Placez chacun des nombres proposés dans l’ensemble qui lui correspond :

Ensembles de nombres

Donner une définition précise des éléments contenus dans les ensembles suivants : = les entiers naturels, = les entiers relatifs, ID = les décimaux, = les rationnels, = les réels.

Application

Placez chacun des nombres proposés dans l’ensemble qui lui correspond :

 4 ^{0,923 1}

3 1  0

 4,55

10

1 7

2 46

 10

 2 7

 1 ^{17, 666... 1} 4

3

10 100

Résolution d’équations

1. L’équation x   3 0 a-t-elle des solutions dans ? La résoudre dans . 2. Résoudre dans l’équation x

  4 0 . La résoudre dans .

3. L’équation 7 x   1 0 a-t-elle des solutions dans ID ? La résoudre dans .

4. Résoudre dans ID l’équation

²⁵ 0

x  9  . La résoudre dans .

5. L’équation x

  3 0 a-t-elle des solutions dans ? La résoudre dans .

6. On considère l’équation ^{3 x}

^{ }  ^{1 3 3}  ^{x  3  0} . Montrer que le discriminant de cette équation peut s’écrire ^{ }  ^{3 3 1 } 

. Résoudre cette équation dans , puis dans . 7. L’équation x

  1 0 a-t-elle des solutions dans ?

Une idée

Le mathématicien Bombelli eut l’idée de définir des nombres qui ne sont pas des nombres réels et

de donner un sens à  1 . Il définit ainsi un nombre « imaginaire » noté i dont le carré est égal

à  1 . L’équation x

  1 0 admet désormais deux solutions qui sont x  i et x   i . On se

situe à l’extérieur de dans un ensemble appelé l’ensemble des nombres complexes.

La table de multiplication de Bombelli Recopier et compléter la table de

multiplication suivante :

 1  1 ^{ i  i}

 1

 1

 i

 i

Le plan complexe

Nous savons que les réels sont représentés sur une droite horizontale graduée et orientée. Les nombres i et  i seront placés sur la perpendiculaire à la droite des réels passant par l’origine.

Placer les nombres  1 ,  1 , i et  i dans le plan complexe.

Résolution d’équations

  E

 x

  4 0

En supposant l’existence d’un nombre imaginaire i vérifiant i

  1 , résoudre l’équation E

. Représenter les solutions de l’équation E

dans le plan complexe.

  E

 4 x

 25  0

En supposant l’existence d’un nombre imaginaire i vérifiant i

  1 , résoudre l’équation E

. Représenter les solutions de l’équation E

dans le plan complexe.

  E

 x

 81  0

En supposant l’existence d’un nombre imaginaire i vérifiant i

  1 , résoudre l’équation E

. On pourra procéder à un changement de variable X  x

.

Représenter les solutions de l’équation E

dans le plan complexe.

  E

 x

 2 x   5 0

Montrer que ^x

^{ 2 x }  ^{x  1} 

^{ 1} . En déduire que    E

 x  1 

  4 0 . En utilisant i

  1 , factoriser l’expression  ^x  ¹ 

 ⁴ .

Résoudre alors l’équation E

. Représenter les solutions de l’équation E

dans le plan complexe.

1 1

Partie réelle, partie imaginaire

On considère les nombres complexes suivants : 3 5

z   i z   3 i z  2 z  3 i

 i z  0

 Déterminer pour chaque nombre ^Re   ^z et ^Im   ^z .

 Indiquer les nombres complexes qui sont des imaginaires purs.

Conjugué d’un nombre complexe

On considère les nombres complexes suivants : 3

z   z   2 i z    1 i z  5 i _{z  3 i}

_{ i}

 Déterminer pour chaque nombre ^Re   ^z et ^Im   ^z . Y a-t-il des imaginaires purs ?

 Déterminer les conjugués de ces nombres complexes.

Affixe de points, affixes de vecteurs On considère les points ^A   ^4;0

 ^{3; 1} 

B  et ^C  ^{ 2;1}  . Placer ces points dans le plan complexe.

Déterminer z

z

et z

les affixes des points. Déterminer z

l’affixe du vecteur AB .

Affixe de points, affixes de vecteurs, relation de Chasles On considère dans le plan complexe quatre

points A, B, C et D. Déterminer z

z

z

et z

les affixes des points.

Déterminer z

l’affixe du vecteur AD . Déterminer z

l’affixe du vecteur AB . Déterminer z

l’affixe du vecteur BD . Conjecturer une relation liant les trois nombres complexes z

z

et z

.

1 1

1 1

B

A D

C

La somme

Soit z   a ib un nombre complexe et z    a  ib  un autre nombre complexe.

On considère z  z la somme des deux nombres complexes.

 Déterminer la partie réelle puis la partie imaginaire de z  z .

 Préciser la forme algébrique de z  z . Le produit

Soit z   a ib un nombre complexe et z    a  ib  un autre nombre complexe.

On considère z z  le produit des deux nombres complexes.

 Déterminer la partie réelle puis la partie imaginaire de z z  .

 Préciser la forme algébrique de z z  . L’inverse

Soit z   a ib un nombre complexe.

On considère 1

z l’inverse de ce nombre complexe.

 Déterminer la partie réelle puis la partie imaginaire de 1 z .

 Préciser la forme algébrique de 1 z . Forme algébrique

Mettre les nombres complexes suivants sous la forme algébrique :

 

2 3 3 5

z     i i ^{z }  ^{2  3 i} 

⁵

3 2 z i

i

  



Opérations sur un nombre complexe Dans le plan complexe on a tracé le cercle trigonométrique. On considère le nombre

complexe ^{1 3}

2 2

j    i . Calculer j le conjugué du nombre complexe j . Calculer j

le carré du nombre complexe j . Calculer j

le cube du nombre complexe j . Placer j , j , j

et j

dans le plan complexe ci-contre. Montrer que 1   j j

 0 . Que peut-on dire de 1

j ?

0.5 0.5

Différence de deux affixes



^;



A x y et B x 

^; y

 sont deux points du plan complexe.

 Comment s’écrivent les affixes z

et z

des points A et B ?

 Quelles sont les coordonnées du vecteur AB ? En déduire l’affixe z

du vecteur AB .

 Ecrire une relation liant z

, z

et z

.

Somme de deux affixes

A, B et C sont trois points du plan complexe d’affixes z

, z

et z

.

 Comment s’écrit l’affixe z

du vecteur AB .

 Comment s’écrit l’affixe z

du vecteur BC .

 Comment s’écrit l’affixe z

du vecteur AC .

 Ecrire une relation liant ^z

, ^z

et ^z

.

Demi somme de deux affixes



^;



A x y et B x 

^; y

 sont deux points du plan complexe.

 Comment s’écrivent les affixes z

et z

des points A et B ?

 Quelles sont les coordonnées du point I milieu du segment   ^{AB .}

 En déduire l’affixe z

du point I.

 Ecrire une relation liant z

, z

et z

1 1

A yB B

xA xB yA

1 1

A

B

C

1 1

A yB B

xA xB yA

i

Un carré complexe

On considère le nombre complexe z

  1 i . 1. Déterminer la forme algébrique des

nombres complexes z

  i z

,

3 2

z   i z et z

  i z

. Exprimer z

, z

et z

en fonction de z

.

2. Placer dans le plan complexe les points images M

, M

, M

et M

d’affixes respectives z

, z

, z

et z

. Quelle est la nature du quadrilatère formé.

Un rectangle complexe

Soit M le point d’affixe z   1 i . 1. Soit N le point d’affixe ¹

z . Déterminer la forme algébrique de ¹

z . Placer dans le plan complexe les points M et N.

2. Construire le point P d’affixe z ¹

 z . 3. Quelle est la nature de OMPN ?

Un parallélogramme complexe

On considère les points A, B et C d’affixes respectives z

  4 2 i , z

  1 3 i et z

  2

1. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

2. Déterminer l’affixe du vecteur AB . 3. Déterminer l’affixe du point D tel que

le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. Placer le point D dans le plan complexe

4. Déterminer l’affixe du point d’intersection des diagonales du parallélogramme ABCD.

0.2 0.2

0.2 0.2

1 1

Equation du second degré à coefficients réels

Une équation du second degré à coefficients réels est une équation d’inconnue x du type

2

0

ax  bx c   dans laquelle a , b et c sont trois nombres réels tels que a  0 .

1. En posant   b

 4 ac démontrer que

2 2

2 4

ax bx c a x b

a a

    

               .

2. Si   0 , démontrer que l’équation admet deux solutions réelles distinctes qui sont

1

2

x b

a

  

 et

2 x b

a

  

 . Que peut-on dire des deux solutions lorsque   0 ?

3. Si   0 , démontrer que l’équation admet deux solutions complexes conjuguées qui sont

1

2

z b i a

  

 et

2 z b i

a

  

 .

Exercice d’application directe

1. Résoudre dans l’équation z

   z 1 0 .

Placer les solutions obtenues dans le plan complexe.

2. Résoudre dans l’équation z

 4 z   6 0 . Placer les solutions obtenues dans le plan complexe.

3. Résoudre dans l’équation 2 z ²

  z .

Placer les solutions obtenues dans le plan complexe.

4. Résoudre dans l’équation  ^{z  2}   ^z

^{ 2 2 z  4}  ^{ 0 .}

Placer les solutions obtenues dans le plan complexe.

Propriétés du conjugué

Soit z   a ib et z    a  ib  deux nombres complexes quelconques. On note z   a ib et z    a  ib  leurs conjugués respectifs. On considère n un nombre entier naturel quelconque.

1. Démontrer que z    z  z z  . Démontrer que z    z  z z  . 2. Démontrer que z z     z z  . Démontrer que ^z

^   ^z

^.

3. Démontrer que ^{1 1}

z z

  

   

  . Démontrer que ^{z z}

z z

  

   

  . On travaille ici avec z  0 . 4. Déduire de certains des résultats précédents que si z

est une racine du polynôme ^{P z}  

à coefficients réels, alors son conjugué est aussi une racine de ce polynôme.

Conjugué, réel, imaginaire pur

Soit z   a ib un nombre complexe quelconque.

1. Démontrer que ce complexe est un réel si et seulement si z  z .

2. Démontrer que ce complexe est un imaginaire pur si et seulement si z   z .

Résoudre des équations dans l’ensemble des complexes

1. Résoudre dans l’équation suivante : 2 iz     4 3 z i . 2. Résoudre dans l’équation suivante : 8 z     5 i 4 z i . 3. Résoudre dans l’équation suivante : ^{2 i  3 z  i}  ^{5  iz}  .

4. Résoudre dans l’équation suivante : z  2 z   3 4 i . 5. Résoudre dans l’équation suivante : 2 z    4 5 i 4 z .

Conjugué, partie réelle, partie imaginaire Soit z   a ib un nombre complexe quelconque.

1. Démontrer que ^Re  

2 z z

z 

 .

2. Démontrer que ^Im  

2 z z

z i

  .

Déterminer des ensembles de points

1. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z

 z soit un nombre réel.

2. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que 2 z

 3 iz soit un nombre réel.

3. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que ^{z 3} z i



 soit un nombre réel.

Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que ^{z 3} z i



 soit un imaginaire pur.

4. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que ^{z i} z i



 soit un nombre réel.

Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que ^{z i} z i



 soit un imaginaire pur.

Coordonnées polaires

A tout point M de coordonnées   ^{a b ;}

du plan complexe, on associe un nombre complexe noté z qui s’écrit z   a ib . Module

On appelle module d’un nombre complexe z la norme du vecteur OM . Le module de z est noté z et se calcule comme l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Ainsi z  a

 b

.

 Exprimer cos  en fonction de a et z ,

 Exprimer sin  en fonction de b et z . Argument

On appelle argument d’un nombre complexe z non nul une mesure de l’angle orienté

 ^{i OM ;} 

  . L’argument de z est noté ^arg   ^z . Remarque

Le module et l’argument d’un complexe correspondent aux coordonnées polaires vues en 1

.

Exprimer le module à l’aide du conjugué

Soit z   a ib la forme algébrique d’un nombre complexe. Ecrire en fonction de a et b le produit z z  . En déduire une expression du module z en fonction de z et z . Calculer le module des nombres complexes z   2 i , z   3 4 i et z  3 i .

Déterminer un module et un argument 1. Déterminer la forme algébrique des

affixes z

, z

, z

, z

, z

et z

. 2. Déterminer les modules de z

, z

,

z

, z

, z

et z

.

3. Déterminer les arguments de z

, z

, z

, z

, z

et z

.

Rappels de trigonométrie

Rappeler dans un tableau les valeurs du cosinus et du sinus de tous les angles de référence compris dans l’intervalle  ^{   ;}  . Ces valeurs sont à connaître par cœur.

O

1 1 b M

a

1 1 B

C A

D E

F

Déterminer le module et un argument d’un point image On a placé dans le plan

complexe ci-contre les points A, B, C, D et E.

On note z

, z

, z

, z

et z

les affixes des cinq points.

1. Déterminer les modules de z

, z

,

z

, z

et z

. 2. Déterminer les

arguments de z

, z

, z

, z

et z

. 3. Donner la forme

algébrique des complexes z

, z

,

z

, z

et z

.

4. Placer le point F d’affixe z

qui vérifie z

 4 et ^arg  

F

2 z _ 

. Placer le point G d’affixe z

qui vérifie z

 2 et ^arg   ³

G

4

z 

  .

Forme trigonométrique d’un nombre complexe A tout point M de coordonnées   ^{a b ;}

du plan complexe, on associe un nombre complexe noté z qui s’écrit z   a ib . Supposons z non nul.

Notons r  z le module de z .

Notons ^{  arg}   ^z un argument de z .

La forme trigonométrique de z est : ^z  ^r  ^cos   ^{i sin}  

Application

1 3

2 2

j    i z    44 i 44 3 z   5  i 5

O

1 1

B A

D

E

C

O 1 1 b M

a

Une propriété du module – Une propriété de l’argument

On rappelle ci-dessous les formules d’addition du cosinus et du sinus vues en première :

 

cos a  b  cos cos a b  sin sin a b ^sin  ^a  ^b   ^{sin cos a b}  ^{cos sin a b} On considère ^{z  r}  ^{cos   i sin }  et ^{z   r }  ^{cos    i sin  }  deux complexes non nuls écrits sous la forme trigonométrique.

1. Ecrire le produit z z  sous la forme trigonométrique.

2. Quel est le module de z ? Quel est le module de z ? Quel est le module de z z  ? 3. En déduire une relation entre z , z et z  z .

4. Quel est un argument de z ? Un argument de z ? Un argument de z z  ? 5. En déduire une relation entre ^arg   ^z , ^arg   ^z et ^arg  ^{z  z}  .

6. Grâce à la relation précédente, écrire de deux manières arg z ¹ z

  

 

  .

7. En déduire une relation entre arg ¹ z

   

  et ^arg   ^z .

8. Déterminer enfin une relation entre ^arg   ^z , ^arg   ^z et arg z z

    

  . Interprétation géométrique du module et de l’argument d’une différence

A et B deux points du plan complexe d’affixes z

et z

. C et D deux points du plan complexe d’affixes z

et z

. Rappelez ce que représentent les différences z

 z

et z

 z

.

1. Quelle interprétation géométrique peut-on donner à

B A

z  z et à z

 z

?

2. Quelle interprétation géométrique peut-on donner à

 

arg z

 z

et à ^arg  z

 z

 ? 3. En déduire une interprétation

géométrique pour arg

B A

z z z z

  

  

 

1 1 A

B

C D

i

Construction d’un carré

On considère les nombres complexes z

   1 i  1 2  i  ,

^{2 6} 3 z i

i

 

 et

⁴ 1 z i

 i

 . M

, M

et M

désignent les points images dans le plan complexe .

1. Déterminer la forme algébrique des trois nombres complexes. Placer M

, M

et M

.

2. Calculer

2 1

z z z z



 . Calculer

2 1

z z z z



 et

2 1

arg z z z z

  

  

  . 3. En déduire que le triangle M M M

est rectangle isocèle.

4. Construire le point M

tel que M M M M

soit un carré et déterminer son affixe z

.

Une rotation – Une translation

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct  ^{O i j ; ;}  d’unité graphique 2 cm.

1. Tracer les cercles de centre O et de rayons 1 et 2.

2. Placer les points A , B et D d’affixes respectives z

 3  i z

 3  i et

1 3

2 2

z

   i . Vous commencerez par déterminer les formes trigonométriques de ces trois nombres complexes

On considère la rotation R de centre O et d’angle 3

 et la translation T de vecteur i .

1. Déterminer les affixes z

et z

des points ^A et ^B images de A et B par la rotation R . Vous commencerez par déterminer les formes trigonométriques de ces complexes puis les formes algébriques.

2. Déterminer l’affixe z

du point D image de D par la translation T . Vous commencerez par déterminer la forme algébrique de ce complexe puis la forme trigonométrique.

3. Placer les points ^A , ^B et D . 4. Calculer

D

z z

z

 



 . Déterminer une mesure de l’angle orienté de vecteurs  ^{OD B A    ;}  ^.

5. En déduire que  ^OD  est la médiatrice du segment  ^{A B  }  ^.

Forme exponentielle d’un nombre complexe – Notation

Nous savons que tout nombre complexe non nul peut s’écrire sous la forme trigonométrique

 ^{cos sin} 

z  r   i  où r est le module de z et  un argument de z . Posons e

 cos   i sin  .

L’écriture du nombre complexe sous forme exponentielle est alors z  re

.

Propriétés de la fonction exponentielle – Propriétés sur les modules et arguments

Soient z  re

et z  r e 

deux complexes non nuls notés sous forme exponentielle. En utilisant les propriétés établies dans le cours sur la fonction exponentielle :

1. Calculer z z  sous forme exponentielle.

Que devient le module du produit ? Que devient un argument du produit ? 2. Calculer 1

z sous forme exponentielle.

Que devient le module de l’inverse ? Que devient un argument de l’inverse ? 3. Calculer z

z sous forme exponentielle.

Que devient le module du quotient ? Que devient un argument du quotient ? 4. Cette nouvelle notation respecte-t-elle les propriétés sur le module et l’argument ? Les formules d’Euler

Pour tout nombre réel  on définit e

 cos   i sin 

1. Calculer e

. Où sont placés les points images de ces nombres dans le plan complexe ?

2. Placer dans le plan complexe

5 i6

e



, e



, e



et e

. Où sera placé z 2 e



 ?

3. Exprimer cos  en fonction de e

et e

. Exprimer sin  en fonction de e

et e

. 4. En utilisant les expressions du cosinus et du sinus, montrer que cos

  sin

  1 . La formule de Moivre – Puissance n d’un complexe sous forme exponentielle

Pour tout nombre réel  on a la relation   ^e

^{ e}

^{ cos   n   i sin   n }

Exercice d’application directe

Donner la forme exponentielle des complexes : 2 2 3 z i

i

 

 , ^{1 3}

1 3

z i

i

 

  et ^{z   }  ^{1 i} 

^.

Déterminer la forme exponentielle de z   3 3 3 i . En déduire une expression de z

.

Exercice 1 – Liban 2014

Exercice 2 – Centres étrangers 2014

Exercice 3 – Pondichéry 2014

Exercice 4 – Centres étrangers 2013

Exercice 5 – Amérique du Sud 2013

Exercice 6 – Pondichéry avril 2017

Exercice 7 – Antilles Guyane septembre 2017

Exercice 8 – Amérique du Nord juin 2016

Exercice 9 – Antilles Guyane juin 2016