3 Théorèmes de Fubini et Tonelli

Université Paris-Dauphine 2018-2019

Cours “Intégrale de Lebesgue et Probabilités” Septembre 2018

Chapitres 5 - Théorèmes de Fubini et de changement de variables

Table des matières

1 Tribu produit 1

2 Produit de deux mesures σ-finies 2

3 Théorèmes de Fubini et Tonelli 3

4 Mesure image 4

5 Le théorème de changement de variables 5

6 Applications 7

6.1 Intégration par parties . . . 7 6.2 Coordonnées polaires dans le plan . . . 8 6.3 Calcul du volume de la boule unité . . . 9

1 Tribu produit

Dans cette section, on se donne(E,A)et(F,B)deux espaces mesurables.

Définition 1.1 On appelle tribu produit la tribu A ⊗B de E×F engendrée par les rectangles élémentaires ou, de manière équivalente, par l’algèbre des ensembles élémentaires.

Remarque 1.2 On peut définir de la même manière la tribu sur un espace produit de plus de 2 espaces mesurables. Pour une famille finie (Ei,Ai), 1 ≤ i ≤n, d’espaces mesurables, on note (E1×. . .×En,A1⊗. . .⊗An)l’espace mesurable produit, où la tribu produitA1⊗. . .⊗An est la tribu engendrée par les rectangles élémentaires. Pour une famille quelconque(Et,At)_t∈T d’espaces mesurables, on note(Q

t∈TEt,⊗_t∈TAt)l’espace mesurable produit, où la tribu produit⊗_t∈TAtest la tribu engendrée par les cylindres.

Proposition 1.3 Soit C ∈ A ⊗B. Les sections Ca := {y ∈ F; (a, y) ∈ C} d’abscisse a ∈ E appartiennent àB et les sectionsC^b:={x∈E; (x, b)∈C} d’ordonnéeb∈F appartiennent àA. Preuve de la Proposition 1.3. SoitC l’ensemble des éléments deA ⊗Bdont toutes les sections d’abscisse donnée appartiennent àB. On vérifie aisément queC est une tribu. De plus,C contient les rectangles élémentaires puisqueCa :={y∈F; (a, y)∈A×B}=B ∈Bsia∈AetCa=∅ ∈B

sia /∈A. On conclut queC =A ⊗B. tu

Lemme 1.4 Soit G l’algèbre des réunions finies de rectangles de E×F. Tout élément de G est réunion finie de rectangles mesurables deux à deux disjoints.

Preuve du Lemme 1.4. Montrons le résultat par récurrence sur le nombrendes réunions. Pour le casn= 1, il n’y a rien à démontrer. On suppose cela vrai au rangnet on considère une réunion den+ 1 rectangles :

C:=

n

[

i=0

Ai×Bi.

D’après l’hypothèse de récurrence, on a donc C = [^p

k=1

A⁰_k×B⁰_k

∪(A₀×B₀)

= [^p

k=1

(A⁰_k×B_k⁰)\(A0×B0)

∪(A0×B0), avecA⁰_k×B_k⁰ sont deux à deux disjoints. On observe que

(A⁰_k×B_k⁰)\(A0×B0) = [(A⁰_k\A0)×B_k⁰]∪[(A⁰_k∩A0)×B⁰_k\B0],

de sorte que Cest la réunion de2p+ 1 rectangles disjoints. tu Définition 1.5 Soitf :E×F →Rune fonction. On appelle section d’abscissex∈El’application fx:F →R,y7→fx(y) =f(x, y)et on appelle section d’ordonnéey∈F l’application f^y:E→R, x 7→ f^y(x) = f(x, y). Lorsque f = 1C, on a fx = 1C_x et f^y = 1C^y. Par conséquent, si f est mesurable positive, f est limite croissante de fonctions étagées et il en est de même de fx etf^y, qui sont donc mesurables.

2 Produit de deux mesures σ-finies

Dans cette section, on se donne(E,A, µ)et (F,B, ν)deux espaces mesurésσ-finis.

Théorème 2.1 Il existe une mesure unique λsur la tribuA ⊗B telle que λ(A×B) =µ(A)ν(B), ∀A×B∈A ⊗B,

appelée mesure produit des mesures µ et ν, et notée λ := µ⊗ν. Si C ∈ A ⊗B, C_x := {y ∈ F; (x, y) ∈ C} la section d’abscisse x ∈ E et C^y := {x ∈ E; (x, y) ∈ C} la section d’ordonnée y∈F, alors

λ(C) = Z

E

ν(Cx)µ(dx) = Z

F

µ(C^y)ν(dy).

Preuve du Théorème 2.1. Nous ne présentons la preuve que le cas de mesures finies, le cas de mesuresσ-finies s’en déduit facilement (et est donc laissé en exercice).

Pour toutC∈A ⊗Bet toutx∈E, l’ensembleCxappartient àBet doncν(Cx)est bien défini.

Montrons quex7→ν(Cx)est mesurable. Notons M ⊂A ⊗B la classe de tels ensembles. D’une part, la classe desG des réunions finies de rectangles satisfaitG ⊂M, puisque siCest une réunion finie (disjointe d’après le Lemme 1.4) de rectanglesA_i×B_i, alors

ν(C_x) =X

i

ν(B_i)1_x∈Ai

est étagée, donc mesurable. D’autres part, la famille de partiesM est une classe de monotone. En effet, si(C_n)est une suite croissante deM de limiteCalors(x7→ν(C_nx))est une suite croissante de fonctions mesurables de sorte que sa limitex7→ν(C_x)est encore mesurable. Même chose pour

une suite décroissante puisqueν est par hypothèse une mesure finie. D’après le “lemme des classes monotones” on aM =A ⊗B. On définit alors

λ(C) :=

Z

ν(C_x)dµ(x).

Il est clair que λ(∅) = 0et que si (Cn) est une suite d’éléments disjoints deux à deux deA ⊗B d’unionC, on a

λ(C) = Z

ν [

n

Cn

x

dµ(x) = Z

ν [

n

(Cn)x dµ(x)

= Z

X

n

ν((Cn)x)dµ(x) =X

n

Z

ν((Cn)x)dµ(x) =X

n

λ(Cn),

où on a utilisé laσ-additivité deν et le théorème III-4.1 d’inversion du signe intégrale (selonµ) et du signe somme. En particulier, on a

λ(A×B) = Z

ν(B)1_x∈Adµ(x) =µ(A)ν(B).

On démontre de la même manière que l’application A ⊗B→[0,∞], C7→λ⁰(C) :=

Z

µ(C^y)dν(y)

définit une mesure et λ⁰(A×B) = µ(A)ν(B) pour tout rectangle A×B ∈ A ⊗B. D’après le lemme d’unicité des mesures, la mesureλest unique puisque identifié sur l’algèbre des rectangles

qui engendre la tribu produit, et en particulierλ⁰=λ. tu

3 Théorèmes de Fubini et Tonelli

Dans cette section, on se donne (E,A, µ) et (F,B, ν) deux espaces mesurés σ-finis et on note λ:=µ⊗ν.

Théorème 3.1 (de Fubini-Tonelli) Soitf :E×F →[0,+∞]une fonction mesurable surA ⊗ B. Pour tout x∈E la section fx est ν-mesurable, pour tout y∈F la sectionf^y est µ-mesurable et les applications

x7→

Z

F

f_x(y)dν(y), y7→

Z

E

f^y(x)dµ(x) sont µ-messurable etν-mesurable. Enfin, on a

Z

f dλ= Z

E

hZ

F

fx(y)dν(y)i

dµ(x) = Z

F

hZ

E

f^y(x)dµ(x)i

dν(y). (3.1)

Preuve du Théorème 3.1. Le résultat est vrai pour des fonctions caractéristiques d’après le Théo- rème 2.1. Par linéarité, il est donc également vrai pour les fonctions étagées. Pour une fonction positive f, on introduit une suite croissante (fn) de fonctions étagées de limite f, et d’après le Théorème de Beppo Levi, on a

Z

F

f_x(y)dν(y) = lim

n→∞

Z

F

(f_n)_x(y)dν(y), Z

E

f^y(x)dµ(x) = lim

n→∞

Z

E

(f^y)_n(x)dµ(x), qui sont donc des fonctions mesurables (au sens de A et B respectivement). D’après le Théo- rème 2.1, on a (3.1) pour les fonctionsfn et on en déduit (3.1) pour la fonctionf en utilisant trois fois le Théorème de Beppo Levi afin de passer à la limite dans les trois intégrales. tu

Théorème 3.2 (de Tonelli) Soit f : E×F → R une fonction mesurable sur A ⊗B. On a f ∈ L¹(λ)si et seulement si l’une des deux (et donc les deux) conditions ci-dessous est réalisée

I:=

Z

E

hZ

F

|f(x, y)|dν(y)i

dµ(x)<∞

ou

J:=

Z

F

hZ

E

|f(x, y)|dµ(x)i

dν(y)<∞.

On a alors

Z

|f|dλ=I=J.

Preuve du Théorème 3.2. On applique le Théorème 3.1 de Fubini-Tonelli à la fonction mesurable

et positive|f|. tu

Théorème 3.3 (de Fubini) Soitf ∈ L¹(E×F,A ⊗B, λ). Alors :

(1)f_x∈ L¹(ν)pourµpresque toutx∈E etf^y∈ L¹(µ)pourν presque touty∈F. (2)I∈ L¹(µ)et J∈ L¹(ν)en définissant

I(x) :=

Z

fxdν sifx∈ L¹(ν), I(x) := 0 sinon;

J(y) :=

Z

f^ydµsif^y ∈ L¹(µ), I(x) := 0sinon.

(3) Finalement

Z

f dλ= Z

E

hZ

F

f(x, y)dν(y)i

dµ(x) = Z

F

hZ

E

f(x, y)dµ(x)i dν(y).

Preuve du Théorème 3.3. On applique le Théorème 3.1 de Fubini-Tonelli aux fonctions mesurables

et positivesf±. tu

4 Mesure image

Définition 4.1 Soient(E,A),(F,B)deux espaces mesurables,µune mesure surE etϕ:E→F une application mesurable. On appelle image deµ parϕla mesureν =ϕ_]µdéfinie sur la tribu B par

ν(B) :=µ(ϕ⁻¹(B)), ∀B∈B.

En particulier, on aψ](ϕ]µ) = (ϕ◦ψ)]µetµ1≤µ2 impliqueϕ]µ1≤ϕ]µ2.

Proposition 4.2 On se place dans le cadre de la Définition 4.1 et on considère une fonction B-mesurable f. Sif est positive, on a

Z

F

f dν= Z

E

f ◦ϕ dµ. (4.1)

Si f est réelle, on af ∈ L¹(ν)si, et seulement si, f◦ϕ∈L¹(µ), et dans ce cas l’identité (4.1) a lieu.

Preuve de la Proposition 4.2. Si f =1B avecB∈B, on a Z

E

f◦ϕ dµ= Z

E

1_ϕ(x)∈Bdµ=µ(ϕ⁻¹(B)) = Z

B

dν= Z

F

f dν.

Par additivité de la mesure et le théorème de convergence monotone de Beppo Levi, on déduit (4.1) pourf mesurable et positive. Le cas d’une fonction à valeurs réelles s’en déduit aisément. tu

Proposition 4.3 Soient (E,A), (F,B) deux espaces mesurables, µ une mesure sur E, p une fonction mesurable positive sur E et ϕ:E →F un isomorphisme d’espace mesurable (i.e. ϕ est bijective et mesurable etϕ⁻¹ est mesurable). Alors,ϕ](pµ) = (p◦ϕ⁻¹) (ϕ]µ).

Preuve de la Proposition 4.3. On poseν=ϕ]µ. On a alors ϕ](pµ)(B) = (pµ)(ϕ⁻¹(B)) =

Z

E

1_ϕ−1(B)(x)p(x)dµ(x) = Z

E

[1Bp◦ϕ⁻¹]◦ϕ dµ

= Z

E

1B(y)p◦ϕ⁻¹(y)dν(y) = (p◦ϕ⁻¹ν)(B),

pour toutB∈B. tu

5 Le théorème de changement de variables

Théorème 5.1 (de changement de variables) Soient U et V deux ouverts difféomorphes de Rⁿ et ϕunC¹-difféomorphisme deU sur V. Soitf :V →Rune fonction borélienne.

(1) Si f ≥0alors

Z

V

f(y)dy= Z

U

f ◦ϕ(x)|Jϕ(x)|dx (5.1)

(que les deux membres soient finis ou infinis) oùJ_ϕ désigne le JacobienJ_ϕ(x) :=detDϕ(x).

(2)f ∈ L¹(V)si, et seulement si,f◦ϕ|J_ϕ| ∈ L¹(U), et alors l’identité (5.1) a lieu.

La preuve du Théorème 5.1 est assez technique et nous n’en présentons que les grandes lignes.

Lemme 5.2 Siµest une mesure surB(R^d)invariante par translation alors il existeC∈R+ telle queµ=C λ.

Preuve du Lemme 5.3. Pour simplifier on ne présente la démonstration que dans le casd= 1. Par hypothèse d’invariance par translastion, on a

C=:µ([0,1[) =

n−1

X

k=0

µ(k/n+ [0,1/n[) =nµ([0,1/n[).

Pour touta >0, on écrit alors µ [0,[na]

n [

≤µ([0, a[)≤µ [0,[na] + 1 n [

.

Pour le terme de gauche et toujours par hypothèse d’invariance par translation, on a µ [0,[na]

n [

= [na]µ [0,1 n[

= [na]

n C −→

n→∞aC=Cλ([0, a[).

On obtient également que le terme de droite tend vers la même limite. Il s’ensuit queµ([0, a[) = Cλ([0, a[). On en déduitµ([a, b[) =Cλ([a, b[) encore une fois par invariance par translation, puis queµ=Cλpuisque les segments engendrent la tribu borélienne. tu Lemme 5.3 Siuest un automorphisme (application linéaire bijective) deR^d, l’image de la mesure de Lebesgue λparuestu]λ=λ/|detu|.

Ebauche de la preuve du Lemme 5.3. • On commence par observer que u]λ est une mesure invariante par translation. En effet, pour toutA∈B(R^d)eta∈R^d, on a

u]λ(a+A) =λ(u⁻¹(a+A)) =λ(u⁻¹(a) +u⁻¹(A)) =λ(u⁻¹(A)) =u]λ(A),

où on a utilisé la définition de la mesure image et l’invariance par translation de la mesure de Lebesgue. Grâce au Lemme 5.3, on en déduit qu’il existe une constanteCu≥0telle queu]λ=Cuλ.

• On considère le cas où u = Q ∈ O(d) est une matrice orthogonale. On a alors Q(B) = B pour la boule unité B de R^d puisque Q(B) ⊂ B (kQxk = kxk ≤ 1, ∀x ∈ B) et de même B=Q⁻¹◦Q(B)⊂Q(B). On en déduit

K_Qλ(B) = (Q_]λ)(B) =λ(Q⁻¹(B)) =λ(B)>0, de sorte que K_Q = 1 =|detQ|.

• On considère le cas oùu=D= (λ_i)_1≤i≤d est une matrice diagonale définie positive. On a alors K_Dλ([0,1]^d) = (D_]λ)([0,1]^d) =λ(D⁻¹([0,1]^d) =λ

d

Y

i=1

[0,1/λ_i]) =

d

Y

i=1

1/λ_i

λ([0,1]^d)>0, de sorte que KD=Qd

i=11/λi= 1/detD.

• Pour traiter le cas général, on accepte que toute matrice inversible M s’écrit sous la forme M = SQ où S est une matrice définie positive et Q est une matrice orthogonale. On rappelle également qu’une matrice définie positiveSs’écrit sous la formeS=R⁻¹DRoùDest une matrice diagonale définie positive et R est une matrice orthogonale. D’après les trois étapes précédentes, on a alors

K_Mλ=R⁻¹_] (D_](R_](Q_]λ))) = [|detQ|(detR)²detD]⁻¹λ,

de sorte que KM = 1/detD= 1/|detM|. tu

Ebauche de la preuve du Théorème 5.1. Etape 1. Il suffit de montrer

λ(A)≤ϕ](|Jϕ|λ)(A)pour toutAcube deV de côtés parallèles aux axes. (5.2) En effet, puisque les cubes engendrent la tribu borélienne, on aurait alors la même inégalité pour tout borélien A deV et donc λ≤ϕ](|Jϕ|λ). La même preuve conduirait à λ≤(ϕ⁻¹)](|J_ϕ⁻¹|λ).

D’après la Proposition 4.3, on a donc

λ≤(ϕ⁻¹)](|Jϕ⁻¹|λ) = [|J_ϕ⁻¹| ◦ϕ] (ϕ⁻¹)]λ, puis

λ ≤ ϕ_](|J_ϕ|λ) = [|J_ϕ| ◦ϕ⁻¹]ϕ_]λ

≤ [|Jϕ| ◦ϕ⁻¹]ϕ][(|J_ϕ⁻¹| ◦ϕ) (ϕ⁻¹)]λ]

≤ [|J_ϕ| ◦ϕ⁻¹] [|J_ϕ⁻¹| ◦ϕ◦ϕ⁻¹]ϕ_][(ϕ⁻¹)_]λ]

= |Jϕ◦ϕ⁻¹J_ϕ⁻¹|λ.

On observe enfin que

Jϕ◦ϕ⁻¹J_ϕ⁻¹=det[(Dϕ)◦ϕ⁻¹Dϕ⁻¹]] =detI= 1,

ce qui termine la preuve de l’égalité λ =ϕ](|Jϕ|λ). On déduit alors (5.1), et donc le point (1), grâce à la Proposition 4.2. Le point (2) s’en déduit immédiatement.

Etape 2. Montrons que pourθ∈C¹(V)et Qun cube deV de côtés parallèles aux axes, on a λ(θ(Q))≤ kDθk^d_L∞(Q)λ(Q),

où pour une matriceM = (a_ij)∈M_d(R), on pose kMk:= sup

1≤i≤d d

X

j=1

|a_ij|.

En effet, pourx, y∈Q, on a

|θi(y)−θi(x)|=

Z 1

0 d

X

j=1

∂jθi((1−t)x+ty) (yj−xj)dt ≤sup

z∈Q

|∂jθi(z)|δ(Q),

oùδ(Q) désigne la longueur des arrêtes de Q. Il s’ensuit que θ(x) et θ(y)appartiennent à même cube dont les arrêtes sont de longueurs inférieures ou égales àkDθkL^∞(Q)δ(Q).

Etape 3. Nous montrons maintenant (5.2) pour un cubeAdeV. DécomposonsAenN^dcubesQi

égaux. Pouryi∈Qi, l’étape 2 appliquée à la fonctionx7→(Dϕ(yi))⁻¹ϕ(x), on a λ((Dϕ(yi))⁻¹ϕ(Qi))≤ k(Dϕ(yi))⁻¹Dϕk^d_L∞(Q)λ(Q)

D’après la Définition 4.1 et le Lemme 5.3, on a

λ((Dϕ(yi))⁻¹ϕ(Qi)) = (Dϕ(yi)]λ)(ϕ(Qi)) =|Jϕ(yi)|⁻¹λ(ϕ(Qi).

Ensemble, on en déduit donc

λ(ϕ(Qi))≤ k(Dϕ(yi))⁻¹Dϕk^d_L∞(Qi)|Jϕ(yi)|λ(Q).

On observe que

(Dϕ(yi))⁻¹Dϕ(x)−I= (Dϕ(yi))⁻¹(Dϕ(x)−Dϕ(yi)) =O(ω(δ(Qi))

où ω désigne le module de continuité de la fonction Dϕet δ(Q_i) = δ(A)/N. De plus, grâce à la continuité deJ_ϕ, on peut choisiry_i∈Q_i de sorte que

|Jϕ(yi)|λ(Qi) = Z

Q_i

|Jϕ(x)|dλ(x).

Des trois dernières (in)équations, on tire λ(ϕ(A)) ≤ X

i

λ(ϕ(Q_i))≤X

i

(1 +C/N)^d Z

Q_i

|Jϕ(x)|dλ(x)

≤ (1 +C/N)^d Z

A

|Jϕ(x)|dλ(x).

On obtient

λ(ϕ(A))≤ Z

A

|J_ϕ(x)|dλ(x),

en laissant tendreN → ∞, et cette dernière inégalité est précisément (5.2). tu

6 Applications

6.1 Intégration par parties

Legallp63 Soientfetgdeux fonctions mesurables deRdansR“localement intégrables" (intégrables sur les ensembles[−n, n]pour toutn∈N). Pour x∈R, on pose

F(x) = Z x

0

f(t)dt:=

Z

[0,x]

f(t)dt si x >0, :=− Z

[x,0]

f(t)dt si x <0, et on définit de la même manière

G(x) :=

Z x 0

g(t)dt.

Pour toutx < y, on a

F(y)G(y) =F(x)G(x) + Z y

x

f(t)G(t)dt+ Z y

x

F(t)g(t)dt, (6.1) ce qui correspond à la formule habituelle d’intégration par parties

h F Giy

x

= Z y

x

F⁰(t)G(t)dt+ Z y

x

F(t)G⁰(t)dt, lorsqueF, G∈C¹(R;R). Il est clair que la formule (6.1) est équivalente à

Z y x

f(t)(G(t)−G(x))dt = Z y

x

f(t)G(t)dt−(F(y)−F(x))G(x)

= F(y)G(y)− Z y

x

F(t)g(t)dt−F(y)G(x)

= Z y

x

(F(y)−F(t))g(t)dt Pour établir cette dernière inégalité, on peut écrire

Z y x

f(t)(G(t)−G(x))dt = Z y

x

f(t)Z t x

g(s)ds dt

= Z y

x

Z y x

f(t)1s≤tg(s)ds dt

= Z y

x

Z y x

f(t)1_s≤tg(s)dt ds

= Z y

x

g(s)Z y s

f(t)dt ds

= Z y

x

g(s)(F(y)−F(s))ds.

A la troisième ligne on a utilisé le théorème de Fubini à la fonction (s, t) 7→ f(t)1_s≤tg(s) en observant que

Z y x

Z y x

|f(t)1s≤tg(s)|dsdt≤ Z y

x

Z y x

|f(t)g(s)|dsdt= Z y

x

|f(t)|dt Z y

x

|g(s)|ds <∞,

de sorte que (s, t)7→f(t)1_s≤tg(s)∈ L¹([x, y]×[x, y]).

6.2 Coordonnées polaires dans le plan

La fonction deϕ:U :=]0,∞[×]0,2π[→ V :=R²\(R+× {0}),(r, θ)7→ϕ(r, θ) = (rcosθ, rsinθ), est clairement de classeC^∞, bijective et

detDϕ(r, θ) =det

cosθ −rsinθ sinθ rcosθ

=r >0,

de sorte que ϕest un difféomorphisme d’après le théorème d’inversion locale. Pour toute fonction f :R²→R+ mesurable, on déduit du fait queR+× {0} est de mesure de Lebesgue nulle dansR² et du Théorème 5.1 de changement de variables que

Z

R²

f(x)dx= Z

V

f(x)dx= Z

U

f(rcosθ, rsinθ)r drdθ.

En particulier, sif(x) =F(|x|)est une fonction radiale, on a Z

R²

F(|x|)dx= Z ∞

0

Z 2π

0

F(r)r drdθ= 2π Z ∞

0

F(r)r dr.

On obtient en particulier que la surface du disque unitéD est λ₂(D) =

Z

R²

1_|x|≤1dx= 2π Z ∞

0

1_r≤1r dr=π.

6.3 Calcul du volume de la boule unité

On note B_d la boule unité fermée de R^d, λ_d la mesure de Lebesgue sur R^d et γ_d := λ_d(B_d) la mesure de la boule unité. On observe que d’après le Lemme 5.3, l’image de la mesure de Lebesgue λ_d par l’homothétiex7→H_a−1(x) :=a⁻¹xestH_a−1]λ_d=a^dλ_d. On calcule maintenant

γd= Z

R^d

1B_d(x)dx = Z

R^d

1_x2

1+...+x²_d≤1dx1. . . dxd

= Z 1

−1

Z

R^d−1

1_x2

1+...+x²_d−1≤1−x²_ddx1. . . dx_d−1 dxd

= Z 1

−1

λ_d−1q

1−x²_dB_d−1 dx_d

= λ_d−1(B_d−1) Z 1

−1

(1−x²_d)^d−12 dx_d

= γ_d−1I_d−1, en posant

In:=

Z 1

−1

(1−y²)ⁿ²dy.

On a

I₀= 2, I₁= Z 1

−1

(1−y²)¹²dy= Z π/2

−π/2

cos²θdθ=1 2

Z π/2

−π/2

(1 + cos 2θ)dθ=π 2. Pourn≥2, on calculeIn grâce à une intégration par parties

In = Z 1

−1

(1−y²)ⁿ⁻²² dy+ Z 1

−1

y d dy

h1

n(1−y²)ⁿ²i dy

= I_n−2−1 nI_n, de sorte que

In= n n+ 1I_n−2.

En introduisantJ_n :=I_nI_n−1 et en observant queJ₁=π, on obtient par récurrence immédiate Jn= n

n+ 1J_n−1=. . .= 2

n+ 1J1= 2π n+ 1. Pourd≥3, en déduit

γd=Jd−1γd−2=2π d γd−2.

A partir des cas particuliersγ₁= 2,γ₂=γ₁I₁=π, on en déduit pour toutk≥1: γ_2k= π^k

k!, γ_2k+1= π^k (k+¹₂). . .¹₂.