Théorème de Fubini-Tonelli

Théorème de Fubini-Tonelli

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France

1. Théorème de Fubini

En Physique comme en Mathématiques, le calcul des intégrales multiples s’effectue très souvent en itérant des intégrales simples. Nous allons maintenant développer cette méthode dans le cadre de la Théorie de l’intégration de Lebesgue surR^d.

Pour tous entierd₁ > 1etd₂ >1avecd =d₁ +d₂, on peut décomposer la dimension ambiante comme :

R^d=R^d1 ×R^d2. Un point deR^dpossède alors des coordonnées(x, y)avec :

x∈R^d1 et y∈R^d2.

Eu égard au caractère profondément géométrique d’une telle décomposition qui généralise R² =R×R, il apparaît très naturel d’introduire des tranchages.

0 x

R^d1 R^d2

Ex

y

E^y E

Définition 1.1. Étant donné un sous-ensemble quelconqueE ⊂ R^d1 ×R^d2, pas nécessai- rement mesurable, poury ∈ R^d2 fixé, lay-tranchedeE est le sous-ensemble de l’espace desxdéfini par :

E^y :=

x∈R^d1: (x, y)∈E .

De même, pourx ∈ R^d1, lax-tranchedeE est le sous-ensemble de l’espace desydéfini par :

E_x :=

y∈R^d2: (x, y)∈E .

Quand on passe aux fonctions, le tranchage s’incarne sous la forme derestrictions.

1

Définition 1.2. Étant donné une fonction :

f: R^d1 ×R^d2 −→ {−∞} ∪R∪ {+∞},

latranchedef correspondant à uny ∈ R^d2 fixé est la fonctionf^y de la variablex ∈ R^d1 donnée par :

f^y(x) := f(x, y).

De manière similaire, latranchedef correspondant à unx∈R^d1 fixéest la fonctionf_xde la variabley∈R^d2 donnée par :

f_x(y) := f(x, y).

LeThéorème de Fubinique nous allons maintenant formuler et démontrer ne se présente pas spontanément à l’esprit comme en théorie de Riemann lorsqu’on se limite à la consi- dération de fonctions continues, et ce, à cause d’une difficulté sous-jacente peu prévisible : les ensembles-tranchesE_xetE_yd’un ensemble mesurableE ⊂R^d1×R^d2 ne s’avèrent pas toujours être mesurables.

Un contre-exemple très simple à cette croyance spontanée consiste à prendre un sous- ensemblenonmesurableN ⊂ [0,1]^d1 dans l’espace desx, et à le regarder comme plongé dans l’espace-produit :

E := N × {0} ⊂ R^d1 ×R^d2;

alors la tranche horizontaleE⁰ = N correspondant ày = 0 ∈ R^d2 n’est manifestement pas mesurable, tandis que dansR^d1 ×R^d2, la mesure(d₁ +d₂)-dimensionnelle de E est égale à0 — doncEest mesurable ! —, puisqueEest bornée contenu dans un sous-espace linéaire deR^d1×R^d2 de codimensiond₂ >1, de telle sorte qu’on peut le recouvrir par des rectangles d’épaisseur verticale arbitrairement petite.

De plus, même sous l’hypothèse qu’une fonction f: E −→ {−∞} ∪R∪ {+∞}est mesurable, il n’est pas toujours vrai, aussi, que ses tranchesf_xetf^y soient mesurables pour toutxet pour touty.

Le démon cruel des mathématiques dialectiques, heureusement, va nous laisser la vie sauve, car il va se trouver que la mesurabilité sera satisfaite pour presque toute tranche, phénomène qui est en accord avec la manière de penser que nous avons développée en Théorie de la mesure.

Théorème 1.3. [Fubini]Soit une fonction mesurable :

f: R^d1 ×R^d2 −→ {−∞} ∪R∪ {+∞}

qui est intégrable au sens de Lebesgue,i.e.R

|f| < ∞. Alorspour presque tout y ∈ R^d2 fixé :

(i)la fonction-tranchex7−→f^y(x)est mesurable et intégrable surR^d1; (ii)ses différentes intégrales correspondantes définissent une fonction :

y 7−→

Z

R^d1

f^y(x)dx qui est mesurable et intégrable surR^d2;

(iii)et de plus enfin, on a laformule de Fubini : Z

R^d2

Z

R^d1

f(x, y)dx

dy = Z

R^d

f.

1.Théorème de Fubini 3

Bien entendu, le théorème est symétrique lorsqu’on échange le rôle de xavec celui de y, donc on a aussi l’intégrabilité des fonctions-tranches y 7−→ f_x(y) pour presque tout x∈R^d1, on a aussi l’intégrabilité de la fonction :

x 7−→

Z

R^d2

f_x(y)dy, et on a aussi la formule :

Z

R^d1

Z

R^d2

f(x, y)dy

dx = Z

R^d

f.

En particulier, le théorème de Fubini énonce que l’intégrale sur R^d d’une fonction f peut être calculée en itérant des intégrales en dimension inférieure, et il montre aussi que cela peut être fait dans n’importe quel ordre :

Z

R^d

f = Z

R^d1

Z

R^d2

f(x, y)dy

dx = Z

R^d2

Z

R^d1

f(x, y)dx

dy.

Dans le cas plus général où la fonction f serait à valeurs complexes, observons qu’on se ramènerait sans peine au cas où elle est à valeurs réelles, en traitant séparémentRef et Imf.

Toute démonstration du Théorème de Fubini est inévitablement longue, et celle que nous allons développer procédera ensixétapes.

Notation.Nous noterons :

F

l’ensemble des fonctions mesurable et intégrables sur_R^dqui satisfont les trois conclusions (i),(ii),(iii)du théorème.

Notre but est de parvenir à faire voir que :

F ⊃ L¹(R^d).

L’Étape 1 montrera queF est stable par des opérations élémentaires telles que la prise de combinaisons linéaires. L’Étape 2 montrera une stabilité similaire par passages à la limite.

Ensuite, nous commencerons à construire certaines familles de fonctions qui appartien- dront àF. Puisque toute fonction intégrable est ‘limite’ de fonctions étagées, et puisque les fonctions étagées sont combinaisons linéaires finies de fonctions indicatrices d’ensembles mesurables de mesure finie,l’objectif va rapidement se concentrer sur une démonstration du fait que la fonction indicatrice1_E d’un sous-ensemble mesurableE ⊂ R^d de mesure finie appartient àF.

Afin de réaliser cet objectif, nous commencerons à travailler avec des rectangles, et à la fin de l’Étape 3, nous aurons atteint lesG_δ-ensembles, tandis que l’Étape 4 sera consacrée à atteindre les ensembles de mesure nulle.

À la fin, un argument de passage à la limite montrera que toutes les fonctions intégrables appartiennent à F, ce qui complétera cette démonstration qui aura exigé, nous nous en rendrons compte, beaucoup d’endurance mathématique !

Démonstration. Commençons donc par une propriété simple et naturelle, d’après laquelle les propriétés(i),(ii),(iii)sont linéairement stables.

Étape 1.Toute combinaison linéaire finie de fonctions appartenant àF appartient encore àF.

Démonstration. En effet, soient f1, . . . , fN ∈ F. Pour tout k = 1, . . . , N, il existe un sous-ensembleA_k⊂R^d2 de mesure nulle :

0 = m A_k

(k= 1···N), tel que pour touty 6∈ A_k, la fonction-tranchex 7−→ f_k^y(x)est mesurable et intégrable sur R^d1. Si on introduit la réunion :

A:=

[N

k=1

A_k,

toujours de mesure nulle, il est alors clair que pour toute combinaison linéaire : g :=λ1f1+· · ·+λN fN,

lorsquey6∈A, la fonction-tranchex7−→g^y(x)est mesurable et intégrable. La linéarité de l’intégrale montre queg satisfait aussi(ii)et(iii)(exercice mental).

Étape 2.Si(f_k)^∞_k=1 est une suite croissante de fonctions appartenant àF :

f_k 6 f_k+1 (k>1),

qui converge ponctuellement presque partout vers une certaine fonction (automatiquement) mesurable :

f = lim

k→∞f_k,

et si cette fonction-limitef est intégrable surR^d, alorsf ∈F aussi.

Bien entendu, la même conclusion vaut pour les suites décroissantes, les deux énoncés étant équivalents à travers un changement de signe globalf_k7−→ −f_k.

Démonstration. Après remplacement defk parfk−f1, on peut supposer quefk >0pour toutk >1.

Maintenant, observons que le Théorème de convergence monotone donne :

klim→∞

Z

R^d

f_k(x, y)dxdy = Z

R^d

f(x, y)dxdy.

(1.4)

Or par hypothèse, pour toutk, il existe un sous-ensembleA_k ⊂ R^d2 tel que x 7−→ f_k^y(x) est mesurable et intégrable sur R^d1 chaque fois que y 6∈ Ak. La réunion infinie de ces ensembles exceptionnels :

A:=

[∞ k=1

Ak,

est encore de mesure nulle dansR^d2 :

m(A) = 0,

et lorsquey 6∈ A, on est certain quetoutesles fonctions-tranchesx 7−→ f_k^y(x)sont mesu- rables et Lebesgue-intégrables. Puisque cette suite de fonctions est croissante, le Théorème de convergence monotone assure que la suite de fonctions :

y 7−→ g_k(y) :=

Z

R^d1

f_k^y(x)dx (k>1),

1.Théorème de Fubini 5

converge pourk → ∞en croissant vers la limite : g(y) :=

Z

R^d1

f^y(x)dx.

Une application renouvelée du Théorème de convergence monotone montre alors qu’on a aussi :

Z

R^d2

gk(y)dy −→

k→∞

Z

R^d2

g(y)dy.

(1.5)

Mais comme par hypothèsef_k ∈F, il vient : Z

R^d2

g_k(y)dy = Z

R^d

f_k(x, y)dxdy, et en tenant compte de (1.4) et de (1.5), nous concluons que :

Z

R^d

g(y)dy = Z

R^d

f(x, y)dxdy

< ∞,

puisquefa été supposée Lebesgue-intégrable surR^d. Cette dernière équation montre donc queg est Lebesgue-intégrable surR^d2. Par conséquent :

g(y) < ∞ (pour presque touty∈R^d2), et en revenant à l’expression de g(y), ceci montre premièrement que f^y est Lebesgue- intégrable surR^d1 pour presque touty, et deuxièmement que :

Z

R^d2

Z

R^d1

f(x, y)dx

dy = Z

R^d

f(x, y)dxdy,

ce qui est la conclusion annoncéef ∈F.

Étape 3.Toute fonction indicatrice1_E d’un sous-ensemble mesurableE ⊂ R^dqui est un G_δ-ensemble de mesure finie, appartient àF.

Démonstration. Nous procédons encinqsous-étapes organisées par ordre croissant de gé- néralité.

(a)Supposons pour commencer queE ⊂R^dest un cube ouvert borné, de la forme : E =Q₁×Q₂,

où Q₁ ⊂ R^d1 et Q₂ ⊂ R^d2 sont deux cubes ouverts bornés. Alors pour tout y, la fonc- tion indicatrice1_E(x, y)est mesurable par rapport àx, est intégrable, et satisfait (exercice géométrico-mental) :

Z

R^d1

1E(x, y)dx =

|Q₁| lorsque y∈Q₂,

0 autrement.

Par conséquent, la fonction :

g :=|Q₁| ·1_Q2 est elle aussi mesurable intégrable, et elle satisfait :

Z

R^d2

g(y)dy = |Q₁| · |Q₂|.

Mais comme nous avions au départ : Z

R^d

1_E(x, y)dxdy = |E| = |Q₁| · |Q₂|, nous déduisons bien que1_E ∈F.

(b)Maintenant, supposons que E est un sous-ensemble du bord d’un cube fermé borné.

Puisque le bord de tout cube est de mesure nulle dansR^d, on a : Z

R^d

1_E(x, y)dxdy = 0.

Ensuite, nous laissons en exercice au lecteur le soin de se convaincre que pour touty, l’ensemble-trancheE^y est de mesure0dansR^d1. Par conséquent, si on introduit :

g(y) :=

Z

R^d1

1_E^y(x)dx = Z

R^d1

1_E(x, y)dx,

on déduit queg(y) = 0pour presque touty. Ensuite, il découle de cela que : Z

R^d2

g(y)dy = 0, et donc on a bien1_E ∈F.

(c)Supposons maintenant queE est réunion finie de cubes fermés dont les intérieurs sont mutuellement disjoints :

E = [K

k=1

Q_k.

Alors, si Q^o_k désigne l’intérieur de Q_k, on peut écrire 1_E comme combinaison linéaire des fonctions indicatrices 1_Q^o

k de ces intérieurs, ainsi que de fonctions indicatrices 1_Ak de sous-ensembles appropriés des bords desQ_k (exercice ; tracer des figures intuitives en dimensions1,2,3).

Mais grâce aux analyses que nous avons déjà conduites, nous savons que les1Q^o_k appar- tiennent àF, ainsi que les1_Ak, pour toutk = 1, . . . , N. Or l’Étape 1 garantissait à l’avance que l’ensembleF est fermé par combinaisons linéaires finies. Donc nous concluons que 1_E ∈F.

(d)Plus avant, montrons que siE ⊂ R^d est ouvert et de mesure finie, alors1E ∈ F. En partant de ce qui précède, cette affirmation découle d’un passage à la limite.

En effet, nous avons vu au tout début des développements de la Théorie de la mesure queE ouvert peut toujours être représenté comme réunion dénombrable de cubes fermés presque disjoints :

E = [∞ j=1

Q_j. Par conséquent, si nous posons :

f_k :=

Xk

j=1

1_Qj,

même si f_k → ∞ en certains points, nous observons que ces fonctions f_k tendent en croissant presque partout versf = 1_E, fonction qui est intégrable puisque m(E) < ∞. Nous concluons grâce à l’Étape 2 quef ∈F.

1.Théorème de Fubini 7

(e)Enfin, montrons que siEest unG_δ-ensemble de mesurefinie, alors1_E ∈F. En effet, par définition,E est représentable comme intersection dénombrable :

E =

\∞ k=1

Ok,

d’ouverts Ok ⊂ R^d. Comme E est de mesure finie, à partir d’un certain rang, les Ok

deviennent de mesure finie, et donc, on peut supposer queO1 estde mesure finie. Qui plus est, après remplacement :

Ok 7−→

\k

`=1

O`, on peut même supposer que :

O1 ⊃ O2 ⊃ · · · ⊃ Ok ⊃ · · · .

Alors la suite de fonctionsfk := 1_Ok décroît versf = 1E, et enfin, puisque(d) vient de faire voir que1_Ok ∈F, nous concluons grâce à l’Étape 2 que1_E ∈F. Étape 4.Si un sous-ensembleE ⊂R^dest de mesure nulle, alors1_E ∈F.

Démonstration. En effet, puisqueEest mesurable, nous pouvons trouver unGδ-ensemble : G ⊃ E,

de mesurem(G) = 0. Or, puisque l’Étape 3 vient de faire voir que 1_G ∈ F, nous savons

que : Z

R^d2

Z

R^d1

1_G(x, y)dx

dy = Z

R^d

1_G = 0,

d’où : Z

R^d1

1_G(x, y)dx = 0 (pour presque touty∈R^d2). Par conséquent, l’ensemble-trancheG^y est de mesure0pour presque touty. Mais comme :

E^y ⊂ G^y, nécessairement pour cesy:

m E^y

= 0 = Z

R^d1

1_E(x, y)dx, et pour terminer :

Z

R^d2

Z

R^d1

1_E(x, y)dx

dy = 0 = Z

R^d

1_E,

ce qui montre bien que1_E ∈F.

Étape 5.Si un sous-ensemble mesurableE ⊂R^dest de mesure finie, alors1_E ∈F. Démonstration. En effet, rappelons qu’il existe unG_δ-ensembleG⊃Ede mesure finie tel que :

0 = m(G\E).

Or puisque :

1_E = 1_G−1_G\E,

et puisqueF est stable par combinaisons linéaires, nous trouvons bien que1_E ∈F.

Étape 6.Si une fonctionf: R^d −→ {−∞} ∪R∪ {+∞}est Lebesgue-intégrable, alors f ∈F.

Démonstration. Bien entendu, nous pouvons supposer, comme nous l’avons déjà fait à plu- sieurs reprises, quef est à valeurs réelles>0. Grâce à un théorème du chapitre qui précède, il existe une suite croissante(ϕ_k)^∞_k=1de fonctions étagées qui tend en tout point versf. Mais puisque chaqueϕ_kest combinaison linéaire finie de fonctions caractéristiques d’ensembles de mesure finie, on sait queϕ_k ∈ F pour toutk > 1, et l’Étape 2 réalisée à l’avance nous

permet bien de conclure ici quef ∈F !

Ces six étapes étant réalisées, la démonstration patiente du Théorème 1.3 s’achève enfin.

Le génie est une longue patience. Buffon

[Parole de Buffon, rapportée par Hérault de Séchelles,voyage à Montbard(1785), qui met dans la bouche de Buffon une phrase légèrement différente : « Le génie n’est qu’une plus grande aptitude à la patience ».]

2. Théorème de Tonelli Supposons donnée une fonction mesurable :

f: R^d −→ {−∞} ∪R∪ {+∞},

dont on ne sait pas a priorisi elle est intégrable au sens de Lebesgue, mais posons-nous quand même la question de savoir si nous pouvons déterminerR

R^d f, et ce, grâce à l’utili- sation d’intégrales itérées, lesquelles sont en général plus accessibles au calcul. Or d’après la définition la plus générale, notre fonctionf est Lebesgue-intégrable si et seulement si sa valeur absolue|f|satisfait : Z

R^d |f| < ∞.

Par conséquent, la question concerne en vérité une fonction à valeurs positives,|f|. Il faut donc un théorème qui nous permette, par le biais d’intégrales itérées, notamment en di- mensions2et3, de déterminer par le calcul si|f|est d’intégralefinie, car rappelons que la Théorie de l’intégration de Lebesgueattribue toujours une valeur :

Z

R^d

g ∈ R+∪ {∞}, àtoutefonction mesurable positiveg: R^d −→R+∪ {∞}. Théorème 2.1. [Tonelli]Soit une fonction mesurablepositive :

g: R^d1 ×R^d2 −→ R+∪ {∞}, pas forcément Lebesgue-intégrable, à savoir satisfaisant peut-êtreR

R^d g =∞. Alorspour presque touty∈R^d2 fixé :

(i)la fonction-tranchex7−→g^y(x)est mesurable surR^d1;

(ii)ses différentes intégrales correspondantes définissent une fonction : y 7−→

Z

R^d1

g^y(x)dx qui est mesurable surR^d2;

2.Théorème de Tonelli 9

(iii)et de plus enfin, on a laformule de Fubini-Tonelli : Z

R^d2

Z

R^d1

g(x, y)dx

dy = Z

R^d

g,

cette équation pouvant se réduire à :

∞ = ∞.

Dans la pratique réelle des exercices, des partiels, des examens, des concours, et destutti quantiestudiantins, en partant d’une fonction mesurablef: R^d−→ {−∞} ∪R∪ {+∞}, en lui associant la fonction positiveg :=|f|, si le premier membre de cette équation :

Z

R^d2

Z

R^d1

f(x, y)dx

dy

| {z }

<∞

= Z

R^d |f|,

calculé concrètement par intégration itérée, s’avère êtrefini, alors on peut conclure quef est Lebesgue-intégrable surR^d!

Qui plus est, dans ce cas, les hypothèses du Théorème 1.3 de Fubini sont alors satisfaites, et l’on peut reprendre le calcul que l’on vient de conduire pour|f|et recalculer alors pour f la valeurfiniede son intégrale en travaillant à nouveau avec des intégrales itérées :

Z

R^d2

Z

R^d1

f(x, y)dx

dy

| {z }

en général calculable

= Z

R^d

f.

Démonstration. Introduisons les troncatures : f_k(x, y) :=

f(x, y) lorsque |(x, y)|6k et f(x, y)6k,

0 autrement.

Chaque fonctionf_k est Lebesgue-intégrable, et grâce à (i) du Théorème 1.3 de Fubini, il existe un sous-ensembleE_k ⊂R^d2 de mesure0tel que la fonction-tranchex7−→f_k^y(x)est mesurable pour touty∈R^d2\Ek.

Si nous introduisons alors :

E :=

[∞ k=1

E_k,

nous trouvons quex7−→f_k^y(x)est mesurable pour touty∈R^d2\E et pour toutk>1.

De plus, m(E) = 0, et comme f_k^y −→

k→∞ f^y de manière croissante, le Théorème de convergence monotone implique que pour touty6∈E, on a :

Z

R^d1

fk(x, y)dx −→

k→∞

Z

R^d1

f(x, y)dx.

Ensuite, grâce à(ii)du Théorème 1.3 de Fubini, pour toutk>1, la fonction : y 7−→

Z

R^d1

f_k(x, y)dx

est mesurable comme limite presque partout de fonctions mesurables, et la fonction : y 7−→

Z

R^d1

f(x, y)dx

est aussi mesurable.

Une autre application du théorème de convergence monotone donne alors : Z

R^d2

Z

R^d1

f_k(x, y)dx

dy −→

k→∞

Z

R^d2

Z

R^d1

f(x, y)dx

dy.

Enfin, grâce à(iii)du Théorème 1.3 de Fubini, nous savons que : Z

R^d2

Z

R^d1

f_k(x, y)dx

dy = Z

R^d

f_k.

Une dernière application du théorème de convergence monotone àf_kdonne aussi : Z

R^d

f_k −→

k→∞

Z

R^d

f.

La synthèse entre ces trois derniers résultats achève la démonstration du théorème de To-

nelli.

Corollaire 2.2. Si E ⊂ R^d1 ×R^d2 est un sous-ensemble mesurable, alors pour presque touty∈R^d2, l’ensemble-tranche :

E^y :=

x∈R^d1: (x, y)∈E , est mesurable dansR^d1. De plus, la fonction :

y 7−→ m E^y est mesurable, et on a :

m(E) = Z

R^d2

m E^y dy.

Démonstration. Cet énoncé est une conséquence immédiate de (i) du Théorème 2.1 de Tonelli appliqué à la fonction1_E. Bien entendu, il existe un résultat symétrique concernant

lesx-tranches dansR^d2.

Nous avons donc établi l’énoncé naturel que si E ⊂ R^d1 ×R^d2 est mesurable, alors pour presque touty∈ R^d2, sony-trancheE^y est mesurable dansR^d1, et pour presque tout x ∈ R^d1, sax-tranche Ex est aussi mesurable dansR^d2. On pourrait être tenté de croire que la réciproque est vraie, mais il n’en est rien.

Exemple 2.3. Étant donné un ensemble non mesurableN ⊂ R, si nous introduisons le produit :

E := [0,1]×N

⊂ R×R, alors nous voyons que sesy-tranches valent :

E^y =

[0,1] lorsque y∈N ,

∅ lorsque y 6∈N . Ainsi, cesE^y sont mesurables pour touty.

Cependant, si E lui-même était mesurable, alors le corollaire que nous venons de dé- montrer — et qui est un corollairevrai ! — impliquerait que, pour presque toutx∈[0,1],

3.Mesurabilité des ensembles-produits 11

lesx-tranches :

E_x =

y ∈R: (x, y)∈[0,1]×N

= {y∈N }

= N ,

seraient mesurables, ce qui n’est manifestement pas le cas ! Un exemple plus frappant apparaît dans l’Exercice 7.

3. Mesurabilité des ensembles-produits

Si on découpe un sous-ensembleE ⊂R^d1×R^d2en tranches verticalesE_xet horizontales E^y, les choses s’avèrent très simples lorsqueEs’adapte à la structure-produit.

Définition 3.1. Un ensembleE ⊂R^d1 ×R^d2 est unensemble-produitlorsque : E =E₁×E₂,

en termes de deux sous-ensemblesE1 ⊂R^d1 etE2 ⊂R^d2.

L’objectif de cette section est de montrer que si E₁ et E₂ sont mesurables, alors leur produitE₁×E₂est aussi mesurable. Deux lemmes seront nécessaires.

Lemme 3.2. Si E = E1 ×E2 ⊂ R^d1 × R^d2 est un ensemble-produit mesurable dans R^d1+d2 =R^d, et si :

m^∗ E2

> 0,

alorsE₁est mesurable dansR^d1.

Démonstration. Grâce au Théorème 1.3 de Fubini, nous savons que pour presque touty∈ R^d2, la fonction-tranche :

x 7−→ 1^y_E1×E2(x) = 1E1(x)1E2(y) est mesurable.

Mais nous affirmons qu’il existe en fait uny∈E₂, pas seulement dansR^d2, tel que cette fonction dexest mesurable. Alors pour un tely, on aura :

1_E1×E2(x, y) = 1_E1(x), et alors, on obtiendra bien queE₁ est mesurable.

Pour montrer l’existence d’un tely ∈E₂, utilisons l’hypothèsem^∗(E₂)>0. NotonsF l’ensemble desy∈R^d2 tels que la trancheE^yest mesurable. Il s’agit donc de montrer que E₂∩F 6=∅. Nous savons en tout cas quem(F^c) = 0.

Or nous pouvons trivialement écrire : E₂ = E₂∩F

∪ E₂∩F^c , d’où par sous-additivité dem^∗:

0 < m^∗ E₂ 6 m^∗ E₂∩F

+m^∗ E₂∩F^c

= m^∗ E₂∩F ,

et puisque cette mesure extérieure est strictement positive, on a bienE₂∩F 6=∅.

Lemme 3.3. SiE₁ ⊂R^d1 etE₂ ⊂R^d2 sont deux sous-ensembles quelconques, alors : m^∗ E₁×E₂

6 m^∗ E₁

·m^∗ E₂ , avec la convention locale que∞ ·0 = 0· ∞= 0.

Démonstration. Soitε >0arbitrairement petit. Par définition dem^∗, on peut trouver deux familles infinies de cubes fermés :

Qk ∞

k=1 ∈ R^d1 et

Q⁰_{`</sub> <sup>∞</sup><sub>`=1} ∈ R^d2, recouvrant :

E₁ ⊂ [^∞

k=1

Q_k et E₂ ⊂ [^∞

`=1

Q⁰_`, et satisfaisant :

X∞ k=1

Q_k 6 m^∗ E₁

+ε et

X∞

`=1

Q⁰_` 6 m^∗ E₂ +ε.

Alors en passant aux produits, il est clair que : E₁ ×E₂ ⊂

[∞ k=1

[∞

`=1

Q_k×Q⁰_`,

et la sous-additivité dénombrable de la mesure extérieure donne : m^∗ E₁×E₂

6 X∞ k=1

X∞

`=1

Q_k×Q⁰_`

= X∞

k=1

Q_k X^∞

`=1

Q⁰_` 6

m^∗ E₁

+ε m^∗ E₂ +ε

.

Naturellement, il s’agit de développer ce dernier produit numérique — mais attention ! Si jamaism^∗(E1) =∞ou sim^∗(E2) =∞, pourra-t-on dire que :

∞ ·ε= O(ε) ? Non, certainement pas !

Aussi, commençons par traiter le cas ‘générique’ où : m^∗ E₁

< ∞ et m^∗ E₂

< ∞.

Alors dans ce cas, on peut effectivement développer le produit en question et obtenir : m^∗ E₁×E₂

6 m^∗ E₁

m^∗ E₂

+ O(ε), ce qui démontre bien l’inégalité voulue.

Ensuite, lorsque0< m^∗(E₁)<∞etm^∗(E₂) =∞, ou lorsque, en échangeant les rôles, m^∗(E₁) = ∞ et 0 < m^∗(E₂) < ∞, on a toujours m^∗(E₁)m^∗(E₂) = ∞, et l’inégalité affirmée par le lemme est alors satisfaite sans effort.

Il reste donc le dernier cas subtil oùm^∗(E₁) = 0tandis quem^∗(E₂) = ∞, logiquement équivalent à son symétrique m^∗(E1) = ∞, m^∗(E2) = 0. Il s’agit alors de faire voir que m^∗(E1×E2) = 0.

En effet, en intersectantE₂ avec des boules fermées de taille grandissante : E_2,N :=E₂∩

|y|6N (N∈N),

3.Mesurabilité des ensembles-produits 13

on se ramène àm^∗(E_2,N)<∞, et donc ce qui a déjà été vu s’applique pour donner : m^∗ E₁×E_2,N

6 m^∗(E₁)

◦m^∗(E_2,N)

= 0.

Enfin, comme la suite d’ensembles{E₁ ×E_2,N}^∞N=1 tend en croissant versE₁ ×E₂, on a bienm^∗(E₁×E₂) = lim

N→∞m^∗(E₁×E_2,N) = 0.

Théorème 3.4. Soient deux sous-ensembles mesurables : E₁ ⊂R^d1 et E₂ ⊂R^d2.

Alors leur produitE :=E₁×E₂ est un sous-ensemble mesurable deR^dde mesure : m(E) = m(E1)·m(E2),

toujours avec la convention locale∞ ·0 = 0· ∞= 0.

Démonstration. CommeE₁etE₂sont mesurables, il existe grâce à un théorème vu dans le chapitre qui précède deuxG_δ-ensembles :

E₁ ⊂G₁ ⊂R^d1 et E₂ ⊂G₂ ⊂R^d2, satisfaisant :

0 =m^∗ G₁\E₁) et 0 = m^∗ G₂\E₂).

Mais alors, l’ensemble-produitG:=G₁×G₂ est mesurable dansR^d1 ×R^d2 (exercice), et l’on peut écrire :

G\E = G₁×G₂

E₁×E₂ 6

(G₁\E₁)×G₂

∪

G₁×(G₂\E₂ . Grâce au lemme qui précède, nous avons :

m^∗

(G₁\E₁)×G₂

= 0 = m^∗

G₁×(G₂\E₂ ,

d’où découlem^∗(G\E) = 0, ce qui montre (exercice mental) queEest bien mesurable.

Enfin, le Corollaire 2.2 peut être appliqué, et comme la fonctiony7−→m(E^y)s’identifie à la fonction :

y 7−→ m(E₁)·1_E2(y), et on obtient bien :

m(E) = Z

R^d2

m(E₁)·1_E2(y)

= m(E₁)·m(E₂),

ce qui conclut.

Corollaire 3.5. Soit f une fonction mesurable sur R^d1. Alors la fonction feprolongeant trivialementf au produitR^d1 ×R^d2 qui est définie par :

fe(x, y) := f(x), est aussi mesurable.

Démonstration. On peut supposer que f est à valeurs réelles. Pour a ∈ R quelconque, l’ensemble de sous-niveau :

E₁ :=

x∈R^d1: f(x)< a est par définition mesurable. Mais puisque :

(x, y)∈R^d1 ×R^d2: fe(x, y)< a = E₁×R^d2,

le théorème démontré à l’instant montre bien que{(x, y) : fe(x, y) < a}est mesurable, ce

qui conclut.

Pour terminer en beauté ce chapitre, nous allons enfin établir l’interprétation géomé- trique tant attendue de l’intégrale de Lebesgue, que nous connaissons certes tous déjà puisque la théorie de l’intégrale de Cauchy-Riemann-Darboux nous l’a déjà amplement fait voir, mais qui va s’éclairer ici d’un jour nouveau et d’une généralité nouvelle.

Nous avons en effet à l’esprit ici que la valeur R

f de l’intégrale de Lebesgue d’une fonction positivef: R^d−→R+est l’aire généralisée,(d+1)-dimensionnelle, qui se trouve

‘sous le graphe’ def.

Théorème 3.6. Soit une fonction mesurable à valeurs réelles positives : f: R^d −→ R+,

et soit son hypographe :

Af :=

(x, y)∈R^d×R: 06y 6f(x) .

Alors la fonction f est mesurable sur R^d si et seulement si son hypographe Af est un sous-ensemble mesurable deR^d+1.

Dans ce cas : Z

R^d

f(x)dx = m(Af).

Démonstration. Suppsonsf mesurable et démontrons queAf est mesurable. Le corollaire vu à l’instant assure alors que la fonction :

F(x, y) := y−f(x)

est mesurable surR^d+1. On en déduit sans délai que que l’hypographe : Af ={y>0} ∩ {F 60}

est effectivement mesurable.

Réciproquement, supposonsAf mesurable. Observons que pour toutx∈R^d1, la tranche verticale :

Af,x =

y ∈R: (x, y)∈Af

est le segment fermé :

Af,x = [0, f(x)]

⊂ [0,∞].

Le Corollaire 2.2 (dans lequel on échange à l’avance le rôle dexavec celui dey) montre alors la mesurabilité de la fonction :

x 7−→ m Af,x

=f(x),

3.Mesurabilité des ensembles-produits 15

et il montre aussi que :

m(Af) = Z

1_Af(x, y)dxdy

= Z

R^d1

m Af,x

= Z

R^d1

f(x)dx,

ce qu’il fallait faire voir.

Terminons ce chapitre par un résultat simple et utile.

Proposition 3.7. Sif est une fonction mesurable surR^d, alors la fonction : fe(x, y) := f(x−y)

est mesurable surR^d×R^d.

Démonstration. Pour a ∈ R quelconque, l’ensemble E = {z ∈ R^d: f(z) < a} est par hypothèse mesurable. Il s’agit alors de montrer que l’ensemble :

Ee :=

(x, y)∈R^d×R^d: fe(x, y)< a

=

(x, y) : x−y∈E

est mesurable. Or nous affirmons que cela est vrai, plus généralement, pour tout sous- ensemble mesurableE ⊂ R^d. Rappelons que tout ensemble mesurable E s’écrit comme différence :

E =G\N,

entre unG_δ-ensembleG⊃Eet un ensembleN =G\Ede mesure0.

En effet, lorsqueE =Oest un ouvert,Ee =Oeest aussi ouvert, donc mesurable. Lorsque E =G=T_∞

n=1Onest intersection dénombrable d’ouvertsOn,i.e.est unG_δ-ensemble : Ee=

\∞ n=1

Oe_n

est aussi unG_δ-ensemble dansR^d×R^d.

Il reste donc à établir que pourE =N de mesure nulle,Ee est encore de mesure nulle, mais cela n’est pas immédiat.

Si doncm(E) = 0, il existe une suite d’ouverts On ⊃ E tels quem(On) −→

n→∞ 0. Pour N >1entier, introduisons les cylindres fermés dans l’espace desy:

C_N :=

(x, y)∈R^d×R^d: |y|6N , posons :

EeN := Ee∩CN

⊂ On∩C_N,

et calculons en utilisant le Théorème 1.3 de Fubini : m Oen∩C_N

= Z

1_On(x−y)1_CN(y)dydx

=

Z Z

1_On(x−y)dx

1_CN(y)dy

= m(On)·m(C_N),

la dernière ligne utilisant l’invariance de la mesure de Lebesgue par translation. PourN >1 fixé, nous en déduisons que :

m Ee_N

6 m Oen∩C_N

= m(On)·m(C_N) −→

n→∞ 0, ce qui montre que :

m Ee_N

= 0, et commeEe_N −→

N→∞Eeen croissant dans l’espaceR^d×R^don trouve : m Ee

= lim

N→∞m Ee_N

= 0,

ce qui termine la démonstration.

4. Exercices

Exercice 1. Soit une suite(bk)ⁿ_k=0de nombres réels strictement positifs dont la série infinie converge : X∞

k=0

bk =: s < ∞.

On note ses sommes partielles d’ordre un entiern∈Nquelconque : an:= X

06k6n

bk. Soit la fonctionf:R²−→Rdéfinie par :

f(x, y) =







a_n lorsque n6x < n+ 1, n6y < n+ 1, avec n∈N,

− an lorsque n6x < n+ 1, n+ 16y < n+ 2, avec n∈N,

0 ailleurs.

(a)Montrer que toutes les fonctions-tranchesf^yetfxsont intégrables, puis que : Z

fx(y)dy = 0 = Z Z

f(x, y)dy

dx.

(b)Montrer queR

f^y(x)dx=a₀pour06y <1, et plus généralement, que : Z

f^y(x)dx = an−an−1 (n6y < n+ 1;n>1). (c)Montrer que la fonctiony7−→R

f^y(x)dxest intégrable sur[0,∞[, avec : Z Z

f(x, y)dx

dy = s.

(d)Montrer que : Z

R×R

f(x, y)dxdy = ∞.