FONCTION RECIPROQUE D'UNE FONCTION CONTINUE, D'UNE FONCTION DERIVABLE. EXEMPLES. ON SE LIMITERA

FONCTION RECIPROQUE D'UNE FONCTION CONTINUE, D'UNE FONCTION DERIVABLE. EXEMPLES. ON SE LIMITERA

AUX FONCTIONS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN INTERVALLE DE R

Notations

Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons C_f la courbe représentative de f dans un repère du plan.

1) Condition d'existence d'une fonction réciproque

théorème

Si f est strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur f(I).

démonstration

• f est bien entendu surjective de I sur f(I) ;

• Supposons f strictement croissante sur I.

Soient a,b∈I, avec a≠b.

ou bien a<bet on a f(a)< f(b) (f étant strictement croissante sur I) ou bien a>bet on a f(a)> f(b) (f étant strictement croissante sur I) donc )f(a)≠ f(b .

• Supposons f strictement décroissante Soient a,b∈I, avec a≠b.

ou bien a<bet on a f(a)> f(b) (f étant strictement décroissante sur I) ou bien a>bet on a f(a)< f(b) (f étant strictement décroissante sur I) donc )f(a)≠ f(b .

Dans tous les cas, si a≠b alors f(a)≠ f(b)donc f est injective de I sur f(I).

définition (fonction réciproque)

Soit f une fonction bijective de I sur J, où J est un intervalle de R. On appelle fonction réciproque de f l'application notée f ⁻¹ définie sur J par f⁻¹(y)=x, où x est l'unique élément de I tel que

y x f( )= .

On note R₁ =(O,e₁,e₂)un repère du plan.

propriété géométrique

Soit f une fonction bijective de I sur J. Soit f₋₁ la fonction réciproque de f. Notons C_f et −1

Cf les courbes représentatives des fonctions f et f⁻¹dans R₁. Alors Cf−1 =s

( )

Cf , où s est la symétrie par rapport à la droite O+R

(

e1+e2

)

, parallèlement à O+R

(

e1−e2

)

.

démonstration

Déterminons d'abord l'expression analytique de s :

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

−

+ 0 1

0 ) 1

,

;

(s e₁ e₂ e₁ e₂

mat .

Soit P la matrice de passage de la base e=(e₁,e₂) à la base e'=(e₁+e₂,e₁−e₂).

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

1 1

1

P 1 .

1

1 0

0 ) 1

;

( ⎟⎟× ⁻

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

× −

=P P

e s mat

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

1 1

1 1 1 0

0 1 1 1

1 1 2 1

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ 0 1

1 0

Les coordonnées des points seront exprimées dans le repère R₁. Soit M(x;y)∈C_f . On a y= f(x) donc f⁻¹(y)=x.

Soit M'=s(M). M' a donc pour coordonnées (y;x). f⁻¹(y)=x donc M'∈C_f−1. Par conséquent,

( )

Cf ^⊂C_f⁻¹

s .

On montre de la même façon que s

( )

Cf−1 ⊂Cf . s étant involutive, on a donc Cf−1 ⊂s

( )

Cf . Donc Cf−1 =s

( )

Cf .

2) Fonctions réciproques et continuité

théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur un intervalle I, alors f(I) est un intervalle de R.

démonstration

Soient α,β∈ f(I), avec α<β.Montrons que [α,β]⊂ f(I). Soit t∈[α,β]. Soient x₁,x₂∈I tels que α= f(x₁) et β= f(x₂). Soit la fonction définie par φ(x)= f(x)−t. Nous allons montrer qu'il existe x₀∈I tel que f(x₀)=t, c'est-à-dire φ(x₀)=0.

Si t=α, alors x₀ =x₁. Si t=β, alors x₀ =x₂. On suppose donc désormais que t∉

{ }

α,β . On a φ(x₁)=α−t<0 et φ(x₂)=β−t>0.

Soient )(a_n et )(b_n les suites définies par :

• a₀ =x₁ etb₀ =x₂ ;

• Pour tout entier naturel n :

Si 0

2 ⎟≥

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

φ aⁿ bⁿ

, on pose a_n+1 =a_net

1 2

n n n

b

b a +

+ = .

Si 0

2 ⎟<

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

φ aⁿ bⁿ

, on pose

1 2

n n n

b

a a +

+ = et b_n+1=b_n.

On a :

, _{n 1 n 1} aⁿ2bⁿ b

a N

n −

=

−

∈

∀ _{+ +} .

Par une récurrence immédiate, on a : _{n n} a _nb b

a N

n , ⁰2− ⁰

=

−

∈

∀ .

Montrons par récurrence que : ∀n∈N,a_n ≤a_n+1≤b_n+1 ≤b_n. Soit P(n) la propriété suivante : a_n ≤a_n+1≤b_n+1≤b_n.

• n=0 :

Si 0

2

0

0 ⎟≥

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

φ a b

, alors a₁=a₀ et

2

0 0 1

b b =a + .

0 1 1 0 0

0 0 1

0 0 0 1

2

2 a a b b

a a b a

b b b b

≤

≤

=

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫ + =

≥ + =

≤

.

Si 0

2

0 0 ⎟<

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

φ a b

, alors

2

0 0 1

b

a = a + et b₁ =b₀.

1 0 1 0 0

0 0 1

1 0 0 0 1

2

2 a a b b

a a a a

b b b

a b

=

≤

≤

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫ + =

≥

= + =

≤

.

• Soit n un entier naturel. Supposons P(n) vraie.

On montre que P(n+1) est vraie comme précédemment, en distinguant les cas.

• Donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

)

(a_n est donc une suite croissante, (b_n)une suite décroissante et a_n −b_n ⎯⎯_n⎯⎯→⎯⎯_∞→0. Ces deux suites sont donc adjacentes. Soit l leur limite commune.

Par construction, on a : ∀n∈N, x₁≤a_n ≤b_n ≤x₂ donc l∈[x₁,x₂].

φétant continue sur I donc en l, on a φ(a_n)⎯_n⎯_⎯⎯→⎯⎯_∞→φ(l) et φ(b_n)⎯_n⎯_⎯⎯→⎯⎯_∞→φ(l).

Par construction, φ(a_n)φ(b_n)≤0pour tout entier n donc φ(l)² ≤0donc φ(l)=0, avec l∈I . On a donc f(l)=t.

théorème

Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f⁻¹ est continue, strictement monotone et de même sens de monotonie que f.

démonstration Monotonie : Soit g= f⁻¹.

Soient )y,y'∈f(I tels que y<y'. ) ' ( ' ) ( ,

'

,x I y f x et y f x

x ∈ = =

∃ . On a donc x=g(y) et x'=g(y'). x≠x'car g est injective.

• si f est strictement croissante sur I, alors x<x'. Donc g(y)<g(y') et g est strictement croissante sur f(I) ;

• si f est strictement décroissante sur I, alors x'<x. Donc g(y')<g(y)et g est strictement décroissante sur f(I).

g est donc strictement monotone sur f(I) de même sens de monotonie que f.

Continuité

Soit )y₀∈f(I . )∃x₀∈I,y₀ = f(x₀ . On suppose f strictement croissante sur I.

1^er cas :

0

0 I

x ∈ Soit ε>0?

I x

x −ε +ε ⊂ ε

<

ε

>

ε

∃ ' 0, ' ,[ ₀ ', ₀ '] . )

( ) ' (x₀ f I

f −ε ∈ et f(x₀+ε')∈f(I).

Soient )η₁ =y₀− f(x₀ −ε' et η₂ = f(x₀+ε')−y₀. Soit η=min(η₁,η₂)

Soit [y∈ f(I)∩]y₀−η,y₀+η . On a : η

+

<

<

η

− ₀

0 y y

y

donc y₀ −η₁<y<y₀+η₂

donc )f(x₀ −ε')<y< f(x₀+ε' .

f étant strictement croissante sur I, g est strictement croissante sur f(I) donc )gD f(x₀ −ε')<g(y)<gD f(x₀+ε'

donc 'x₀ −ε'<g(y)<x₀ +ε donc g(y)−g(y₀) <ε'

Donc : ∀ε>0,∃η>0,∀y∈ f(I), y−y₀ <η⇒ g(y)−g(y₀) <ε. g est donc continue en y₀.

2^ème cas :

o

I I x₀∈ −

Même démonstration que précédemment en considérant [x₀;x₀ +ε']ou ][x₀−ε';x₀

Remarque : On n'utilise pas la continuité de f dans cette démonstration. La stricte monotonie de f et le fait que f est définie sur un intervalle suffisent pour obtenir la stricte monotonie et la continuité de g.

théorème

Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) f est continue et injective sur I ;

(ii) f est continue et strictement monotone sur I ;

(iii) f est strictement monotone sur i et f(I) est un intervalle.

démonstration ) ( ) (i ⇒ ii

On suppose que f est continue et injective sur I. Montrons que f est strictement monotone sur I.

b a I b

a, ∈ , ≠ . f étant injective, on a f(a)≠ f(b). Supposons f(a)< f(b) (si f(a)> f(b), on s'intéresse à la fonction –f). Montrons qu'alors f est strictement croissante sur I.

Soit x∈I.

• cas où a<x<b : montrons que f(a)< f(x)< f(b).

Supposons )f(x)< f(a . Alors f(x)< f(a)< f(b). f étant continue sur [x,b], ^f

(

^[x;b]

)

^{est un}

intervalle contenant f(x)et )f(b donc [f(x),f(b)]⊂ f

(

[x,b]

)

donc f(a)∈ f

(

[x,b]

)

. Donc )f(a)< f(x . De même, on montre que f(x)< f(b)

• cas où x<a<b : on montre comme précédemment que f(x)< f(a)< f(b)

• cas où a<b<x : on montre comme précédemment que f(a)< f(b)< f(x) Soient maintenant x,x'∈I tels que x<x'. Il suffit d'étudier tous les cas :

' ' '

' ' '

x x b a

x b x a

b x x a

x b a x

b x a x

b a x x

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

et d'utiliser ce qui précède pour montrer que l'on a toujours f(x)< f(x') )

( ) (ii ⇒ iii

C'est le théorème des valeurs intermédiaires qui donne le résultat.

) ( ) (iii ⇒ i

f étant strictement monotone, elle est injective.

Supposons que J = f(I) est un intervalle de R. Quitte à travailler avec –f, on peut supposer f strictement croissante sur I. D'après le théorème de la limite monotone, on sait que pour tout

o

I t∈ , f admet une limite finie à gauche en t notée f(t⁻) et une limite finie à droite en t, notée f(t⁺). Soit t∈I .

• si t≠infI, )f(t⁻)≤ f(t

• si t≠supI, )f(t)≤ f(t⁺ .

Supposons que f ne soit pas continue sur I.

Il existe t∈I tel que

(

^{t≠infI et f(t−)< f(t)}

)

^ou

(

^{t≠supI et f(t)< f(t+)}

)

. Plaçons-nous dans le cas où

(

^{t≠inf I et f(t−)< f(t)}

)

^.

I

t≠inf donc il existe t'∈Itel que t'<t. )

(I

f est un intervalle de R contenant f(t') et f(t) donc [f(t'),f(t)]⊂ f(I). Donc )[f(t⁻),f(t)]⊂ f(I car )f(t')≤ f(t⁻)< f(t .

Soit )[y∈]f(t⁻),f(t . Alors y∈]f(t'),f(t)[. )f(I étant un intervalle, il existe x∈I tel que )

(x f

y= .

Si x≥t, alors f(x)≥ f(t)(f étant croissante) : contredit le fait que y∈]f(t'),f(t)[. Si x<t, alors f(x)< f(t⁻)(f étant croissante) : contredit le fait que y∈]f(t⁻),f(t)[. Dans les deux cas, il y a une contradiction.

f est donc continue sur I.

3) Fonctions réciproques et dérivabilité

théorème

Soient I et J des intervalles de R et f :I →J un homéomorphisme (c'est-à-dire f est bijective de I sur J, f et f⁻¹ sont continues). Soit x₀∈I tel que f soit dérivable en x₀. Alors f⁻¹est dérivable en

) (x₀

f si et seulement si f'(x₀)≠0. Dans ce cas, on a :

( ) ( )

) ( ' ) 1 (

0 0

1 '

x x f

f

f⁻ = .

démonstration

Supposons f'(x₀)≠0 Soient )g= f⁻¹, y₀ = f(x₀ .

Soit φ:I →R la fonction définie par :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− ≠

−

= φ

0 0

0 0

0

) ( '

) ( ) ( ) (

x x si x f

x x x si

x x f x f x

φest continue en x₀ (donc sur I) car f est dérivable en x₀. Dg

φ est définie sur f(I)et on a

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− ≠

−

= φ

0 0

0 0

0

)) ( ( '

) ( ) ) (

(

y y si y g f

y y y si g y g

y y y

Dg .

g est continue en y₀ et g(y₀)=x₀. φ étant continue en x₀, il en résulte que φDg est continue en y0. De plus, φD gne s'annule pas sur f(I)car g est bijective et f'(x₀)≠0. Par conséquent,

D g φ

1

est définie sur f(I) et on a :

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

− ≠

− φ =

0 0

0 0

0

)) ( ( '

1

) ( ) ( ) ( 1

y y y si g f

y y y si

y y g y g y

D g .

D g φ

1 étant continue en y₀, on a

)) ( ( ' ) 1 ( ) lim (

0 0

0

0

0 y y f g y

y g y g

y y

y

y =

−

−

≠→ , c'est-à-dire f⁻¹est dérivable en y₀ et

( )

) ( ' ) 1 (

0 0

1 '

x y f

f⁻ = .

Supposons que f⁻¹ est dérivable en f(x₀) Si 0f'(x₀)= , alors ( ) ( ) 0

lim

0 0

0 0

− =

−

≠→ x x

x f x f

x x

x

x .

Soit )y₀ = f(x₀ .

Alors =−∞

−

−

≠→

0 0) ( ) lim (

0

0 y y

y g y g

y y

y

y ou =+∞

−

−

→≠

0 0) ( ) lim (

0

0 y y

y g y g

y y

y

y , ce qui contredit la dérivabilité de f⁻¹ en )

(x₀ f .

Donc 0f'(x₀)≠ .

théorème

Soit f une application continue et strictement monotone sur I et J = f(I). Alors f est un difféomorphisme de classe Cⁿ de I sur J si et seulement si f est de classe Cⁿ et 'f ne s'annule pas sur I.

démonstration

• Si f est un difféomorphisme de classe Cⁿ de I sur J, alors f est de classe Cⁿ et 'f ne s'annule pas sur I (théorème précédent).

• Si f est de classe Cⁿ et 'f ne s'annule pas sur I, on a :

( )

¹ ₁

' ' ⁻ = 1 ₋

f f f

D . Soit φ:R^*→R la fonction définie par

x 1x ) ( =

φ .

Alors

( )

^{f−1 ' =φD f'Df −1. f'Df−1}ne s'annule pas donc prend ses valeurs dans R₊^* ou R^*₋. φétant de classe C^∞ sur chacun de ces intervalles et 'f étant de classe Cⁿ⁻¹, on en déduit :

( )

^{f−1 '} est continue (composée de fonctions continues) donc f⁻¹est de classe C¹, donc φD f'Df⁻¹ est de classe C¹ donc

( )

^{f−1 '} est de classe C¹ et donc f⁻¹est de classe C².

De proche en proche (récurrence immédiate), on montre que f⁻¹est de classe Cⁿ.

2) Applications

1) Fonctions réciproques des fonctions usuelles

Soit f :R₊^* →R la fonction définie par )

ln(

)

(x x

f = .

f est continue sur R₊^*, strictement croissante sur

*

R+. f est donc bijective et f⁻¹ est continue sur )

ln( ₊^*

= R

R , strictement croissante sur R. On note

1 =exp

f− .

( )

^{1 '} ₁ ¹

'

1 −

−

− = = f

f f f

D donc

exp exp'=

O

y = x

y = ln(x) y = exp(x)

Soit f ⎥⎦⎤→R

⎢⎣⎡−π π , 2

: 2 la fonction définie par )

sin(

)

(x x

f = . f est bijective de ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−π π , 2

2 sur

] 1 ,

[−1 et strictement croissante. On note arcsin

1 =

f− . f⁻¹ est strictement croissante sur ]

1 ,

[−1 , dérivable sur ]−1,1[et 1 2

) 1 ( arcsin'

x

x = −

Soit f :[0,π]→R la fonction définie par )

cos(

)

(x x

f = . f est bijective de [0,π] sur [−1,1] et strictement décroissante.

On note f⁻¹ =arccos. f⁻¹est strictement décroissante sur [−1,1], dérivable sur ]−1,1[ et

1 2

) 1 ( arccos'

x x =− − .

Soit f →R

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−π π , 2

: 2 la fonction définie par )

tan(

)

(x x

f = . f est bijective de

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−π π , 2

2 sur

[ ,

]−∞ +∞ et strictement croissante.

On note f ⁻¹ =arctan. f⁻¹ est strictement croissante sur R, dérivable sur R et

1 2

) 1 ( arctan'

x x

= + .

O

y = x

y = sin(x) y = arcsin(x)

O

y = x

y = cos(x) y = arccos(x)

O

y = x

y = tan(x) y = arctan(x)

Soit f :[0,+∞[→R la fonction définie par )

( ) (x ch x

f = . f est bijective de [0,+∞[sur [

, 1

[ +∞ et strictement croissante.

On note f⁻¹ =argch. f ⁻¹ est strictement croissante sur [1,+∞[, dérivable sur ]1,+∞[et

1 ) 1

( '

arg = 2 −

x x

ch .

Pour x>1,argch(x)=ln(x+ x²−1)

Soit f :R→R la fonction définie par )

( ) (x sh x

f = . f est bijective de R dans R et strictement croissante sur R.

On note f⁻¹ =argsh. f ⁻¹ est strictement croissante sur R, dérivable sur R et

1 2

) 1 ( ' arg

x x

sh = + .

Pour x∈R, argsh(x)=ln(x+ 1+x²)

Soit f :R→R la fonction définie par )

( ) (x th x

f = . f est bijective de R dans ]−1,1[ et strictement croissante sur R.

On note f⁻¹ =argth. f⁻¹ est strictement croissante sur ]−1,1[, dérivable sur cet intervalle

et ₂

1 ) 1 ( '

argth x x

= − .

Pour ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= +

−

∈ x

x x th

x 1

ln 1 2 ) 1 ( arg [, 1 , 1

] .

y = x y = f(x)

y = argch(x)

O

O

y = x

y = sh(x) y = argsh(x)

O

y = x

y = th(x)

y = argth(x)

Soit f :[0,+∞[→R la fonction définie par xn

x

f( )= (n∈N^*). f est bijective de [

, 0

[ +∞ dans [[0,+∞ et strictement croissante.

−1

f est la fonction définie sur [0,+∞[ par xn

x f

1

)

( = . f⁻¹est strictement croissante sur [

, 0

[ +∞ , dérivable sur ]0,+∞[ et

1 1

) 1 (

' = ×xⁿ⁻ x n

f

2) Un calcul de fonction réciproque Soit f la fonction définie sur [−1,1] par

x x x

f = +

) 1

( . f est continue en 0.

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧ + ∈

−

− ∈

=

] 1 , 0 1 [

] 0 , 1 1 [

) (

x x si x

x x si x x

f .

f est dérivable sur [−1,0[ et ₂ ) 1 ( ) 1 ( ' [, 0 , 1

[ f x x

x∈ − = −

∀ .

f est dérivable sur ]0,1]et ₂ ) 1 ( ) 1 ( ' ], 1 , 0

] f x x

x∈ = +

∀ .

0 1 ) 0 ( ) (

⎯0

⎯

⎯ →

− ⎯

−

⎯→

⎯_<

x x

f x

f et 1

0 ) 0 ( ) (

⎯0

⎯

⎯ →

− ⎯

−

⎯→

⎯_>

x x

f x

f .

Donc f est dérivable en 0 et f'(0)=1, ce qui montre que f est de classe C¹sur [−1,1]. f'ne s'annulant pas sur [−1,1], f est donc un difféomorphisme de classe C¹.

Calcul de f⁻¹ :

Soit ]x∈[−1,0 et y= f(x). x

y x

= −

1 donc y−yx=x et donc

y x y

= +

1 . Soit ]x∈[0,1 et y= f(x).

x y x

= +

1 donc y+yx=x donc

y x y

= −

1 .

<0

y si et seulement si x<0. On a donc l'expression de f⁻¹ : y

y y f⁻ = −

) 1

1(

.

O

y = x

y = x^(1/n) y = x^n