le 13 Septembre 2005 UTBM
MT11
Final
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Questions de cours) - 6 points
i) Soit f : Df ⊂R −→ R, une fonction strictement positive (i.e. ∀x ∈ Df, f(x) >0).
Soit x0 ∈ Df. Supposons que
x→xlim0
f(x) =l ∈R.
A-t-on n´ecessairement l >0?
Si oui, justifier, sinon, donner un contre-exemple.
ii) Soitf, g:Df ⊂R−→R, deux fonctions. Supposonsf(x)∼x→0 x+1et g(x)∼x→0 1.
A-t-on f(x)×g(x)∼x→0 x+ 1 ?
Si oui, justifier, sinon, donner un contre-exemple.
∼x→0 signifie ”´equivalente lorsque x tend vers 0 `a”.
iii) L’image par une fonction continue d’un intervalle ouvert (du type ]a, b[, a < b) est-elle un intervalle ouvert (du type ]c, d[, c < d) ?
Si oui, justifier, sinon, donner un contre-exemple.
iv) Quelle est la limite, lorsque x tend vers 2 de f(x) = ln(x−2x2)) ? Justifier.
Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 6 points Soit la fraction rationnelle
F(x) = x2−7x+ 6 x3−3x2−9x+ 27 que l’on cherche `a int´egrer.
i) Apr`es avoir trouv´e un PGCD de P(x) = x3 −3x2 + 4 et sa d´eriv´ee (on donnera une expression de ce PGCD de la forme U(x).P(x) +V(x).P0(x) o`u U(x), V(x) ∈R[x]), donner une factorisation de x3−3x2+ 4.
ii) D´ecomposer en ´el´ements simples F(x) dans R(x).
iii) donner toutes les primitives de F(x) sur son ensemble de d´efinition.
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Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 8 points On se propose d’´etudier et de repr´esenter la fonction
f : R −→ R
x 7→ arctan(2x−12x+1) +x+ 12 1. Quel est le domaine de d´efinition de f?
2. Quel est le tableau de variation def en indiquant la limite de f aux points critiques ? 3. Trouver le(s) point(s) susceptible(s) d’ˆetre d’inflexion.
4. Grˆace `a la formule de Taylor-Young, donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 de arctan(x) en 1.
5. Trouver le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 de 2x−12x+1 en 0.
6. D´eduire des deux questions pr´ec´edentes que le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 de arctan(2x−12x+1) en 0 est
arctan(2x−1
2x+ 1) = −π
4 + 2.x− 8
3.x3+o(x3).
Que peut-on en d´eduire sur le(s) point(s) trouv´e(s) `a la question 3) ? (o(x3) d´esigne x3.²(x) avec ²(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0).
7. ´Etudier les branches infinies de f.
8. repr´esenter rapidement f (π2 '1.57, π4 '0.78).
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