Fonction asymptotique de Samuel des sections hyperplanes et multiplicité

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Preprint submitted on 12 Jan 2009

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Fonction asymptotique de Samuel des sections hyperplanes et multiplicité

Michel Hickel

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Michel Hickel. Fonction asymptotique de Samuel des sections hyperplanes et multiplicité. 2009.

�hal-00352329�

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Fonction asymptotique de Samuel des sections hyperplanes et multiplicit´e

M. Hickel

Abstract

Let (A,mA, k) be a local noetherian ring andIanmA-primary ideal. The asymptotic Samuel function (with respect toI)vI :A−→R∪ {+∞}is deﬁ- ned byvI(x) =limk→+∞

ordI(x^k)

k ,∀x∈A. Similary, one deﬁnes for another idealJ,vI(J) as the minimum ofvI(x) as xvaries inJ. Of special interest is the rational number vI(mA). We study the behavior of the asymptotic Samuel function (with respect toI) when passing to hyperplanes sections of Aas one does for the theory of mixed multiplicities.¹

1 Introduction

Soient (A,m_A, k) un anneau local noetherien et I un id´eal m_A-primaire. La fonction asymptotique de Samuel (par rapport `a I) est la fonction v_I : A −→

R_≥0∪ {+∞}d´eﬁnie par :

v_I(x) =Lim_k→+∞ord_I(x^k) k

oùord_I(x) =M ax{m∈N/x∈I^m}six6= 0 etord_I(0) = +∞. De fa¸con similaire, on définit pour un idéal J deA le nombrev_I(J) par :

v_I(J) =M in_x∈Jv_I(x).

La fonction asymptotique de Samuel prend en fait des valeurs rationnelles et peut se calculer à l’aide desvaluations de Rees de I. Elle joue un rôle primordial dans l’étude des clôtures intégrales des puissances de I. Nous renvoyons à [H-S], [L- T], [R1] pour les résultats et les compléments essentiels concernant ces notions.

12000 Mathematics Subject Classiﬁcation ; Primary 13B22 ; Secondary 13C15, 13F25. Key words and phrases : Asymptotic Samuel function, Hyperplanes sections, Integral Closure of ideals, Multiplicity, Lojasiewicz inequalities.

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En particulier le nombre rationnel v_I(m), ou son inverse ν_I(m)=v_I(m)⁻¹ que nous appellerons exposant de Lojasiewicz de I (voir § 2) joue un rôle important dans l’étude de la topologie des singularités c.f. [T1,2]. De la même manière que la notion de multiplicité mixte permet en particulier de rendre compte du comportement de la I-multiplicité de A après avoir intersecté celui-ci par des sections hyperplanes suffisamment génériques, nous avons cherché à établir des résultats similaires pour la I-fonction asymptotique de Samuel après sections hyperplanes génériques. Le résultat principal du présent travail est le suivant.

Th´eor`eme 1.1

Soit(A,m, k)un anneau local régulier d’égale caractéristique zéro, dont on notera n+ 1la dimension. Considérons un idéal I ⊂A,m-primaire, de multiplicité e(I) et d’exposant de Lojasiewicz ν_I(m) =v_I(m)⁻¹ =ν_I⁽ⁿ⁺¹⁾.

1) Pour tout i, 1≤i≤n, il existe un ouvert de Zariski dense U⁽ⁱ⁾=U⁽ⁱ⁾(I)

⊂G_k(i, n+ 1) de la Grassmanienne des i-plans dekⁿ⁺¹ tel que∀H∈U⁽ⁱ⁾, H défini par l’annulation des n+ 1−i formes linéaires

h_j(X₀, X₁, . . . , X_n) = X

0≤k≤n

a_k,j.X_j,

le nombre rationnel v_I.A_H(m_H), où A_H = A/(h₁, . . . , h_n+1−i) et m_H est l’idéal maximal de A_H, est indépendant de H ∈U⁽ⁱ⁾. Le nombre rationnel ν_I⁽ⁱ⁾= (v_I.A_H(m_H))⁻¹ (indépendant de H∈Uⁱ) est appelé le ième exposant de Lojasiewicz de I ou encore l’exposant de Lojasiewicz de I restreint à un i-plan générique.

2) On a :

e(I)≤ν_I⁽¹⁾×ν_I⁽²⁾×. . . .×ν_I⁽ⁿ⁾×ν_I⁽ⁿ⁺¹⁾.

Notons que ν_I⁽¹⁾≤ν_I⁽²⁾≤. . .≤ν_I⁽ⁿ⁾≤ν_I⁽ⁿ⁺¹⁾ et queν_I⁽¹⁾ n’est autre queordm(I).

Un cas important parmi les cas d’égalités dans 2) est fourni par les idéaux I tels qu’il existe des entiers b∈N^∗, 1≤a1≤a2. . .≤an+1 tels que

I^b = (l₁â¹, lâ₂², . . . , lâ_n+1ⁿ⁺¹),

où l1, . . . , ln+1 est un système régulier de paramètres de A. En effet, dans ce cas ν_I⁽ⁱ⁾ = â_bⁱ et bⁿ⁺¹e(I) = Π_1≤i≤n+1a_i. Une discussion et une description plus complète des cas d’égalités de 2) est donnée plus bas (c.f 5)).

Quelques mots sur la preuve du résultat ci-dessus. Tout d’abord, il ne nous a pas paru aisé de décrire la variation des valuations de Rees de I.A_H lorsque H parcourt la Grassmanienne et donc de suivre par ce biais la variation dev_I.A_H(m_H).

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Ainsi la preuve du premier point de 1.1 procède de manière indirecte. On com- mence par montrer un résultat indépendant (Th 3.1) qui nous semble pouvoir présenter un interêt par lui-même. Si A est local régulier d’égale caractéristique zéro, nous montrons comment on peut calculer vI(m) à l’aide de certains po- lynômes caractéristiques canoniquement associés àI. Ce procédé, indépendant de la connaissance des valuations de Rees deI, fait l’objet de la section 3). Nous rap- pellons au préalable (section 2) quelques résultats et notions que nous utiliserons ensuite. C’est dans la preuve de 3.1 qu’interviennent les hypothèses de régularité et d’égale caractéristique zéro. On utilise ensuite l’existence de réductions jointes et des techniques de bases standards (dans le sens de Grauert-Hironaka [A-H-V], [H]) et de variations de diagrammes des exposants initiaux telles que développées par Bierstone-Milman [B-M] pour montrer que les polynômes caractéristiques en question varient de fa¸con agréable lorsque H décrit un ouvert de Zariski conve- nable de la Grassmanienne. Ceci est exposé à la section 4) et permet d’obtenir le premier point de 1.1. La majoration de la multiplicitée(I) est obtenue ensuite comme conséquence de cela et d’une généralisation de la loi d’associativité pour les multiplicités que l’on peut trouver dans le livre de D.G. Northcott [N] (Nous ignorons si ce résultat lui est dû). Nous décrivons ensuite certains cas d’égalité dans l’inégalité 2) à la section 5).

2 Rappels et notations

2.1 L’algorithme de division formelle de Grauert-Hironaka Soitα= (α₁, . . . , α_n)∈Nⁿ, on notera :|α|=α₁+· · ·+α_n.Nⁿest totalement ordonné par l’ordre lexicographique sur les n+ 1 upplets (|α|, α₁, . . . , α_n). Si A est un anneau commutatif unitaire intègre, et f un élément non nul deA[[X]] = A[[X₁, . . . , X_n]], nous noterons parν(f) son exposant initial. C’est à dire si :

f = X

α∈Nn

a_α.X^α, Supp(f) ={α∈Nⁿ|a_α6= 0}, ν(f) =M in{α∈Nⁿ|a_α 6= 0}.

De même, on notera Init(f) le coefficient du monôme initial def i.e. Init(f) = a_ν(f). Pour un idéal, I ⊂ A[[X]], on notera △_I le diagramme des exposants initiaux de I, i.e. :

△I={α∈Nⁿ|∃g∈I tel que ν(g) =α}.

On a : △_I+Nⁿ = △_I. Si N ⊂ Nⁿ satisfait N +Nⁿ = N (i.e. est stable par translation), le lemme de Dickson nous assure de l’existence d’une unique partie

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ﬁnie de Nⁿ,{α¹, . . . , α^p}, telle que :

N =∪1≤i≤p(αⁱ+Nⁿ) et α^j ∈ ∪/ _i6=j(αⁱ+Nⁿ)

Lesαⁱ sont dits les sommets deN. L’ensembleD(n) des parties deNⁿstables par translation (i.e. satisfaisant N +Nⁿ = N) est totalement ordonn´e comme suit.

Soient N₁, N₂ ∈ D(n). Pour chaquei= 1,2, soient β_i^k,k= 1, . . . , t_i les sommets de N_i indexés dans l’ordre croissant. Après avoir éventuellement permuté N₁ et N₂, il existe t ∈ N tel que : β₁^k = β₂^k, 1 ≤ k ≤ t et (1) t₁ = t = t₂, ou bien (2) t₁ > t = t₂, ou bien (3) t₁, t₂ > t et β_t+1¹ < β_t+1² . Dans le cas (1), N₁=N₂. Dans les cas (2) et (3),N₁< N₂. Il revient au même de dire que la suite (β₁¹, . . . , β^t₁¹,∞, . . .) est strictement plus petite que la suite (β₂¹, . . . , β₂^t²,∞, . . .) pour l’ordre lexicographique, avec la convention β <∞ pour toutβ∈Nⁿ. Siβ¹, . . . , β^t∈Nⁿ, on leur associe la partition suivante de Nⁿ :

△=∪_1≤i≤t(βⁱ+Nⁿ), △=Nⁿ− △, △_i = (βⁱ+Nⁿ)− ∪_k<i(β^k+Nⁿ) Ainsi Nⁿ est l’union disjointe : △ ∪ △ = (∪_1≤i≤t△_i)∪ △. Nous utiliserons le r´esultat suivant.

Théorème 2.1 (Le théorème de division formelle de Grauert-Hironaka [A-H- V], [B-M], [G])

Soient A un anneau (commutatutif unitaire) intègre et F₁, . . . , F_t des éléments non nuls de A[[X₁, . . . , X_n]]. Notons βⁱ = ν(F_i) l’exposant initial de F_i, a_i = Init(F_i)le coefficient du monôme initial deF_i. SoitS la partie multiplicativement fermée de A engendrée par les ai i.e. S ={a^m₁¹, . . . , a^m_t ^t, mi ∈N}. Alors tout

élément F de A[[X]] (ou deS⁻¹.A[[X]]) peut s’écrire de manière unique sous la forme :

F = X

1≤i≤t

D_iF_i+R, D_i, R∈S⁻¹.A[[X]]

avec Supp(R) ⊂ △ et Supp(D_i) +β_i ⊂ △_i, où les △_i et △ sont définis comme ci-dessus.

2.2 Brefs rappels sur la fonction asymptotique de Samuel et les valuations de Rees

Soient (A,m_A, k) un anneau local noetherien int`egre et I un id´eal de A.

Comme nous l’avons rappelé plus haut la fonction asymptotique de Samuel relativement à I est définie par :

∀x∈A, v_I(x) =Lim_k→+∞ord_I(x^k)

k .

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Nous rappelons ici très brièvement comment se calcule v_I à l’aide de valuations discrètes de rang 1 positives surA. Pour de plus amples compléments nous renvoyons à [H-S] chap.6 et 10. Par la terminologie «v une valuation discrète de rang 1 positive sur A »nous entendrons la donnée d’une valuation v associée à un anneau de valuation discrète de rang 1, A_v, entreAet son corps des fractions K = F rac(A) (i.e. A ⊂ A_v ⊂ K) tel que m_v ∩A = m_A. Désignons par Λ_A l’ensemble des telles valuations. Alors :

∀x∈A, v_I(x) =Inf_v∈Λ_Av(x)

v(I) =M in_v∈Λ_Av(x) v(I)

De plus, il existe un ensemble R_I ﬁni non redondant de telles valuations, unique

`

a l’´equivalence pr`es des valuations, telles que :

∀x∈A, v_I(x) =M in_v∈R_Iv(x) v(I)

Ces valuations particulières sont appelées l’ensemble des valuations de Rees deI. Diverses constructions des valuations de Rees deIsont exposées dans [H-S] chap.

10. Un point de vue plus géométrique dans le cadre de la géométrie analytique complexe est dans [L-T]. En particulier [L-T], si A =O_X,x est la fibre en x du faisceau structural d’un espace analytique complexe X etI = (f₁, . . . , f_d) est un idéal m_X,x-primaire, le nombrev_I(m_X,x)⁻¹ est le plus petit nombre réel positifα tel qu’ il existe un voisinage de Vx de xdans X et une constanteC tels que :

∀z∈Vx,

d

X

i=1

|fi(z)| ≥C||z−x||^α,

où|| ||désigne une norme arbitraire surCⁿ dans lequel on a plongé (X, x). Ceci est un cas particulier d’inégalités de Lojasiewicz. Pour cette raison et dans un contexte général nous appellerons le nombre v_I(m_A)⁻¹ l’exposant de Lojasiewicz de I.

3 Polynˆ omes caract´ eristiques et calcul de la fonction asymptotique de Samuel

Soit (A,m) un anneau local régulier d’égale caractéristique zéro, de dimension n. Soit I un idéal m-primaire etg un élément de A. Nous cherchons un procédé qui permet de calculer v_I(g) sans recours à la description des valuations de Rees, en particulier sans recours à l’éclatement normalisé de centre I (i.e. sans recours

(7)

`

a la clôture intégrale de l’algèbre de Rees deI). Nous allons voir que pour tout g ∈A, il y a une relation de dépendance intégrale de degrée(I), canonique, qui calcule v_I(g). Soit Â le complété pour la topologie m-adique de A. Par fidèle platitudeI^p.Aˆ∩A=I^p. Il en découle alors que pour toutg∈A,vI(g) =v_I._A_ˆ(g).

On peut donc supposer queAest complet et donc par le théorème de structure de Cohen supposer que A est isomorphe à k[[X₁, . . . , X_n]] où k ≃A/m. Supposons dans un premier temps que I = (f₁, . . . , f_n) est engendré par une suite régulière.

La construction de base est alors la suivante. Notons F^∗ le morphisme de A₁ = k[[U₁, . . . , U_n]] dansA₂=k[[X₁, . . . , X_n]] défini parU_i −→f_i(X). Le morphisme F^∗ est quasi-fini car dim_k(A₂/m₁.A₂)<+∞, il est donc fini par le théorème de préparation formel c.f. [La] chap. 8. Il en résulte aussitôt qu’il est injectif, puisque A₂ est entier surA₁/Ker(F^∗), ces deux anneaux ont donc la même dimension et par suite Ker(F^∗) = 0. Maintenant le critère local de platitude (c.f. [M]), nous assure que A₂ est un A₁ module plat de type fini car (f₁, . . . , f_n) est une suite régulière de A2. Par conséquent les anneaux étant locaux,A2 est unA1-module libre de type fini, et son rang n’est autre que dim_k(A₂/m1.A₂) =dim_k(A₂/I) = e(I), puisqueA₂est de Cohen-Macauley. Sigest un élément deA₂, l’opérateur de multiplication par g,m_g :A₂ −→A₂ a donc un polynôme caractéristique comme

élément de End_A₁(A₂). Notons P_g(Y, U)∈A₁[Y] ce polynôme caractéristique : Pg(Y, U) =Yê(I)+

e(I)

X

k=1

ai(U1, . . . , Un)Y^e(I)−i ∈A1[Y].

Clairement, par le théorème d’Hamilton-Cayley on a :P_g(g, f₁, . . . , f_n) = 0. Cette relation de dépendance intégrale particulière calcule toujoursv_I(g). On a en effet le résultat suivant :

Th´eor`eme 3.1

Soient I = (f₁, . . . , f_n) ⊂ A₂ et g ∈ A₂ comme ci-dessus, et P_g(Y, U) ∈ A₁[Y] son polynˆome caract´eristique. Posons :

α= p

q =M in_1≤i≤e(I)(Ord_Ua_i(U)

i ), o`u ord_Ua=M ax{k∈N/a∈(U)^k} Alors : v_I(g) =α= ^p_q.

Preuve :

Nous constatons d’abord que v_I(g)≥ ^p_q. Notons K₂ =F rac(A₂). En eﬀet, soitv

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une valuation discr`ete K₂−→Z positive surA₂ de rang 1. Puisque : g^e(I)+

e(I)

X

i=1

a_i(f₁, . . . , f_n)g^e(I)−i = 0.

On a :

(∗) e(I)v(g)≥M in_1≤i≤e(I)(v(a_i(f₁, . . . , f_n)) + (e(I)−i)v(g)).

Soit i₀ réalisant le minimum dans le membre de droite de cette inégalité. Par définition on a :ord_(U)a_i0(U)≥i₀^p_q. Doncord_Ia_i0(f₁, . . . , f_n)≥i_o^p_q. Par conséquent : v(a_i0(f₁, . . . , f_n))≥ i₀^p_qv(I). Il vient ainsi simplifiant l’inégalité (∗) par (e(I)− i₀)v(g) : i₀v(g) ≥ i₀.^p_q.v(I), où encore v(g) ≥ ^p_q.v(I). D’où l’on déduit que v_I(g) ≥ ^p_q, puisque v_I(g) se calcule comme le minimum des v(g)/v(I) lorsque v parcourt l’ensemble des valuations de Rees de I. Supposons maintenant que l’inégalité vI(g) ≥ ^p_q soit stricte i.e. vI(g) > ^p_q. Nous allons voir que l’on abou- tit à une contradiction. Remarquons que pour cela, on peut supposer que k est algébriquement clos. En effet, sinon soit k une clôture algébrique de k. Le morphisme k[[X₁, . . . , X_n]] −→ k[[X₁, . . . , X_n]] étant fidèlement plat, on a v_I(g) = v_I.k[[X]](g), et de même les polynômes caractéristiques de g considéré comme

élément dek[[X]] ou comme élément dek[[X]] coincident. On supposera donc que kest algébriquement clos. SoitK₁=F rac(A₁) et notons toujoursF^∗ :K₁ −→K₂ le morphisme injectif induit par F^∗ :A₁ −→ A₂. Comme A₂ est unA₁-module libre de type fini, on a facilement que pour tout b ∈ A₂ −(0), 1/b ∈ K₁.A₂ et donc K2 est une extension algébrique finie de K1 et [K2 : K1] = e(I).

Comme l’on a supposé que A était d’égale caractéristique zéro, cette extension est séparable et quitte à faire un changement de variables linéaires sur les Xi, par le théorème de l’élément primitif on peut supposer que cette extension est engendrée par X₁ i.e. K₂ =K₁(X₁). Maintenant soit ^p_q_′^′ tel que v_I(g) > ^p_q^′_′ > ^p_q. Puisque v_I(g) =Lim_m→∞ôrdÎ_m^(g^m⁾, il existerait m₀ tel que pour m≥ m₀ on ait ordI(g^m)≥m^p_q^′′. Désignant par [ ] la partie entière supérieure, on aurait donc g^m∈I^[m^p

′ q′]

. Par suite pour tout arcϕ^∗ :k[[X₁, . . . , X_n]]−→k[[t]], on aurait : m.ordt(ϕ^∗(g))≥[m.p^′

q^′]M in1≤i≤nordt(ϕ^∗(fi)) et donc :

(•) ord_t(ϕ^∗(g))≥ p^′

q^′M in_1≤i≤nord_t(ϕ^∗(f_i))> p

qM in_1≤i≤nord_t(ϕ^∗(f_i)).

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Nous allons construire un arcϕ^∗qui ne satisfait pas cette inégalité et obtenir ainsi une contradiction, ce qui prouvera v_I(g) = ^p_q. Pour cela, notons P le polynôme minimal de X₁ sur K₁. P est de degré e(I) et à coefficients dans A₁, i.e. P ∈ A1[Y]. On notera ∆ ∈k[[U1, . . . , Un]] son discriminant (qui est non nul puisque l’extension est séparable). Notons D le produit :

D= ∆.Π_1≤i≤e(I)a_i ∈k[[U₁, . . . , U_n]]

où les a_i sont les coefficients du polynôme caractéristique de g comme défini ci- dessus. Considérons alors In(D) ∈ k[U₁, . . . , U_n] la forme initiale de D, c’est à dire le polynôme homogène de plus bas degré dans le développement en somme de polynômes homogènes deD.In(D) est le produit des formes initiales desa_i et de celle de ∆. Puis choisissons un point (b₁, . . . , b_n)∈kⁿtel queIn(D)(b₁, . . . , b_n)6=

0 et b_i 6= 0, 1 ≤ i≤n. On considère alors l’idéal a de A₂ engendré par (b₁f₂− b₂f₁, b₁f₃−b₃f₁. . . , b₁f_n−b_nf₁). Puisque le morphismeF^∗:A₁−→A₂est entier on a haut(a) = n−1 par les théorèmes de Cohen-Seidenberg. Soit p un idéal premier minimal de hauteur n−1 parmi ceux contenant a, soit B la clôture intégrale de k[[X]]/p et ˆB son complété. Alors par le théorème de structure de Cohen ˆB est isomorphe àk[[t]]. On a donc un morphisme non nul (un arc)ϕ¹^∗ :

ϕ^1∗ :k[[X]]−→k[[X]]/p−→B −→k[[t]]

dont le noyau est p. Posonsϕ¹_i =ϕ^1∗(X_i)∈k[[t]]. Par construction :b₁ϕ^1∗(f_l)− b_lϕ^1∗(f₁) = 0 et ϕ^1∗(f₁) 6= 0 (car b_i 6= 0 pour tout i et ker(ϕ^1∗) = p). Posons u(t) =ϕ^1∗(f₁)/b₁. On a donc :

f_l(ϕ¹₁(t), . . . , ϕ¹_n(t)) =b_l.u(t), 1≤l≤n.

Notant α_j, 1 ≤j ≤e(I) les coeﬃcients du polynˆome minimalP de X₁ sur K₁. On a :

ϕ¹₁(t)^e(I)+ X

1≤j≤e(I)

α_j(b₁.u(t), . . . , b_n.u(t)).ϕ¹₁(t)^e(I)−i = 0 Regardons l’´equation :

P(t, X1) =X₁^e(I)+ X

1≤i≤e(I)

αi(b1.u(t), . . . , bn.u(t)).X₁^e(I)−i = 0

comme une équation à coefficients dans le corps des séries de puiseux∪_m≥1k((t^1/m)) qui est algébriquement clos. ϕ¹₁ en est une racine, le discriminant de ce polynôme

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vaut ∆(b₁.u(t), . . . , b_n.u(t)) et comme (b₁, . . . , b_n) n’est pas un z´ero de la forme initiale de △on a :

ord_t∆(b₁.u(t), . . . , b_n.u(t)) =ord_U(∆(U)).ord_t(u(t))

Ainsi notre polynˆome P(t, X₁) a e(I) racines distinctes dans ∪_m≥1k((t^1/m)).

Celles-ci sont toutes dansk((t^1/m)) pourm convenablement choisi (assez grand).

Notonsϕ¹₁, . . . , ϕ^e(I)₁ ces racines distinctes. Elles sont en fait dansk[[t^1/m]] puisque

éléments de k((t^1/m)) et entières sur k[[t]] donc sur k[[t^1/m]]. Un changement d’uniformisante t −→ t^1/m nous donne donc e(I) éléments distincts dans k[[t]], que nous noterons encore ϕ¹₁, . . . , ϕê(I)₁ , tels qu’en posant v(t) =u(t^m) on ait :

ϕ^j₁(t)^e(I)+ X

1≤i≤m

α_i(b₁.v(t), . . . , b_n.v(t)).ϕ^j₁(t)^e(I)−i = 0, 1≤j≤e(I) Maintenant puisque K₂=K₁(X₁), on peut ´ecrire dansK₂ pour s≥2 :

X_s=

e(I)−1

X

m=0

β_m^s.X₁^m, β_m^s ∈K₁

Classiquement (c.f. par exemple [To] Th 7.5 p. 25), on voit que les β_m^s sont dans (A1)_(∆) où (∆) désigne la partie multiplicativement fermée {1,∆,∆², . . .}. On pose maintenant :

ϕ^j_s(t) = X

0≤m≤e(I)−1

β_m^s (b₁.v(t), . . . , b_n.v(t)).ϕ^j₁(t)^m ∈k((t))

Puisque Xs est entier sur A1 (et non pas simplement sur K1) alors ϕ^js(t) est

élément dek((t)) et entier surk[[t]], il est donc élément dek[[t]]. Maintenant, on pose pour toutj, 1≤j≤e(I) :

ϕ^j(t) = (ϕ^j₁(t), . . . , ϕ^j_n(t))∈k[[t]]ⁿ. Par construction mˆeme on a :

f_l(ϕ^j(t)) =b_l.v(t), 1≤l≤e(I)

et ϕ^j 6=ϕ^j^′ si j6=j^′. Nous allons voir que chacun des arcsϕ^∗j :k[[X]]−→k[[t]]

et en particulier ϕ^1∗ nous fournit une contradiction avec (•). En eﬀet, puisque (b₁, . . . , b_n) n’annule pas les z´eros de la forme initiale desa_i, on a :

ord_ta_i(f₁(ϕ^j(t)), . . . , f_n(ϕ^j(t))) =ord_ta_i(b₁.v(t), . . . , b_nv(t)) (1)

=ord_Ua_i(U₁, . . . , U_n)ord_tv(t) =ord_Ua_i(U₁, . . . , U_n)M in_1≤l≤nordϕ^j∗(f_l) (2)

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Puisque g(ϕ¹(t)) est racine de : Y^e(I)+ X

1≤i≤m

a_i(b₁.v(t), . . . , b_nv(t))Y^e(I)−i = 0 et que les autres racines sont lesg(ϕ^j(t)). On a aux signes pr`es :

ai(f1(ϕ¹₁(t), . . . , fn(ϕ¹_n(t)) = X

1≤j1<j2...ji≤e(I)

g(ϕ^j¹(t)). . . g(ϕ^jⁱ(t)).

Maintenant par (•) on a :

ordt( X

1≤j1<j2...ji≤e(I)

g(ϕ^j¹(t)). . . g(ϕ^jⁱ(t))> i.p

qM in_1≤l≤nordtϕ^1∗(f_l) Donc comparant avec (1),(2) on obtient :

∀i, ord_U(a_i(U₁, . . . , U_n))M in_1≤l≤nord_t(ϕ^1∗(f_l))> ip

qM in_1≤l≤nord_t(ϕ^∗1(f_l).

Ce qui est contradictoire avec la d´eﬁnition de ^p_q.

Corollaire 3.2

Soient (A,m) un anneau local régulier d’égale caractéristique zéro de dimension n et I un idéal m-primaire alors tout élément x de I satisfait une relation de dépendance intégrale surI de degrée(I)oùe(I)désigne la multiplicité de Samuel de I.

Preuve :

D’après les résultats de [N-R], on peut trouver f₁, . . . , f_n ∈I tels que f₁, . . . , f_n soit une suite régulière de A et J = (f₁, . . . , f_n) une réduction minimale de I. On a alors I =J. Soit x ∈ I =J. Si Â désigne le complété m-adique de A, on a e(I) = e(I.A) =ˆ e(J) = e(J.A). D’après le résultat précédent,ˆ x satisfait une relation de dépendance intégrale de degrée(I) surJ.Aêt donc à fortiori surI.A.ˆ En procédant comme dans [H-I-O] lemme 4.11 p.19 ceci implique que :

(I.Aˆ+x.A)ˆ ê(I)=I.A.(I.ˆ Aˆ+x.A)ˆ ê(I)−1 Comme Âest fidélement plat surA, on a :

(I.Aˆ+x.A)ˆ ê(I)∩A= (I+x.A)ê(I) etI.A.(I.ˆ Aˆ+x.A)ˆ ê(I)−1∩A=I.(I+x.A)ê(I)−1 Par suite : (I+x.A)ê(I) =I.(I +x.A)ê(I)−1 et ceci implique que x satisfait une relation de dépendance intégrale de degré e(I) sur I toujours en reprenant la

preuve de 4.11 de [H-I-O].

(12)

4 Preuve de 1.1

4.1 Existence du i`eme exposant de Lojasiewicz de I

Soient (A,m, k) un anneau local régulier de dimension n+ 1, d’égale ca- ractéristique zéro, et I un idéal m-primaire. Notons d’abord que le morphisme canoniqueA−→Aˆétant fidèlement plat, la fonction asymptotique de Samuel est invariante par passage au complété. Ainsi vI(g) =v_I._A_ˆ(g) etvI.AH(g) =v_I._A_ˆ

H(g) pour tout g∈A et touti planH. On pourra donc sans restriction supposer que A est complet. Par le théorème de structure de I.S. Cohen c.f. [M], on peut donc supposer que A = k[[X₀, X₁, . . . , X_n]] avec Car(k) = 0. Soit I = (f₁, . . . , f_m) un idéal m primaire de A. D’après les résultats sur la réduction des idéaux de Northcott-Rees [N-R], [H-S], on peut supposer que pour j > n+ 1, f_j est entier surJ = (f₁, . . . , f_n+1) i.e.J est une réduction deI. Il en découle bien évidemment queJ.A_H est une réduction deI.A_H pour touti-planH. Nous pouvons donc supposer queI = (f₁, . . . , f_n+1). D’autre part, par récurrence sur la dimension deA, il suffit d’établir 1.1 pour lesn-plans, c’est à dire pour une section hyperplane de A.

Rappelons maintenant que K = (g₁, . . . , g_n, h_n+1) est dit une réduction jointe (c.f. [H-S] chap. 17) de I, . . . , I,m (I listén fois), ou encore une réduction jointe de I^[n],m, si et seulement si g_i ∈I,h_n+1 ∈m, et (g₁, . . . , g_n).Iⁿ⁻¹m+h_n+1.Iⁿest une réduction de Iⁿ.m. C’est à dire s’il existe un entierk∈N^∗ tel que :

((g₁, . . . , g_n)Iⁿ⁻¹m+h_n+1.Iⁿ).(Iⁿ.m)^k=I^n(k+1)m^k+1. Ce qui s’´ecrit encore :

(g₁, . . . , g_n)I^n(k+1)−1m^k+1+h_n+1.I^n(k+1)m^k =I^n(k+1)m^k+1. Posons :

A^′=A/(h_n+1), J^′ = (g₁, . . . , g_n).A^′ etI^′=I.A/(h_n+1) =I+(h_n+1).A/(h_n+1).

Alors J^′ est une réduction deI^′. En effet, sim^′ est l’idéal maximal deA^′, on a : (∗) (g1, . . . , gn)I^{′n(k+1)−1}m^′k+1=I^′n(k+1).m^′k+1

Comme J^′ ⊂I^′, pour toute valuation discr`ete v sur A^′ on a :J^′.A^′_v ⊂ I^′.A^′_v i.e.

v(J^′)≥v(I^′). Réciproquement par l’égalité :

(∗)v(J^′) + (n(k+ 1)−1)v(I^′) + (k+ 1)v(m^′) =n(k+ 1)v(I^′) + (k+ 1)v(m^′),

(13)

on obtient après simplification v(J^′) = v(I^′). Par conséquent J^′ ⊂ I^′ ⊂ J^′. Il existe maintenant d’après [H-S], [R-S] des ouverts de Zariski denses U₁ ⊂ (kⁿ⁺¹)ⁿ≃(I/m.I)ⁿ etV₁⊂kⁿ⁺¹ ≃m/m² tels que si :

g₁= X

1≤i≤n+1

λ_i,1.f_i, . . . , g_n= X

1≤i≤n+1

λ_i,n.f_i eth_n+1 = X

0≤i≤n

a_i.X_i

satisfont (λ_i,j) ∈ U₁ et (a_i)_0≤i≤n ∈ V₁ alors K = (g₁, . . . , g_n, h_n+1) est une réduction jointe de I^[n],m. Notons V₀ l’ouvert de Zariski de kⁿ⁺¹ défini par X₀ 6= 0. Notant W₀ son intersection avec V₁, on en déduit qu’il existe un ouvert de Zariski W₁ de kⁿ tel que si

g₁ = X

1≤i≤n+1

λ_i,1.f_i, . . . , g_n = X

1≤i≤n+1

λ_i,n.f_i eth_n+1 =X₀− X

1≤i≤n

a_i.X_i satisfont (λ_i,j) ∈ U₁ et (a_i)_1≤i≤n ∈ W₁ alors (g₁, . . . , g_n, X₀ −P

1≤i≤na_iX_i) est une réduction jointe de I^[n],m. Fixons un Λ = (λ_i,j) dans U₁ et notons encore g₁, . . . , g_n les éléments de k[[X₀, . . . , X_n]] correspondants. Pour 1 ≤ i ≤ n, on définit alors les éléments suivants dek[A][[X₁, . . . , X_n]] =k[a₁, . . . , a_n][[X₁, . . . , X_n]] :

Gi(A, X1, . . . , Xn) =gi(a1X1+. . .+anXn, X1, . . . , Xn)∈k[A][[X1, . . . , Xn]].

Désignons para⊂k[A][[X₁, . . . , X_n]] l’idéal engendré par lesG_i(A, X), 1≤i≤n, et soit △ ⊂ Nⁿ son diagramme des exposants initiaux au sens de la section précédente. Pour a∈kⁿ donné, notonsJ_a^′ ⊂k[[X₁, . . . , X_n]] l’idéal engendré par lesG_i(a, X) après évaluation des coefficients enaet soit△_a⊂Nⁿson diagramme des exposants initiaux. Par construction, pour a ∈W₁,J_a^′ est une réduction de I_a^′k[[X1, . . . , Xn]] = I.k[[X0, . . . , Xn]]/(X0−P

1≤i≤naiXi) On a alors le lemme suivant qui est une simple transposition des lemmes 7.1 et 7.2 de [B-M].

Lemme 4.1

1) ∀a∈kⁿ, △ ≤ △_a.

2) Il existe Q₁, . . . , Q_l∈k[A]tels queΓ ={a∈kⁿ/Q₁(a)×. . .×Q_l(a) = 0} soit strictement inclus dans kⁿ et :

a) ∀a∈W₂=kⁿ−Γ, △=△_a

b) Si β¹, . . . , β^l d´esignent les sommets de △, il existe R_i ∈a, 1≤i≤l tels que :

∀a∈W₂=kⁿ−Γ, ν(R_i(A, X)) =ν(R_i(a, X)) =βⁱ

On peut en fait prendre pour Q_i le coeﬃcient du monˆome initial de R_i(X) = P

α∈Nⁿr_i,αX^α,r_i,α∈k[A]. Notons maintenantS⊂k[A] la partie multiplicativement ferm´ee engendr´ee par lesQ_i, i.e.S ={Q^m₁¹×. . .×Q^m_t ^t/(m₁, . . . , m_t)∈k^t}.

(14)

Soit △(resp. △_a) le complémentaire de△(resp. △_a) dansNⁿ.△est nécessaire- ment un ensemble fini puisque dans l’ouvert de Zariski dense W₁ ∩W₂ de kⁿ on a : △ = △_a, et ce dernier ensemble est fini car p

J_a^′ = (X₁, . . . , X_n). Ainsi pour tout a ∈ W = W1 ∩W2, les X^α, α ∈ ∆, constituent une base du quo- tient k[[X₁, . . . , X_n]]/J_a^′. Il en résulte que pour tout a ∈ W le morphisme θ^∗_a : k[[Y₁, . . . , Y_n]]−→k[[X₁, . . . , X_n]] défini parY_i →G_i(a, X) fait dek[[X₁, . . . , X_n]]

un k[[Y₁, . . . , Y_n]] module libre de base les X^α, α ∈ △. Donc tout élément g de k[[X₁, . . . , X_n]] s’écrit de manière unique :

g= X

α∈△

a_α(G₁(a, X), . . . , G_n(a, X)).X^α, a_α∈k[[Y]].

Nous avons besoin de d´ecrire la variation des a_α en fonction deapour ´etablir la constance dev_I.A_H(m_H) sur un ouvert de Zariski. Pour cela notonsR=S⁻¹k[A]

et soitθ^∗:R[[Y1, . . . , Yn]]−→R[[X1, . . . , Xn]] qui `aYifait correspondreGi(A, X).

Nous allons constater que :

(•) R[[X]] est via θ^∗ un R[[Y]] module de type ﬁni engendr´e par lesX^α, α∈ △.

En effet, soit D∈R[[X]]. L’algorithme de division formelle de Grauert-Hironaka (c.f section 2) permet d’écrire de manière unique :

D= X

1≤i≤t

Di(X)Ri(X) + X

α∈△

rαX^α

avec r_α ∈R,D_i ∈R[[X]] et Supp(D_i) +βⁱ ⊂∆_i = (βⁱ+Nⁿ)− ∪_k<i(β^k+Nⁿ).

Ce qui se r´e´ecrit, en tenant compte du fait que (R₁, . . . , R_t)⊂a= (G₁, . . . , G_n) en :

D= X

1≤i≤n

C_i(X)G_i(X) +X

α∈△

r_αX^α. Le termeP

α∈△r_αX^αrestant unique puisque son support est inclus dans△. Une itération de ce procédé permet de conclure à (•). En effet, supposons que pour k∈N^∗ nous disposions d’une écriture :

(∗_k)D= X

γ∈Nⁿ/|γ|=k

C_γG^γ+ X

α∈△

( X

γ∈Nⁿ/|α|<k

r_α,γG^γ)X^α

avec G^γ = G₁(A, X)^γ¹ ×. . .×G_n(A, X)^γⁿ et γ = (γ₁, . . . , γ_n). Divisons par l’algorithme d’Hironaka-Grauert chaqueC_γ parR₁, . . . , R_tpuis retournant `a une

´ecriture en les G_i, on obtient : Cγ= X

1≤i≤n

Cγ,i(X)Gi(X) +X

α∈△

aγ,αX^α, aγ,α∈R.

(15)

Reportant dans (∗_k), on obtient une ´ecriture : (∗_k+1) D= X

γ∈Nn/|γ|=k+1

C_γG^γ+ X

α∈△





X

γ∈Nn/|γ|<k+1

r_α,γG^γ



X^α.

Ceci prouve que d´esignant par M ⊂R[[X]] leR[[Y]] module engendr´e via θ^∗ par les X^α,α∈ △, on a :

∀k∈N^∗, R[[X]]⊂M+a^k⊂M + (X)^k.

Donc, d’après le théorème d’intersection de Krull, on a R[[X]] =M et donc (•).

En fait l’unicité dans le théorème de division formel nous dit en plus que R[[X]]

est un R[[Y]] module libre de type fini via θ^∗ dont une base est constituée par les X^α, α ∈ △. Ceci va nous permettre de calculer globalement nos polynômes caractéristiques et d’obtenir la constance devI.AH(mH) sur un ouvert de Zariski.

En effet, notons e₁ le cardinal de △ (qui n’est autre que la multiplicité mixte e(I^[n],m) c.f. [H-S]) et soit i, 1≤i≤n. On peut écrire pour toutα∈ △ :

X_i.X^α= X

β∈△

C_α,βⁱ (G₁(A, X), . . . , G_n(A, X)).X^β

avec C_α,βⁱ ∈R[[Y]]. Soit alorsM_i la matrice carrée d’ordre e₁ à coefficients dans R[[Y]] :

M_i= C_α,βⁱ

α,β∈△.

Pour chaque adans l’ouvert de Zariski W =W₁∩W₂, l’évaluation en a,M_i(a) de M_i est la matrice de l’opérateur de multiplication par X_i dans le k[[Y]] module libre de type fini k[[X]] via θ_a^∗ déterminé par Y_i −→ G_i(a, X). Notons P_i(λ, A, Y) =det(λId_e1 −M_i)∈R[[Y]][λ] le polynôme caractéristique de M_i :

P_i(λ, A, Y) =λ^e¹ + X

1≤k≤e1

r_kⁱ(A, Y).λ^e¹^−k, r_kⁱ(A, Y)∈R[[Y]].

Ainsi pour chaque a ∈ W, l’évalué en a de P_i(λ, A, Y) noté P_i(λ, a, Y) est le polynôme caractéristique désiré. Posons pour tout i, k, 1 ≤i ≤n, 1 ≤k ≤e₁ : dⁱ_k=ord_(Y₎rⁱ_k(A, Y) (ord_(Y₎( ) comme élément deR[[Y]]) et enfin :

vI(n)=M in1≤i≤n(M in_1≤k≤e1

dⁱ_k k).

On peut ´ecrire pour tout i, k, 1≤i≤n, 1≤k≤e₁ : r_kⁱ(A, Y) = X

γ∈Nⁿ/|γ|=dⁱ_k

rⁱ_k,γ(A)

Qⁱ_k(A)Y^γ+S_kⁱ(Y)

(16)

avec S_kⁱ(Y)∈(Y)^dⁱ^k⁺¹R[[Y]],r_k,γⁱ (A)∈k[A],Qⁱ_k(A)∈S. Consid´erons alors : V_kⁱ ={a∈kⁿ/∀γ ∈Nⁿ avec |γ|=dⁱ_k, r_k,γⁱ (a) = 0} etU_kⁱ = (kⁿ−V_kⁱ)∩W.

Par construction chaque ouvert de ZariskiU_kⁱ est non vide. Alors pour toute forme lin´eaireH(X0, X1, . . . , Xn) =X0−P

1≤i≤naiXi telle quea= (a1, . . . , an)∈U =

∩_i,kU_kⁱ∩W, on a :

v_I.A_H(m_H) =v_I⁽ⁿ⁾.

Ceci au vu du calcul de la fonction asymptotique de Samuel fait `a la section 3.

On obtient ainsi le premier point de 1.1.

4.2 Majoration de la multiplicit´e

La preuve relativement simple de l’inégalité 2) de 1.1 se fait par récurrence sur n (dim A=n+1). Elle découle d’une généralisation de la loi d’associativité pour les multiplicités que l’on peut trouver dans [N].

Th´eor`eme 4.2 ([N] Chap.7 Th.18 p. 342)

Soit(A,m, k)un anneau local noetherien de dimensionsetE unA-module de type fini. Considérons a1, . . . , as des éléments de A engendrant un idéal m-primaire.

Alors pour tout i, 0≤i≤s, on a : e(a₁, . . . , a_s, E) =

P

P∈M in(a1,...,ai)e_A_P(φ_P(a₁), . . . , φ_P(a_i), E_p)e^A

P(ψ_P(a_i+1), . . . , ψ_P(a_s), A/P) où P parcourt l’ensemble des idéaux premiers minimaux contenant (a₁, . . . , a_i)et φ_P, ψ_P désignent respectivement les morphismes canoniques φ_P : A −→ A_P et ψ_P : A−→ Â_P.

Nous prouvons à présent l’inégalité 2) de 1.1 par récurrence sur n, dimA = n+ 1. Si n = 0, il n’y a rien à prouver car alors e(I) = ν_I⁽¹⁾(m) =ordm(I). On supposera donc n >0 et le résultat établi pour tout anneau local régulier d’égale caractéristique zéroBde dimensionn. PrésentonsI(ou plutôt une réduction deI) sous la forme (g₁, . . . , g_n, g_n+1) où comme précédemment K = (g₁, . . . , g_n, h_n+1) est une réduction jointe de I^[n],metg_n+1 est une combinaison linéaire générique d’un système de générateurs de I. Ainsi comme nous l’avons vu au paragraphe précédent on a :

g_n+1 ∈(g₁, . . . , g_n). A

(h_n+1) =I. A (h_n+1).

(17)

SoientP₁, . . . , P_l les idéaux premiers minimaux deAcontenant (g₁, . . . , g_n). Pour tout j, 1 ≤j ≤l, on a dim(A/P_j) = 1. Soit A/P]_j la clôture intégrale de A/P_j dans son corps des fractions. A/P]_j est un anneau local noetherien de dimension 1 et intégralement clos, c’est donc un anneau local régulier de dimension 1 et par suite un anneau de valuation discrète. Notonsv_p_j la valuation définie par son idéal maximal :

v_P_j(h) =long(

A/P]_j

(h) ) =M ax{k∈N/h∈m_P_j}=ordm_Pj(h).

Maintenant pour tout g ∈ A, d´esignant encore par g l’image de celui-ci via le morphisme naturel A−→A/P_J −→A/P]_j, on a :

(∗) e_A/P_j(g, A/P_j) =long(A/P_j

(g) ) =long(

A/P]_j

(g) ) =v_P_j(g).

Maintenant, pour chaque j, 1 ≤ j ≤ l, on a v_P_j(I) = v_P_j(g_n+1). D’autre part puisqu’on peut choisir les coeﬃcients de h_n+1 = P_n

i=0λ_iX_i dans un ouvert de Zariski dense de m/m² ≃kⁿ⁺¹, quitte `a restreindre cet ouvert on peut supposer que :

∀j, 1≤j≤l, v_P_j(m_A) =v_P_j(h_n+1).

Ainsi pour tout j, 1≤j≤l, v_P_j(g_n+1)

vPj(hn+1) = v_P_j(I)

vPj(mA) ≤ν_I⁽ⁿ⁺¹⁾. En eﬀet, ν_I⁽ⁿ⁺¹⁾ =Sup_v(^v(I)_m

A) car ν_I⁽ⁿ⁺¹⁾ =v_I(m_A)⁻¹ = (M in^v(_v(I)^mÂ⁾)⁻¹, les Supet M inétant pris sur l’ensemble des valuations discrètes de rang 1 deA(c.f. [H-S]).

Nous pouvons `a pr´esent appliquer 3.2 avec i=n. On a : e(I) =e(g₁, . . . , g_n, g_n+1, A) = X

1≤j≤l

e(φ_P_j(g₁), . . . , φ_P_j(g_n), A_P_j)e(ψ_P_j(g_n+1), A/P_j).

Ce qui s’écrit grâce à (∗) en :

e(I) =e(g1, . . . , gn, gn+1, A) = X

1≤j≤l

e(φPj(g1), . . . , φPj(gn), APj)vPj(gn+1)

Ecrivant v_P_j(g_n+1) = v_P_j(h_n+1).^v_v^Pj^(gⁿ⁺¹⁾

Pj(hn+1) =v_P_j(h_n+1)._v^v^Pj^(I)

Pj(m_A) et majorant cette derni`ere fraction par ν_Iⁿ⁺¹, on obtient :

e(I) =e(g₁, . . . , g_n, g_n+1, A)≤



 X

1≤j≤l

e(φ_P_j(g₁), . . . , φ_P_j(g_n), A_P_j)v_P_j(h_n+1)



.ν_I⁽ⁿ⁺¹⁾.

(18)

Mais toujours d’apr`es 3.2, le terme entre parenth`eses n’est autre que : e(g₁, . . . , g_n, h_n+1, A) =e(g₁, . . . , g_n, A/(h_n+1).

Ainsi :

e(I)≤(e(g₁, . . . , g_n, A/(h_n+1))ν_I⁽ⁿ⁺¹⁾. Mais puisque (g₁, . . . , g_n)._(h^A

n+1) =I._(h^A

n+1), on a :

e(I, A/(h_n+1)) =e(g₁, . . . , g_n, A/(h_n+1)).

Ainsie(I)≤(e(I, A/(h_n+1)).ν_I⁽ⁿ⁺¹⁾. Il suffit alors pour conclure d’appliquer l’hy- pothèse de récurrence dans l’anneau B =A/(h_n+1) à I.B. On a alors e(I, B) ≤

Π1≤i≤nν_I⁽ⁱ⁾. Ce qui fournit l’´egalit´e 2) de 1.1.

Remarque 4.3

1) Avec les notations ci-dessus le terme e(I, A/(h_n+1) = e(g₁, . . . , g_n, h_n+1, A) n’est autre que la multiplicité mixtee(I^[n],m, A)et nous renvoyons à [H-S] chap.17 pour les définitions et notations.

2) On a en fait prouvé l’inégalité :

e(I^[n+1−i],m^[i], A)

e(I^[n−i],m^[i+1], A) ≤ν_I^(n+1−i).

De mˆeme e(I^[n+1−i],m^[i], A)≤Π_{1≤j≤n+1−i}ν_I^(j).

5 Sur les cas d’ ´ egalit´ e

Nous cherchons ici comment se caractérise les idéauxI tels quee(I) = Πⁿ⁺¹_i=1ν_Iⁱ (Les notations et hypothèses sont celles de 1.1). Pour cela soient (A,m, k) un anneau local régulier de dimensionn+ 1 etGrm(A) =L

k∈N m^k

m^k+1 ≃k[X₀, . . . , X_n].

Sig∈A−(0) et sia=ordm(g), on appellera forme initiale deget on noteraIn(g) la classe deg dans _m^ma+1â ⊂Grm(A). Celle-ci s’identifie à un polynôme homogène de degréadek[X₀, . . . , X_n], pour tout choix d’un système régulier de paramètres X₀, . . . , X_n de A. Si I est un idéal de A, on notera In(I) l’idéal de Grm(A) engendré par les formes initiales des éléments g de I. Des éléments f₁, . . . , f_m de I sont dit une m-base standard de I si et seulement si In(g₁), . . . , In(g_m) engendrent In(I). On a alors le résultat suivant.