B

E

A B

28

A ⊂ B

P ^{ARTIES D} ’ ^{UN ENSEMBLE} ; ^{LA NON}

INCLUSION A ⊄ ^B

E

B A

29

A ⊄ ^B

L’ ^{UNION DE DEUX PARTIES} A ^ET B ^D ’ ^{UN ENSEMBLE} E : A ⋃   B

A

B

E

A ⋃   B

30

L’ INTERSECTION DE DEUX PARTIES A ^ET B ^D ’ ^{UN ENSEMBLE} E : A ⋂ B

A

B A ⋂ B

E

31

L ^{A DIFFÉRENCE DE DEUX PARTIES} A ^ET B ^D ’ ^{UN ENSEMBLE} E : A∖B

A\B

B

E

32

L ^E COMPLÉMENTAIRE DE A ^DANS E : C _E A

A C_EA = A^C = E \ A

E

33

L’ APPARTENANCE : ^S ’ ^{UTILISE ENTRE UN}

ÉLÉMENT ET UN ENSEMBLE : ^X ∈  A

34

A ^{PPRENDRE À RAISONNER} : L ^{E PRINCIPE DU} RAISONNEMENT

PAR L ’ ^ABSURDE

BUT : montrer que R est VRAIE

PRINCIPE :

1.  on suppose R fausse

2.  on exhibe (via notre système d’axiomes) une certaine assertion S 3.  on montre que (R fausse+ axiomes) implique [S est VRAIE]

4.  on montre que (R fausse+ axiomes) implique [S est FAUSSE]

CONCLUSION : R est VRAIE

35

Apprendre à raisonner :

Le principe de contraposition

36

[ ^{R ⇒ S} ] ^⇔ [ ^{(non S) ⇒ (non R)} ]

C ^OMPTER , ^CALCULER , ^ORDONNER R ^{AISONNER PAR RÉCURRENCE}

( ^{OU INDUCTION} )

BUT : montrer que R {n} est VRAIE à tout rang n

PRINCIPE :

1.  on montre que R{0} est VRAIE

2.  on montre : ([R {n} VRAIE] implique [R {n+1} VRAIE]) à tout rang n

CONCLUSION : R {n} est VRAIE à tout rang n

Vers l’axiomatique des entiers …

37

L ^{ES AXIOMES DE} ℕ (G. P ^EANO )

¢ 

1. ℕ contient au moins un élément (noté « 0 »)

¢ 

2. Tout élément n de ℕ admet un successeur S(n)

¢ 

3. Deux éléments ayant mêmes successeurs sont égaux

¢ 

4. « 0 » n’est successeur d’aucun élément

¢ 

5. Le seul sous-ensemble de ℕ contenant à la fois 0 et les successeurs de tous ses éléments est ℕ tout entier

(principe de récurrence)

G. PEANO (1858-1932)

38

N ^{OTION DE FONCTION ET}

D ’ APPLICATION

Définition : on appelle fonction d’un ensemble E dans un

ensemble F, si tout élément de E est en relation avec au plus un élément de F, c’est à dire un ou aucun.

L’ensemble G

est dit graphe de la fonction f ainsi associée à G

et on note

y = f(x)

l’unique élément de F tel que (x,y) soit dans G

.

GRAPHES ET FONCTIONS

40

Soient E et F deux ensembles et f une fonction de E dans F.

Définition : le domaine de définition de f, noté D

, est l’ensemble des éléments de E ayant une image par f, c’est à dire :

D

={x   ∈ E /   ∃ y ∈ F, y=f(x)}

Définition : une fonction f définie de E dans F est appelée une application si son domaine de définition est E, c’est à dire si

D

=E. En d’autres termes, tout élément de E est en relation avec un unique élément de F.

Domaine de définition et application

41

N ^OTIONS

D ’ ^INJECTION …

E

F

f(x)

f(x₁)=f(x₂) x₁

x₂

Pour tout x₁ dans E, pour tout x₂ dans E, f(x₁)=f(x₂)

⇒

Pour tout x₁ dans E, pour tout x₂ dans E, x1

≠

⇒

≠

42

… ^{ET DE}

SURJECTION

E

y=f(x) x

z

Pour tout y dans F, il existe x dans E tel que y=f(x)

?

43

… ^{ET DE}

BIJECTION

E

F

f(x)

f(x₂) x₁

x₂

f  bijective  ⇔  f  injective  et  surjective

f(x₁)

F ^{IN DU PROLOGUE}