LIMITES ET CONTINUITÉ I – Limites
1o) Voisinages Définition 1 :
Soitf une fonction numérique définie surDf, etx0un réel.
On dit quef est définieau voisinage dex0si∀α>0,Df ∩[x0−α,x0+α]6= ;.
Exemple 1 : f :x7→1
x,g:x7→ln(x),h:x7→p
x−1 au voisinage de 0.
Remarque : On constate donc quef peut être définie au voisinage dex0sans être définie enx0. Par contre, si f est définie enx0, alorsf est définie au voisinage dex0.
Définition 2 :
Soitf une fonction numérique définie surDf.
On dit quef est définieau voisinage de+∞si∃A∈R, [A,+∞[⊂Df. On dit quef est définieau voisinage de−∞si∃B∈R, ]− ∞,B]⊂Df.
Exemple 2 : f :x7→ln(x),g:x7→p
2−xau voisinage de+∞et−∞. 2o) Limites
a) Limite en un réel
Dans tout ce paragraphe,f désigne une fonction numérique définie au voisinage du réelx0et`un réel.
Définition 3 :
On dit que f a pour limite ` en x0, ou que f tend vers ` en x0, si ∀ε >0, ∃α > 0, ∀x ∈ Df,
|x−x0| <α=⇒¯
¯f(x)−`¯
¯<ε. On note limx
→x0
f(x)=`.
Une petite illustration graphique éclaire cette définition. La définition signifie quef(x) est aussi proche qu’on veut de`pourvu quexsoit suffisamment proche dex0. On peut l’écrire également sous la forme :∀ε>0,∃α>0,
∀x∈]x0−α,x0+α[,f(x)∈]`−ε,`+ε[.
Exemple 3 : Montrons que lim
x→2
px=p 2.
Remarque : On montrerait (par l’absurde, comme dans le cas des suites) que si la limite existe, alors elle est unique.
Propriété 1 :
xlim→x0
f(x)=`⇐⇒ lim
x→x0
¯
¯f(x)−`¯
¯=0.
Définition 4 :
On dit que f a pour limite+∞en x0, ou que f tend vers+∞ enx0, si∀A ∈R, ∃α>0,∀x ∈Df,
|x−x0| <α=⇒f(x)>A. On note lim
x→x0
f(x)= +∞.
On dit quef a pour limite−∞enx0, ou quef tend vers−∞enx0, si−f a pour limite+∞enx0. On note lim
x→x0f(x)= −∞. Remarque : lim
x→x0
f(x)= −∞si∀A∈R,∃α>0,|x−x0| <α=⇒f(x)<A.
Il peut arriver que la limite n’existe que d’un côté, soit à droite, soit à gauche.
Définition 5 :
On dit quef a pour limite`à droiteenx0si∀ε>0,∃α>0,∀x∈Df,x0<x<x0+α=⇒¯
¯f(x)−`¯
¯<ε. On note limx→x
x>x00
f(x)=`.
On dit quef a pour limite`à gaucheenx0si∀ε>0,∃α>0,∀x∈Df,x0−α<x<x0=⇒¯
¯f(x)−`¯
¯<ε. On note lim
x→x0 x<x0
f(x)=`.
Exemple 4 : La fonction partie entière nous fournit quantité de limites finies à droite et à gauche...
Remarque : lim
x→x0f(x)=`⇐⇒ limx
→x0 x<x0
f(x)=limx
→x0 x>x0
f(x)=`.
Définition 6 :
On dit quef a pour limite+∞à droiteenx0si∀A∈R,∃α>0,∀x∈Df,x0<x<x0+α=⇒f(x)>A.
On note lim
x→x0 x>x0
f(x)= +∞ ou lim
x→x+0f(x)= +∞.
On dit quef a pour limite+∞à gaucheenx0si∀A∈R,∃α>0,∀x∈Df,x0−α<x<x0=⇒f(x)>A.
On note limx
→x0 x<x0
f(x)= +∞ ou lim
x→x−0f(x)= +∞. On définit alors de la même manière les cas lim
x→x0 x>x0
f(x)= −∞et lim
x→x0 x<x0
f(x)= −∞. Limites de fonctions de références (à connaître par cœur).
On admettra que : lim
x→0
p1
x= +∞ lim
x→0
1
xn = +∞sinest un entier pair Sinest un entier impair : lim
x→0 x>0
1
xn = +∞et lim
x→0 x<0
1
xn = −∞.
Remarque importante : toutes les limites en un réel x0 peuvent se ramener à une limite en 0, en posant x=x0+h: lim
x→x0f(x)=lim
h→0f(x0+h).
Exemple 5 : Calcul de lim
x→3
1 (x−3)2. b) Limite en l’infini
Définition 7 :
Soitf une fonction définie au voisinage de+∞, et`un réel.
On dit quef a pour limite`en+∞, ou quef tend vers`en+∞, si∀ε>0,∃α∈R,∀x∈Df,x>α=⇒
¯
¯f(x)−`¯
¯<ε. On note lim
x→+∞f(x)=`.
Exemple 6 : Où l’on prouverait, si l’on avait le courage, que lim
x→+∞
p1
x+2=0.
Propriété 2 :
Soit f une fonction définie au voisinage de+∞.
x→+∞lim f(x)=`⇐⇒ lim
x→+∞
¯¯f(x)−`¯
¯=0.
Définition 8 :
Soitf une fonction définie au voisinage de+∞.
On dit quef a pour limite+∞en+∞, ou que f tend vers+∞en+∞, si∀A∈R,∃α∈R,∀x∈Df, x>α=⇒f(x)>A. On note lim
x→+∞f(x)= +∞.
On dit quef a pour limite−∞en+∞, ou que f tend vers−∞en+∞, si∀A∈R,∃α∈R,∀x∈Df, x>α=⇒f(x)<A. On note lim
x→+∞f(x)= −∞.
Les définitions sont similaires pour des limites en−∞. Exemple 7 : Montrons que lim
x→−∞ex=0.
Limites de fonctions de références (à connaître par cœur).
On admettra que :
x→+∞lim p1
x=0, pour tout entier non nuln, lim
x→+∞
1
xn =0 et lim
x→−∞
1 xn =0
et
x→+∞lim
px= +∞, lim
x→+∞xn= +∞pour tout entier non nuln
x→−∞lim xn=
(+∞ sinest un entier non nul pair,
−∞ sinest un entier impair.
Remarque : Une fonction peut n’avoir aucune limite en+∞(ou en−∞), c’est le cas par exemple des fonctions sinus et cosinus.
3o) Limites et inégalités
Dans tout ce qui suit, nous avons besoin de préciser la notion de voisinage : Définition 9 :
Soitx0∈R, etP(x) une propriété dépendant du réelx.
On dit queP est vraieau voisinage dex0si∃α>0,∀x∈R\©x0
ª,|x−x0| <α=⇒P(x).
On dit queP est vraieau voisinage de+∞si∃A∈R,∀x∈R,x>A=⇒P(x).
On dit queP est vraieau voisinage de−∞si∃A∈R,∀x∈R,x<A=⇒P(x).
Exemple 8 : f tend vers`enx0si∀ε>0,f est comprise entre`−εet`+εau voisinage dex0. f est majorée au voisinage de−∞si . . .
Nous allons de plus examiner des propriétés vraies pour des limites en un réel ou en l’infini. On adopte la notation suivante :
Définition 10 :
On noteR=R∪© + ∞ª
∪©
− ∞ª . Propriété 3 :
Soit f une fonction numérique qui admet une limite finie en a∈R. Alors f est bornée au voisinage de a.
Démonstration : Preuve similaire au cas des suites, prendre par exempleε=1 dans la définition de la limite pour le cas d’une limite en un réel.
Propriété 4 :
Si f admet une limite finie`non nulle en a∈R, alors f est du signe de`au voisinage de a.
Démonstration : Preuve similaire au cas des suites.
Corollaire 1 :
Si f admet pour limite`>m en a∈R, alors f est minorée (strictement) par m au voisinage de a.
Si f admet pour limite`<M en a, alors f est majorée (strictement) par M au voisinage de a.
Démonstration : Appliquer la propriété précédente àf −m, puis àf−M.
Propriété 5 :
Si f et g sont deux fonctions numériques admettant pour limites respectives`et`0en a∈Ret si f <g au voisinage de a, alors `≤`0 .
Démonstration : À partir de la définition, on commencerait par prouver que si une fonction strictement positive au voisinage deaadmet une limite`ena, alors`≥0.
Remarque :
– Une inégalité stricte devient donclargepar passage à la limite.
– On en déduit que si une fonction admet une limite finie`enaet est majorée parMau voisinage dea, alors
`≤M, et de même dans le cas où elle est minorée.
On dispose pour finir de théorèmes de comparaison, à l’image de ceux qui ont été vus pour les suites.
Théorème 1 :
(théorème des gendarmes)
Soient f , g et h trois fonctions numériques définies au voisinage de a∈R. On suppose que lim
x→ag(x)=
x→alimh(x)=`où`∈R, et qu’au voisinage de a, on a g(x)≤f(x)≤h(x).
Alorslim
x→af(x)=`.
Démonstration : Dans le casa∈R.
Exemple 9 : Soitf définie surR∗parf(x)=x
¹1 x º
: déterminons la limite def en 0.
Le théorème des gendarmes s’adapte également au cas de limites infinies : il n’est alors plus nécessaire d’effectuer un encadrement, une majoration (ou minoration selon le cas) suffit :
Théorème 2 :
(théorème de comparaison)
f et g désignent deux fonctions définies au voisinage de a∈R et telles qu’au voisinage de a on ait f(x)≥g(x). Alors :
1o) Silim
x→ag(x)= +∞, alors lim
x→af(x)= +∞.
2o) Silim
x→af(x)= −∞, alorslim
x→ag(x)= −∞. Démonstration : Admis.
4o) Limites et variations
Il existe pour les fonctions un énoncé analogue au cas des suites pour les fonctions monotones, le théorème de la limite monotone.
Théorème 3 :
(théorème de la limite monotone)
Toute fonction définie et monotone sur un intervalle ouvert admet une limite finie ou infinie aux bornes de l’intervalle.
Démonstration : Identique au cas des suites.
Remarque : Plus précisément, pour une fonction croissante sur ]a,b[ aveca∈R∪{−∞} etb∈R∪{+∞} : sif est majorée sur ]a,b[, alorsf admet une limite finie à gauche enbégale à sup©
f(x),x∈]a,b[ª
et sif n’est pas majorée sur ]a,b[, alors lim
x→b−f(x)= +∞. L’énoncé est similaire à droite ena (selon si f est minorée ou non). Énoncés comparables sif est décroissante.
5o) Opérations sur les limites
Les résultats suivants sont vrais pour des limites en un réel, en+∞, ou en−∞.
a) Limite d’une somme
Limite def ` ` ` +∞ −∞ +∞
Limite deg `0 +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
Limite def+g `+`0 +∞ −∞ +∞ −∞ F.I.
Exemple 10 : lim
x→−∞x2+1
x = +∞car lim
x→−∞x2= +∞et lim
x→−∞
1 x =0.
b) Limite d’un produit
Limite def ` `>0 `<0 `>0 `<0 +∞ +∞ −∞ 0 0
Limite deg `0 +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞
Limite def×g `×`0 +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞ F.I. F.I.
Exemple 11 : lim
x→0
3x−1
px = −∞car lim
x→03x−1= −1 et lim
x→0
p1
x = +∞. c) Limite d’un quotient
Limite def ` `6=0 +∞ −∞ ` ` +∞ou−∞ 0
Limite deg `06=0 0 ` ` +∞ −∞ +∞ou−∞ 0
Limite de f g
`
`0 +∞ou−∞ +∞ou−∞ +∞ou−∞ 0 0 F.I. F.I.
Démonstration : On démontre le premier résultat dans le cas où`0>0, en prouvant d’abord que 1
g est définie au voisinage dex0et que lim 1
g = 1
`0.
Remarque : Les cas indécis (+∞ou−∞) se déterminent en examinant le signe de f(x)
g(x) au voisinage de l’endroit étudié.
Exemple 12 : Déterminons lim
x→0
x2−3
px et lim
x→+∞
x2−3 px .
d) Limite et composition Propriété 6 :
Soit f : I−→J et g : J−→Rdeux fonctions numériques telles que f(I)⊂J . On suppose quelim
x→a f(x)= b etlim
y→bg(y)=c où a, b et c désignent soit des réels, soit+∞, soit−∞. Alors on a lim
x→a(g◦f)(x)=c .
Démonstration : Utilisons encore, une dernière fois, la définition de la limite, dans le casa=x0,b= +∞,c=`par exemple.
6o) Formes indéterminées a) Méthode générale
Méthode 1 : Une méthode générale permettant de lever les indéterminations consiste à mettre en facteur le terme dominant dans l’expression considérée.
Exemple 13 : lim
x→+∞x3−2x−3p x.
En appliquant cette méthode, on obtient les résultats généraux suivants :
Propriété 7 :
La limiteen l’infinid’une fonctionpolynômeest donnée par la limite de son terme de plus haut degré.
Propriété 8 :
La limiteen l’infinid’une fonctionrationnelle(quotient de deux polynômes) est donnée par la limite du quotient des termes de plus haut degré.
Méthode 2 : Une méthode générale facilitant la levée d’une indétermination en un réel x0 consiste à poser x=x0+h : lorsque x tend vers x0, h tend vers0.
Le théorème des gendarmes et le théorème de comparaison permettent également de résoudre des formes indéterminées.
b) Croissances comparées
La compétition (rude) entre fonctions puissances, exponentielles et logarithmes donne un classement invariable, pour peu que l’on ait affaire à une forme indéterminée : les exponentielles l’emportent sur les puissances, qui elles-mêmes l’emportent sur les logarithmes.
Propriété 9 :
(croissances comparées)
∀α>0, on a lim
x→+∞
ex
xα= +∞et lim
x→−∞|x|αex=0.
∀α>0, on a lim
x→+∞
ln(x)
xα =0et lim
x→0+xαln(x)=0.
x→+∞lim ex
ln(x)= +∞.
Remarque : On rappelle que les fonctions puissances sont définies surR+∗par∀x>0,xα=eαln(x). Exemple 14 : lim
x→0xe1x.
II – Équivalence de fonctions
De même que la notion de suites équivalentes a permis de déterminer des limites dans des cas de formes indéter- minées, nous allons définir l’équivalence des fonctions. Dans tout ce qui suit,aest un élément deR.
1o) Définition Définition 11 :
On considère deux fonctionsf etgdéfinies surDau voisinage dea.
On dit quef estéquivalenteàgena, et on note f ∼a g (ou f(x)x∼
→ag(x)), s’il existe une fonctionh définie surDtelle que lim
x→ah(x)=1 etf =hgau voisinage dea.
Remarque :
– La définition diffère de celle des suites car on peut être amenés à donner des équivalents de fonctions pour lesquelles il n’est pas possible de dire qu’elles ne s’annulent pas dans un voisinage dea. Par exem- ple, sin(x) ∼
+∞
x
x+1sin(x) (appliquer la définition) mais les deux fonctions impliquées s’annulent dans tout voisinage de+∞.
– Comme pour les suites, on n’écrira pas f(x)∼0, cela n’a pas de sens d’après la définition si f n’est pas l’application nulle au voisinage dea.
Exemple 15 : p
1+x−1∼
0
x 2.
2o) Propriétés
Dans les cas favorables, l’équivalence se caractérise de la même façon que pour les suites : Propriété 10 :
Si g ne s’annule pas au voisinage de a, alors f ∼a g⇐⇒lim
x→a
f(x) g(x)=1. Démonstration : Immédiat.
Ceci permet de disposer d’équivalents usuels, à connaître par cœur : Propriété 11 :
Équivalents usuels : sin(x)∼
0x tan(x)∼
0 x ln(1+x)∼
0 x ex−1∼
0 x 1−cos(x)∼
0
x2 2
p1+x−1∼
0
1
2x ∀α∈R∗, (1+x)α−1∼
0αx Démonstration : Identique aux suites.
Remarque : ln(x)∼
1x−1 Cas des polynômes : Propriété 12 :
Tout polynôme est équivalent à son terme de plus bas degré en0et à son terme de plus haut degré en l’infini.
L’équivalence de fonctions vérifie (comme l’équivalence de suites) les trois propriétés suivantes : Propriété 13 :
1o) Réflexivité : f ∼a f .
2o) Symétrie : f ∼a g⇐⇒g∼a f (on peut donc dire que f et g sont équivalentes en a).
3o) Transitivité : ( f ∼a g et g∼ah)=⇒f ∼ah .
Démonstration : On utilise la définition et tout se passe bien.
Rappelons l’effet des opérations usuelles sur les fonctions équivalentes : Propriété 14 :
Soient f1, f2, f3et f4des fonctions telles que f1∼a f2et f3∼a f4. Alors : 1o) ∀λ∈R∗, λf1∼a λf2 .
2o) f1f3∼a f2f4 .
3o) Si f1et f2ne s’annulent pas au voisinage de a, 1 f1∼a 1
f2 et f3
f1∼a f4
f2 .
4o) ∀n∈N, f1n∼a f2n et ce résultat reste vrai pour n∈Zsi f1et f2ne s’annulent pas au voisinage de a.
5o) Si f1et f2sont strictement positives au voisinage de a,∀α∈R, f1α∼a f2α. Pourα=1
2, cela permet d’appliquer la racine carrée à un équivalent.
Démonstration : La définition toujours ! Exemple 16 : Équivalent en 0 de : sin(x)
2x3−3x2 ; équivalent en 1 de¡
2x2+x−3¢ ln(x).
Remarque : ATTENTION: comme pour les suites, on ne peut pas sommer les équivalents. Si f1∼a f2et f3∼a f4, on n’a pas f1+f3∼a f2+f4dans le cas général. Pour déterminer un équivalent d’une somme, onfactorise(par le terme prépondérant).
Exemple 17 : Équivalent en−∞de e−x+2x−ln µ2
x2
¶ .
Remarque : ATTENTION(bis) : l’équivalence n’est pas non plus compatible avec la composition. Sif ∼a g, on n’a pash◦f ∼a h◦gdans le cas général. Par exemple,x+1 ∼
+∞xmais ex+1n’est pas équivalent à ex. En revanche, on peut sous certaines conditions substituer la variable dans un équivalent : Propriété 15 :
f et g sont deux fonctions définies surDau voisinage de a, telles que f ∼a g . On suppose que u : Du→D est une fonction vérifiantlim
t→t0u(t)=a, où t0∈R. Alors f◦u∼
t0
g◦u .
Exemple 18 : Déterminer un équivalent de
à 1
1−3 tan¡ et¢
!3
−1 en−∞.
3o) Application à la recherche de limites Propriété 16 :
Silim
x→af(x)=`, où`∈R∗, alors f ∼a `. Remarque :
– Si`=0, on n’écrit pasf ∼0, ceci n’a pas de sens.
– On en déduit que deux fonctions ayant la même limite non nulle sont équivalentes, ce qui n’est pas le cas pour les fonctions tendant vers 0 (contre-exemple facile à trouver), ni pour celles tendant vers+∞ou−∞.
Propriété 17 : Si f ∼a g et silim
x→ag(x)=b, où b∈R, alors lim
x→af(x)=b . Démonstration : Évident avec la définition.
Remarque : Deux fonctions équivalentes ena ont des propriétés communes au voisinage dea : elles sont en particulier de même signe, et si l’une ne s’annule pas, l’autre non plus.
Exemple 19 : Déterminer la limite de µ
1+1 x
¶x
en−∞.
III – Continuité
1o) Continuité en un point Définition 12 :
Soitf une fonction définie surI, etx0∈I. On dit quef estcontinue enx0si lim
x→x0f(x)=f(x0) . Si f n’est pas continue enx0, on dit que f est discontinueenx0.
Exemple 20 : Regardons de près la fonction partie entière.
À la lumière de l’exemple précédent, on observe qu’une fonction peut n’être continue que d’un côté : Définition 13 :
Soitf une fonction définie surI, etx0∈I. On dit quef estcontinue à droite enx0si lim
x→x0 x>x0
f(x)=f(x0) . On dit que f estcontinue à gauche en x0si lim
x→x0 x<x0
f(x)=f(x0) .
Remarque : f est continue à droite et à gauche enx0ssif est continue enx0.
Pour prouver la continuité d’une fonction en un réel, il est intéressant d’utiliser les opérations sur les fonctions continues :
Propriété 18 :
Soient f et g deux fonctions numériques définies sur I , f et g étant continues en x0∈I . Alors : 1o) ∀λ∈R,λf est continue en x0.
2o) f +g et f g sont continues en x0. 3o) Si g(x0)6=0, 1
g et f
g sont continues en x0. Démonstration : Tout vient des opérations sur les limites.
Propriété 19 :
Soit f : I7→J une fonction continue en x0∈I , et g une fonction définie sur J et continue en f(x0).
Alors g◦f est continue en x0.
Démonstration : Composition de limites...
Lorsqu’une fonction admet une limite finie en un réel où elle n’est pas définie, on peut prolonger sa définition :
Définition 14 :
Soitf définie surIau voisinage dex0(oùx0∉I). On suppose que lim
x→x0
f(x)=`(où`∈R).
La fonction ˜f :
¯
¯
¯
¯
¯
¯
I∪{x0} −→ R
x 7−→
½ f(x) six6=x0
`six=x0
est appeléeprolongement par continuitédef en
x0: ˜f est continue enx0et ˜f/I=f .
Exemple 21 : f définie surR∗parf(x)=xln|x|.
Un résultat de limite vu dans le chapitre sur les suites permet de relier continuité et limite de suites : Propriété 20 :
(Caractérisation séquentielle de la continuité)
Soit f définie sur I et continue en x0∈I . On suppose que(un)n≥n0est une suite vérifiant∀n≥n0, un∈I et lim
n→+∞un=x0. Alors¡
f(un)¢
n≥n0converge et lim
n→+∞f(un)=f(x0).
Exemple 22 : Soit f une fonction définie surR, continue en 0 et telle que∀x∈R,f(x)=f(2x).
Montrons quef est constante.
2o) Continuité sur un intervalle Définition 15 :
Soitf une fonction définie sur un intervalleI.
On dit que f estcontinue surI si f est continue en tout réelx0∈I. On note C0(I) l’ensemble des fonctions continues surI.
Des propriétés d’opérations sur les fonctions continues en un point, on déduit de manière immédiate : Propriété 21 :
Soient f et g deux fonctions numériques définies et continues sur un intervalle I . Alors : 1o) ∀λ∈R,λf est continue sur I .
2o) f +g et f g sont continues sur I . 3o) Si g ne s’annule pas sur I , 1
g et f
g sont continues sur I .
Exemple 23 : Les fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques, puissances, exponentielles, logarithmes sont toutes continues sur leur ensemble de définition.
Propriété 22 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I , et g continue sur un intervalle J tel que f(I)⊂J . Alors g◦f est continue sur I .
Exemple 24 : Continuité def(x)=ln(2x2+x−1).
Les fonctions continues sur un intervalle vérifient le célèbre théorème des valeurs intermédiaires (TVI pour les intimes) :
Théorème 4 :
(théorème des valeurs intermédiaires)
Soit f une fonction définie et continue sur l’intervalle I , et a et b deux réels distincts de I tels que a<b.
Pour tout réel k compris entre f(a)et f(b), il existe un réel c∈[a,b]tel que f(c)=k.
On retient qu’une fonction continue sur un intervalle prend toutes les valeurs comprises entre deux de ses images, ou que tout réel compris entre deux images par une fonction continue admet au moins un antécédent par la fonction.
Démonstration : Méthode de dichotomie, déjà vue (et appréciée à sa juste valeur) dans le chapitre sur les suites.
Remarque : Le théorème s’étend au cas de limites enaetb : si (a,b)∈R2et siaetb sont des extrémités deI, avec lim
x→af(x)=`et lim
x→bf(x)=`0, où (`,`0)∈R2, alors pour tout réelk compris entre`et`0, il existeccompris strictement entreaetbtel quef(c)=k.
Cas particulier important : une fonction continue qui change de signe sur un intervalle s’annule au moins une fois sur cet intervalle.
Exemple 25 : Montrer que toute fonction continue sur [a,b] à valeurs dans [a,b] admet un point fixe.
Le théorème des valeurs intermédiaires permet de préciser l’image d’un segment par une fonction continue : Théorème 5 :
Toute fonction continue sur un intervalle du type[a,b](a<b) est bornée et atteint ses bornes.
Démonstration : Admis.
3o) Continuité et bijection Théorème 6 :
(théorème de la bijection)
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I , alors f réalise une bijection de I sur l’intervalle f(I).
Démonstration : f : I7→f(I) est surjective par définition def(I) (qui est un intervalle, grâce à ce qui précède). Il ne reste plus qu’à prouver que f est injective, ce qui se fait à partir de la définition et de la monotonie stricte de f.
Exemple 26 : ln,x7→x2.
Remarque : Par convention, les flèches obliques dans un tableau de variation traduisent simultanément la stricte monotonie et la continuité de la fonction. Dans les problèmes, une référence au tableau de variation est donc acceptée, sous réserve que cela s’y prête.
Exemple 27 : Le théorème de la bijection donne un moyen de résoudre de manière approchée les équations, à l’aide de la calculatrice : par exemple, par balayage, une solution approchée de l’équationx=3 ln(x) estx≈1, 857 (mais il y en a une autre qui est 4, 536).
La bijection réciproque ainsi définie hérite des propriétés de l’application de départ : Propriété 23 :
Soit f : I7→f(I)une bijection, et f−1sa bijection réciproque.
1o) lim
x→af(x)=b⇐⇒lim
y→bf−1(y)=a.
2o) Si f est continue sur I , alors f−1est continue sur f(I).
3o) Si f est strictement monotone sur I , alors f−1est strictement monotone sur f(I)et possède le même sens de variation que f .
4o) Si f est impaire sur I , alors f−1est impaire sur f(I).
5o) Cf−1est le symétrique deCf par rapport à la droite d’équation y=x.
Démonstration : 1o) s’obtient par « composition ». 2o) découle de 1o). 3o) et 4o) s’obtiennent aisément à partir de la caractérisation de la bijection réciproque. Pour 5o), une connaissance des symétries est nécessaire.
Remarque : Pourquoi ne parle-t-on pas des fonctions paires, ont-elles été injustement écartées ? 4o) Applications
a) Fonction racinen-ième Soitn∈N∗.
f : x7−→xnest continue et strictement croissante surR+sinest pair, et surRsinest impair. On a de plus
x→+∞lim f(x)= +∞,f(0)=0 et, pournimpair, lim
x→−∞f(x)= −∞. On en déduit que pournpair,f réalise une bijection deR+dansR+et pournimpair,f réalise une bijection deRdansR.
Définition 16 :
On appelleracinen-ièmela bijection réciproque de la fonctionx7−→xn, et on la note pn
: sin est pair,pn
: R+7−→R+et sinest impair, pn
: R7−→R.
Remarque : De la définition et des propriétés des bijections réciproques, on déduit : – Sin est pair : ∀(x,y)∈¡
R+¢2, y=xn ⇐⇒ x=pn
y . De plus,∀x∈R+, pnxn =¡pn x¢n
=x. Six∈R−, on montre quepn
xn= −x.
– Sinest impair :∀(x,y)∈(R)2, y=xn ⇐⇒ x=pn
y . De plus,∀x∈R,pnxn=¡pn x¢n
=x.
f étant continue et strictement croissante, on déduit de la propriété 23 que : Propriété 24 :
pn
est une fonction continue et strictement croissante sur son ensemble de définition. Si n est impair, alors la fonctionpn
est impaire.
Exemple 28 : pn
0=0,pn
1=1,p3
−8= −2.
Une autre écriture est possible surR+∗, obtenue en résolvant l’équation de recherche des antécédents : Propriété 25 :
∀x>0, on a pn
x=xn1 .
On termine par le tracé de la courbe de la fonctionpn
pour différentes valeurs den:
0 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5 0
1 2 3
−1
−2
−3
y=√x
y=√3x
y=√4x
y=√5x
Figure 1: Courbes des racinesn-ièmes b) Fonction arctangente
f =tan/]−π2 ,π
2[est continue et strictement croissante : elle établit donc une bijection dei
−π 2,π
2 h
dansR. Définition 17 :
On appellearctangentela bijection réciproque de tan/ ]−π2 ,π
2[: arctan : R7−→i
−π 2,π
2 het
∀y∈R,∀x∈i
−π 2,π
2 h
, arctan(y)=x⇐⇒y=tan(x) .
Remarque : On a donc ∀x∈i
−π 2,π
2 h
, arctan(tanx)=x et ∀y∈R, tan(arctany)=y . Attention, sixn’appartient pas ài
−π 2,π
2 h
, arctan(tanx) n’est pas égal àx(il y a un multiple deπd’écart).
f étant impaire, continue et strictement croissante, on déduit de la propriété 23 que : Propriété 26 :
arctanest une fonction impaire, continue et strictement croissante surR. De plus, lim
x→+∞arctan(x)=π 2 et lim
x→−∞arctan(x)= −π 2 .
Valeurs remarquables :
x 0 π
6 π 4
π 3 tan(x) 0
p3
3 1 p
3
ce qui entraîne :
y 0
p3
3 1 p
3 arctan(y) 0 π
6 π 4
π 3 On termine par le tracé de la courbe de la fonction arctan, et par situer arctan(x) sur le cercle trigonométrique en fonction dex∈R.
